Автор Тема: Начальная амплитуда колебаний механического маятника  (Прочитано 1580 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2367
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
7. Начальная амплитуда колебаний механического маятника A1 = 20 см, амплитуда после 10 полных колебаний равна A10 = 1 см. Определить логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания, если период колебаний T = 5 с. Записать уравнение колебания. Сделать рисунок.

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн Сергей

  • Наблюдатель
  • Ветеран
  • *
  • Сообщений: 2230
  • Рейтинг: +0/-0
Решение.
1). Определим коэффициент затухания.
 Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону:
\[ {{A}_{10}}={{A}_{1}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot t}}\ \ \ (1). \]
Из формулы (1) найдем коэффициент затухания β:
\[ \begin{align}
  & \frac{{{A}_{10}}}{{{A}_{1}}}={{e}^{-\beta \cdot t}},\frac{{{A}_{10}}}{{{A}_{1}}}=\frac{1}{{{e}^{\beta \cdot t}}},{{e}^{\beta \cdot t}}=\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{10}}},\beta \cdot t=\ln \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{10}}},\beta =\frac{1}{t}\cdot \ln \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{10}}}, \\
 & t=N\cdot T,\beta =\frac{1}{N\cdot T}\cdot \ln \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{10}}}. \\
 & \beta =\frac{1}{10\cdot 5}\cdot \ln \frac{0,20}{0,01}=0,05991. \\
\end{align} \]
2). Логарифмический декремент затухания определим по формуле
λ = β∙Т.  λ = 0,05991∙5 = 0,29955.
3). Запишем уравнение колебания
\[ \begin{align}
  & x={{A}_{1}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot t}}\cdot \cos (\omega \cdot t+{{\varphi }_{0}}),{{\varphi }_{0}}=0,\,\,\omega =\sqrt{\omega _{0}^{2}-{{\beta }^{2}}},{{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{T}, \\
 & \omega =\sqrt{{{(\frac{2\cdot \pi }{T})}^{2}}-{{\beta }^{2}}},\omega =\sqrt{{{(\frac{2\cdot 3,14}{5})}^{2}}-{{0,05991}^{2}}}=1,26. \\
 & x=0,2\cdot {{e}^{-0,05991\cdot t}}\cdot \cos (1,26\cdot t). \\
\end{align} \]
« Последнее редактирование: 23 Февраль 2018, 06:12 от alsak »