Решение: данная система представляет собой физический маятник, период колебаний которого рассчитывается по формуле
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}, \]
Здесь g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения, L – приведённая длина - это длина математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника.
\[ L=\frac{J}{2m\cdot a}, \]
Здесь 2m – масса маятника, J – момент инерции относительно оси колебаний, a – расстояние от центра масс системы до оси колебаний (см. рис: точка O – центр масс, точка C – ось колебаний). Так как ось делит стержень как γ = 4:5, то определим это расстояние. Всего 9 частей (4+5), тогда
\[ AC=\frac{4}{9}\cdot l;\text{ }BC=\frac{5}{9}\cdot l;\text{ }OC=a=\frac{l}{2}-AC=\frac{l}{2}-\frac{4}{9}\cdot l=\frac{l}{18}. \]
Момент инерции для материальной точки определяется выражением
\[ {{J}_{m}}=m\cdot {{R}^{2}}, \]
где R – расстояние до оси вращения. Тогда момент инерции стержня с грузами относительно оси C определим по теореме Штейнера
\[ J={{J}_{0}}+2m\cdot a, \]
Где J0 – момент инерции относительно центра масс:
\[ {{J}_{0}}=m\cdot {{\left( \frac{l}{2} \right)}^{2}}+m\cdot {{\left( \frac{l}{2} \right)}^{2}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{2}. \]
Тогда
\[ J=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{2}+2m\cdot {{\left( \frac{l}{18} \right)}^{2}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{162}=\frac{41\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{81}. \]
Таким образом, приведённая длина
\[ L=\frac{\frac{41\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{81}}{2m\cdot \frac{l}{18}}=\frac{41\cdot l}{9}, \]
И период колебаний
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\frac{41\cdot l}{9}}{g}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{41\cdot l}{9\cdot g}}, \]
\[ T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{41\cdot 0,5}{9\cdot 9,81}}=3. \]
Ответ: 3 с.
