Автор Тема: Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении  (Прочитано 7915 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2401
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
Задача. Подвешенный на нити шарик качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в нижнем положении а = 4 м/с2. Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении. Сделать рисунок.
« Последнее редактирование: 29 Апреля 2016, 10:40 от Антон Огурцевич »

Оффлайн Виктор

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 526
  • Рейтинг: +0/-0
  • сделать можно многое, но времени так мало...
Решение: на шарик в верхней точке траектории действует две силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Ускорение тела при движении по дуге окружности можно разложить на два слагаемых:
\[ \vec{a}={{\vec{a}}_{\tau }}+{{\vec{a}}_{n}}. \]
Тангенциальное ускорение aτ —  направлено по касательной к траектории   и характеризует изменение скорости по модулю. Центростремительное или нормальное ускорение  an — возникает  всегда при движении точки по дуге окружности конечного радиуса, характеризует изменение скорости по направлению и направлено перпендикулярно вектору мгновенной скорости (к центру окружности).
В нижней точке траектории у тела только центростремительное ускорение, т.е.
\[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{l},\text{          }(1) \]
Где l – длина нити. В верхней точке траектории скорость тела равна нулю (υ = 0), тогда центростремительное ускорение тела тоже равно нулю.
\[ {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{l}=0. \]
Тогда ускорение  шарика в верхней точке равно тангенциальному:
a1 = aτ.
Ось z направим по касательной к траектории. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде и спроецируем его на выбранную координатную ось.
\[ \vec{T}+m\vec{g}=m\cdot {{\vec{a}}_{1}},\text{        }mg\cdot \sin \alpha =m\cdot {{a}_{\tau }},\text{           }{{a}_{1}}={{a}_{\tau }}=g\cdot \sin \alpha . \]
Остаётся определить угол отклонения α нити от вертикали в верхнем положении. Для этого запишем закон сохранения энергии (за нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение шарика), тогда в нижней точке – только кинетическая энергия, в верхней точке – только потенциальная. Как видно из рисунка, высота подъёма шарика равна
\[ h=l-l\cdot \cos \alpha =l\cdot \left( 1-\cos \alpha  \right). \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & {{E}_{0}}={{E}_{1}},\text{       }\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=m\cdot g\cdot h,\text{       } \\
 & \text{   }\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}=g\cdot l\cdot \left( 1-\cos \alpha  \right),\text{    }\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g\cdot l}=1-\cos \alpha  \\
\end{align} \]
Таким образом, с учётом (1), получим (используя основное тригонометрическое тождество)
\[ 1-\cos \alpha =\frac{1}{2\cdot g}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{l},\cos \alpha =1-\frac{a}{2\cdot g},\sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{\left( 1-\frac{a}{2\cdot g} \right)}^{2}}}. \]
Искомое ускорение
\[ {{a}_{1}}=g\cdot \sin \alpha =g\cdot \sqrt{1-{{\left( 1-\frac{a}{2\cdot g} \right)}^{2}}}. \]
\[ {{a}_{1}}=9,8\cdot \sqrt{1-{{\left( 1-\frac{4}{2\cdot 9,8} \right)}^{2}}}=5,9. \]
Ответ: a = 5,9 м/с2
« Последнее редактирование: 06 Мая 2016, 06:18 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24