Автор Тема: В центре свободно вращающегося диска  (Прочитано 880 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2400
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
6. В центре свободно вращающегося диска, имеющего радиус 1 м и момент инерции 75 кг∙м2, стоит человек массой 60 кг. Во сколько раз изменится кинетическая энергия системы, если человек перейдёт из центра диска на край? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. Сделать рисунок.

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Re: В центре свободно вращающегося диска
« Ответ #1 : 23 Апреля 2018, 22:24 »
Решение.
Когда человек находится в центре диска его момент инерции равен нулю, а кинетическую энергию системы диск человек в этом случае определим по формуле
\[ {{E}_{k1}}=\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2}(1).
 \]
J1 - момент инерции диска, ω1 - угловая скорость свободно вращающегося диска если человек стоит в центре диска.
Когда человек перейдет на край диска то кинетическую энергию системы диск человек в этом случае определим по формуле
\[ {{E}_{k2}}=\frac{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}(2). \]
J2 - момент инерции диска и человека на краю диска, ω2 - угловая скорость свободно вращающегося диска если человек перешел на край диска.
Запищим формулу для определения отношения энергий в первом и втором состоянии:
\[ \frac{{{E}_{k1}}}{{{E}_{k2}}}=\frac{\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2}}{\frac{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}}=\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}=\frac{{{J}_{1}}}{{{J}_{2}}}\cdot {{(\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}})}^{2}}(3). \]
Применим закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем:
Если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Момент импульса определяется по формуле:
L = J∙ω   (4).
J1∙ω1  =  J2∙ω2   (5).
Момент инерции скалярная величина. Определим суммарный момент инерции в каждом случае относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр большего диска.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
Определим отношение угловых скоростей в каждом случае и подставим в (3)
\[ \begin{align}
  & {{J}_{1}}={{J}_{0}}+{{J}_{01}},{{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},d=0,{{J}_{1}}={{J}_{0}}(5). \\
 & {{J}_{2}}={{J}_{0}}+{{J}_{01}},{{J}_{2}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},d=R,{{J}_{2}}={{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}(6). \\
 & {{\omega }_{1}}\cdot {{J}_{0}}={{\omega }_{2}}\cdot ({{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}).\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=\frac{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}{{{J}_{0}}}(7). \\
 & \frac{{{E}_{k1}}}{{{E}_{k2}}}=\frac{{{J}_{0}}}{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}\cdot {{(\frac{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}{{{J}_{0}}})}^{2}}=\frac{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}{{{J}_{0}}}(8). \\
 & \frac{{{E}_{k1}}}{{{E}_{k2}}}=\frac{75+60\cdot {{1}^{2}}}{75}=1,8. \\
\end{align}
 \]
Ответ: Уменьшится в 1,8 раза.
« Последнее редактирование: 30 Апреля 2018, 06:31 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24