Задачи и вопросы по физике > Квантовая механика

Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимальную кинетическую энергию

(1/1)

Антон Огурцевич:
Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом R = 0,05 нм. Сделать рисунок.

Сергей:
Решение.
Воспользуемся принципом неопределенностей Гейзенберга: Произведение неопределенностей координаты ∆x частицы и проекции ее импульса ∆px на ту же ось не может по порядку величины быть меньше постоянной планка ħ.
(Примем линейные размеры радиуса сферы равными неопределённости координаты Δx = R, а неопределённость импульса электрона – минимальному импульсу Δp = p):\[ \begin{align}
  & \Delta x\cdot \Delta p\ge \hbar (1).\hbar =\frac{h}{2\cdot \pi }(2),\Delta x\cdot \Delta p\ge \frac{h}{2\cdot \pi }(3). \\
 & R\cdot p=\frac{h}{2\cdot \pi }(4). \\
\end{align} \]Установим связь между кинетической энергией и импульсом:\[ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}(5),p=m\cdot \upsilon \,(6),\,\upsilon =\frac{p}{m},{{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{p}^{2}}}{2\cdot {{m}^{2}}},{{E}_{K}}=\frac{{{p}^{2}}}{2\cdot m}(7). \]Где: h = 6,63∙10-34 Дж∙с – постоянная Планка, m = 9,1∙10-31 кг – масса электрона, е - модуль заряда электрона, е = 1,6∙10-19 Кл.
Из (4) выразим импульс и подставим в (7).\[ \begin{align}
  & p=\frac{h}{2\cdot \pi \cdot R},{{E}_{K}}={{(\frac{h}{2\cdot \pi \cdot R})}^{2}}\cdot \frac{1}{2\cdot m}(8\,). \\
 & {{E}_{K}}={{(\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}}{2\cdot 3,14\cdot 0,05\cdot {{10}^{-9}}})}^{2}}\cdot \frac{1}{2\cdot 9,1\cdot {{10}^{-31}}}=24,496\cdot {{10}^{-19}}. \\
 & {{E}_{K}}=\frac{24,496\cdot {{10}^{-19}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}}=15,31. \\
\end{align} \]Ответ: 24,496∙10-19 Дж, 15,31 эВ.

Навигация

[0] Главная страница сообщений