Задачи и вопросы по физике > Тепловые двигатели. Циклы
Найти термический к. п. д. цикла
(1/1)
Антон Огурцевич:
Найти термический к. п. д. цикла, изображённого на рис. 56. Пользоваться при выводе следующими обозначениями: v1/v2 = ε; р3/р2 = λ; v4/v3 = ρ; v5/v4 = δ. Теплоёмкость принять постоянной. Сделать рисунок.
\[ {\eta}_{t}={1-\frac{1}{{\varepsilon}^{k-1}}}\cdot{\frac{{\lambda}\cdot{\rho}\cdot{{\delta}^{1-k}}+{\rho}\cdot{\delta}\cdot{(k-1)}-{k}\cdot{\varepsilon}}{{\lambda}-1+{k}\cdot{\lambda}\cdot{(\rho-1)}}} \]
Gala:
Термический КПД \[ \begin{gathered}
\eta = 1 - \frac{{{Q_2}}}{{{Q_1}}} \hfill \\
{Q_1} = {Q_{23}} + {Q_{34}} \hfill \\
{Q_2} = {Q_{51}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
Количество теплоты, переданное системе, расходуется на совершение работы и изменение внутренней энергии: \[ Q = A + \Delta U. \]
На участке 2-3 изохорно подводится теплота, следовательно, работа равна нулю и \[ {Q_{23}} = \Delta {U_{23}} = {C_V}\left( {{T_3} - {T_2}} \right). \]
На участке 3-4 теплота подводится изобарно: \[ {Q_{34}} = {C_p}\left( {{T_4} - {T_3}} \right),\;{C_p} = k \cdot {C_V} \Rightarrow {Q_{34}} = k \cdot {C_V}\left( {{T_4} - {T_3}} \right). \]
На участке 5-1 теплота отводится изохорно: \[ {Q_{51}} = {C_V}\left( {{T_1} - {T_5}} \right). \]
На участках 1-2 и 4-5 теплота не подводится и не отводится, это участки адиабатического сжатия и расширения соответственно.
Параметрами цикла являются:
Степень сжатия ε = V1/V2
Степень изохорного повышения давления λ = p3/p2
Степень изобарного расширения ρ = V4/V3
Степень расширения δ = V5/V4.
\[ \eta = 1 - \frac{{{Q_{51}}}}{{{Q_{23}} + {Q_{34}}}} = 1 - \frac{{{C_V}\left( {{T_1} - {T_5}} \right)}}{{{C_V}\left( {{T_3} - {T_2}} \right) + k \cdot {C_V}\left( {{T_4} - {T_3}} \right)}}. \]
Для определения температур, рассмотрим все участки цикла.
1-2 - адиабатическое сжатие:
\[\begin{gathered}
\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^k} = {\varepsilon ^k} \Rightarrow {p_2} = {p_1} \cdot {\varepsilon ^k}, \hfill \\
\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^{k - 1}} = {\varepsilon ^{k - 1}} \Rightarrow \boxed{{T_2} = {T_1} \cdot {\varepsilon ^{k - 1}}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
2-3 – изохорный процесс:
\[ \begin{gathered}
\frac{{{p_3}}}{{{p_2}}} = \lambda \;\;{p_3} = \lambda \cdot {p_2}\;\; \Rightarrow {p_3} = {p_1} \cdot \lambda \cdot {\varepsilon ^k} \hfill \\
\frac{{{T_3}}}{{{T_2}}} = \frac{{{p_3}}}{{{p_2}}} = \lambda ,\;{T_3} = {T_2} \cdot \lambda \Rightarrow \boxed{{T_3} = \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1}} \hfill \\
\end{gathered} \]
3-4 – изобарный процесс:
\[ \begin{gathered}
{p_4} = {p_3},\;{p_4} = {p_1} \cdot \lambda \cdot {\varepsilon ^k} \hfill \\
\frac{{{T_4}}}{{{T_3}}} = \frac{{{V_4}}}{{{V_3}}} = \rho ,\;{T_4} = {T_3} \cdot \rho \Rightarrow \boxed{{T_4} = \rho \cdot \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
4-5 адиабатный процесс:
\[ \begin{gathered}
\frac{{{p_5}}}{{{p_4}}} = {\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_5}}}} \right)^k} = {\left( {\frac{1}{\sigma }} \right)^k} = {\sigma ^{k - 1}} \hfill \\
{T_4}{V_4}^{k - 1} = {T_5}{V_5}^{k - 1} \hfill \\
\frac{{{T_5}}}{{{T_4}}} = {\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_5}}}} \right)^{k - 1}} = \;{\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_5}}} \cdot \frac{{{V_2}}}{{{V_2}}}} \right)^{k - 1}},\;{V_5} = {V_1} \Rightarrow \frac{{{T_5}}}{{{T_4}}} = {\left( {\frac{{{V_4}}}{{{V_1}}} \cdot \frac{{{V_2}}}{{{V_2}}}} \right)^{k - 1}} \hfill \\
\frac{{{V_4}}}{{{V_1}}} = \rho ,\;\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{1}{\varepsilon } \Rightarrow \frac{{{T_5}}}{{{T_4}}} = \frac{{{\rho ^{k - 1}}}}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}},\;{T_5} = {T_4} \cdot \frac{{{\rho ^{k - 1}}}}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}} = {T_1} \cdot \rho \cdot \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot \frac{{{\rho ^{k - 1}}}}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}} \Rightarrow \boxed{{T_5} = {\rho ^k} \cdot \lambda \cdot {T_1}} \hfill \\
\end{gathered} \]
Подставляем значения температур в формулу КПД:
\[\begin{gathered}
\eta = 1 - \frac{{{C_V}\left( {{T_5} - {T_1}} \right)}}{{{C_V}\left( {{T_3} - {T_2}} \right) + k \cdot {C_V}\left( {{T_4} - {T_3}} \right)}} = \hfill \\
= 1 - \frac{{{T_5} - {T_1}}}{{{T_3} - {T_2} + k \cdot \left( {{T_4} - {T_3}} \right)}} = \hfill \\
= 1 - \frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda \cdot {T_1} - {T_1}}}{{\lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1} - {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1} + k\left( {\rho \cdot \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1} - \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} \cdot {T_1}} \right)}} = \hfill \\
= 1 - \frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda - 1}}{{\lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - {\varepsilon ^{k - 1}} + k\left( {\rho \cdot \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}}} \right)}} = \hfill \\
= 1 - \frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda - 1}}{{\lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - {\varepsilon ^{k - 1}} + k\rho \cdot \lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}} - k\lambda \cdot {\varepsilon ^{k - 1}}}} = \hfill \\
= 1 - \frac{1}{{{\varepsilon ^{k - 1}}}}\frac{{{\rho ^k} \cdot \lambda - 1}}{{\lambda - 1 + k\lambda \left( {\rho - 1} \right)}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
Антон Огурцевич:
Галина в этой задаче по термодинамике не всё учтено, поэтому ответ получается неполный) Есть ещё участок со степенью расширения v5/v4 = δ
Весь процесс деятельности дизельного двигателя можно разделить на четыре взаимосвязанных этапа (четырёхтактная система): этап впрыска (впуска), этап сжатия, этап расширения (его еще называют «рабочий ход»), этап выпуска отработанного газа. Повторение, раз за разом, такого цикла обеспечивает движение автомобиля.
Gala:
учтено. 4-5 адиабатный процесс
Навигация
Перейти к полной версии