На поверхности шара радиусом

[Антон Огурцевич]

21.3. На поверхности шара радиусом 2 см равномерно распределён положительный заряд 10^-9 Кл. Электрон, находящийся очень далеко от шара, имеет начальную скорость, равную нулю. С какой скоростью подойдёт он к шару? Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: при перемещении электрона в электрическом поле шара, последнее совершает работу. Работа электрического поля
\[ A=e\cdot \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right),(1) \]
здесь e = –1,6•1^0-19 Кл – заряд электрона, φ₁ = 0 – потенциал электрического поля в точке, находящейся очень далеко от шара, φ₂ – потенциал электрического поля в точке, находящейся вблизи поверхности шара
\[ {{\varphi }_{2}}=\frac{q}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r},(2) \]
здесь ε₀ = 8,85•10^-12 /м – электрическая постоянная, q – заряд шара, r – радиус. С другой стороны, работа равна изменению кинетической энергии электрона (теорема о кинетической энергии), т.е.
\[ A=\Delta E={{E}_{2}}-{{E}_{1}}={{E}_{2}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},(3) \]
Здесь m = 9,1•10^-31 кг – масса электрона, υ – искомая скорость. Учли, что в начальный момент электрон покоился (начальная скорость равна нулю). Подставив (2) в (1) приравняем к (3):
\[ e\cdot \left( 0-\frac{q}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r} \right)=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2};\text{    }\frac{-e\cdot q}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2};\text{         }\upsilon =\sqrt{\frac{-2\cdot e\cdot q}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot m}}, \]
\[ \upsilon =\sqrt{\frac{-2\cdot \left( -1,6\cdot {{10}^{-19}} \right)\cdot {{10}^{-9}}}{4\cdot 3,14\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 0,02\cdot 9,1\cdot {{10}^{-31}}}}=1,26\cdot {{10}^{7}}. \]
Ответ: 12,6 Мм/с.