Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами

[Антон Огурцевич]

1. 55. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами R₁ = 5 см и R₂ = 5,5 см. Пространство между обкладками конденсатора заполнено маслом (ε = 2,2). Определить: 1) ёмкость этого конденсатора; 2) шар какого радиуса, помещённый в масло, обладает такой ёмкостью. Ответ: 1) 135 пФ; 2) 0,55 м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Чтобы найти емкость сферического конденсатора, который состоит из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях R₁ и R₂ от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов будет выглядеть так:

\[ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=k\cdot q\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}})=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot q\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}})(1). \]

Емкость сферического конденсатора определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & C=\frac{q}{{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}}(2).C=\frac{q}{\frac{1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot q\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}})}=4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}{{{R}_{2}}-{{R}_{1}}}(3). \\
 & C=4\cdot 3,14\cdot 2,2\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot \frac{5,0\cdot {{10}^{-2}}\cdot 5,5\cdot {{10}^{-2}}}{5,5\cdot {{10}^{-2}}-5,0\cdot {{10}^{-2}}}=134,49\cdot {{10}^{-12}}. \\
\end{align} \]

Емкость шара определяется выражением емкости сферического конденсатора при R₂ = ∞ и R₁ = R:

\[ \begin{align}
  & C=4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R.R=\frac{C}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.R=\frac{134,49\cdot {{10}^{-12}}}{4\cdot 3,14\cdot 2,2\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=0,55. \\
 &  \\
\end{align}
 \]

Ответ: 1) 135 пФ; 2) 0,55 м.