Определить ёмкость коаксиального кабеля длиной

[Антон Огурцевич]

1. 53. Определить ёмкость коаксиального кабеля длиной 10 м, если радиус его центральной жилы R₁ = 1 см, радиус оболочки R₂ = 1,5 см, а изоляционным материалом служит резина (ε = 2,5). Ответ: 3,43 пФ. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Емкость коаксиального кабеля определим по формуле:

\[ C=\frac{Q}{{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}}(1). \]

По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(2),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(3),Q=\tau \cdot l(4), \\
 & \frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(5). \\
\end{align} \]

Где: ε = 2,5 – диэлектрическая проницаемость резины, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная, τ - линейная плотность заряда на жилах кабеля.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях R₁ и R₂ от оси кабеля равна:

\[ \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{Edr=}\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}dr=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}(6). \\
 &  \\
\end{align} \]

(6) и (4) подставим в (1) определим емкость коаксиального кабеля.

\[ \begin{align}
  & C=\frac{\tau \cdot l}{\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}=\frac{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot l}{\ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}(6). \\
 & C=\frac{2\cdot 3,14\cdot 2,5\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 10}{\ln \frac{1,5\cdot {{10}^{-2}}}{1,0\cdot {{10}^{-2}}}}=3,43\cdot {{10}^{-12}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 3,43 пФ.