Автор Тема: Небольшой груз массы  (Прочитано 390 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2366
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
Небольшой груз массы
« : 14 Май 2018, 19:01 »
Небольшой груз массы m = 32 г подвешен на пружине и колеблется вертикально в некоторой вязкой жидкости с периодом Т = 0,7 с. При этом логарифм отношения амплитуды колебаний в некоторый момент времени к амплитуде через период равен λ = 3. Принимая π2 = 10, определить коэффициент жёсткости пружины k. Сделать рисунок.
« Последнее редактирование: 20 Май 2018, 17:30 от Антон Огурцевич »

Форум сайта alsak.ru

Небольшой груз массы
« : 14 Май 2018, 19:01 »

Оффлайн Сергей

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2230
  • Рейтинг: +0/-0
Re: Небольшой груз массы
« Ответ #1 : 20 Май 2018, 16:59 »
Решение.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид
\[ \frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+2\cdot \beta \frac{dx}{dt}+\omega _{0}^{2}\cdot x=0. \]
Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в некоторой вязкой жидкости
\[ x=A\cdot {{e}^{-\beta \cdot t}}\cdot \cos (\omega \cdot t+{{\varphi }_{0}}). \]
Частота затухающих колебаний определяется по формуле
\[ {{\omega }^{2}}=\omega _{0}^{2}-{{\beta }^{2}}(1),\omega =\frac{2\cdot \pi }{T}(2),{{(\frac{2\cdot \pi }{T})}^{2}}=\omega _{0}^{2}-{{\beta }^{2}}(3). \]
Где: ω0 – собственная частота колебаний маятника, β – коэффициент затухания. Запишем формулу для определения собственная частота колебаний маятника
\[ {{\omega }_{0}}=\sqrt{\frac{k}{m}}(4). \]
Определим коэффициент затухания
\[ \frac{A(t)}{A(t+T)}={{e}^{\beta \cdot T}},\lambda =\ln \frac{A(t)}{A(t+T)}=\beta \cdot T,\beta =\frac{\lambda }{T}(5). \]
(5) и (4) подставим в (3) определим коэффициент жёсткости пружины
\[ \begin{align}
  & {{(\frac{2\cdot \pi }{T})}^{2}}=\frac{k}{m}-{{(\frac{\lambda }{T})}^{2}},\frac{k}{m}={{(\frac{2\cdot \pi }{T})}^{2}}+{{(\frac{\lambda }{T})}^{2}},k=m\cdot \frac{4\cdot {{\pi }^{2}}+{{\lambda }^{2}}}{{{T}^{2}}}(6). \\
 & k=0,032\cdot \frac{4\cdot 10+{{3}^{2}}}{{{0,7}^{2}}}=3,2. \\
\end{align} \]
Ответ: 3,2 Н/м.
« Последнее редактирование: 27 Май 2018, 06:21 от alsak »