Уединённая металлическая сфера электроёмкостью

[Антон Огурцевич]

1. 60. Уединённая металлическая сфера электроёмкостью C = 4 пФ заряжена до потенциала φ = 1 кВ. Определить энергию поля, заключённую в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединённой сферы. Ответ: 2 мкДж. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Объемную плотность энергии можно определить по формулам:

\[ w=\frac{dW}{dV}(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2). \]

ε = 1,0 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.

dV = 4∙π∙r²∙dr      (3).

По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \oint{E\cdot dS}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}},E=\frac{Q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}(4). \]

Заряд определим по формуле.

Q = ∆φ∙С    (5).

Зная формулу электроемкости сферы выразим радиусы сферы и концентрической с ней сферической поверхности

\[ .C=4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}_{1}},{{R}_{1}}=\frac{C}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(6),\,{{R}_{2}}=\frac{4\cdot C}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(7).


 \]

\[ \begin{align}
  & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{(\Delta \varphi \cdot C)}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr=\frac{{{(\Delta \varphi \cdot C)}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr. \\
 & W=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{{{(\Delta \varphi \cdot C)}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{(\Delta \varphi \cdot C)}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{{{(\Delta \varphi \cdot C)}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}}). \\
 & W=\frac{{{(\Delta \varphi \cdot C)}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{\frac{4\cdot C}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}-\frac{C}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac{4\cdot C}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{C}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}})=\frac{{{(\Delta \varphi \cdot C)}^{2}}\cdot 4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot C}\cdot (\frac{4-1}{4\cdot 1})=\frac{\Delta {{\varphi }^{2}}\cdot C\cdot 3}{8}. \\
\end{align} \]

\[ W=\frac{4\cdot {{10}^{-12}}\cdot {{({{10}^{3}})}^{2}}\cdot 3}{8}=1,5\cdot {{10}^{-6}}. \]

Ответ: 1,5 мкДж.