Решение.
Определим оптическую разность хода, так как при отражении от границы воздух - стекло фаза меняется на π (потеря полуволны), а при отражении от границы стекло воздух фаза не меняется то:
\[ \Delta =2\cdot n\cdot {{\delta }_{k}}+\frac{\lambda }{2}\ \ \ (1). \]
n – показатель преломления воздуха, δ
k – расстояние между линзой и плоскостью для
к – го кольца.
Запишем условие минимума:
\[ \begin{align}
& \Delta =(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2}\ \ \ (2),\ (2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2}=2\cdot n\cdot {{\delta }_{k}}+\frac{\lambda }{2},\ {{\delta }_{k}}=\frac{k\cdot \lambda }{2\cdot n}\ \ \ (3). \\
& {{R}^{2}}=r_{k}^{2}+{{(R-{{\delta }_{k}})}^{2}}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]
Подставим (3) в (4) и выразим радиус темных колец Ньютона для отраженного света:
\[ {{r}_{k}}=\sqrt{k\cdot \frac{\lambda \cdot R}{n}},\ n=1,\ {{r}_{k}}=\sqrt{k\cdot \lambda \cdot R}\ \ \ (5).
\]
Зная расстояние между вторым и двадцатым темными кольцами
l1 = 4,8 мм. Найдем расстояние
l2 между третьем и шестнадцатым тёмными кольцами Ньютона.
\[ \begin{align}
& {{l}_{1}}={{r}_{20}}-{{r}_{2}},\ {{l}_{1}}=\sqrt{20\cdot \lambda \cdot R}-\sqrt{2\cdot \lambda \cdot R}=\sqrt{\lambda \cdot R}\cdot (\sqrt{20}-\sqrt{2})\ \ \ (6). \\
& {{l}_{2}}={{r}_{16}}-{{r}_{3}},\ {{l}_{2}}=\sqrt{16\cdot \lambda \cdot R}-\sqrt{3\cdot \lambda \cdot R}=\sqrt{\lambda \cdot R}\cdot (\sqrt{16}-\sqrt{3})\ \ \ (7). \\
& \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=\frac{\sqrt{\lambda \cdot R}\cdot (\sqrt{20}-\sqrt{2})}{\sqrt{\lambda \cdot R}\cdot (\sqrt{16}-\sqrt{3})},\ {{l}_{2}}={{l}_{1}}\cdot \frac{(\sqrt{16}-\sqrt{3})}{(\sqrt{20}-\sqrt{2})}.\ \\
& {{l}_{2}}=4,8\cdot {{10}^{-3}}\cdot \frac{(\sqrt{16}-\sqrt{3})}{(\sqrt{20}-\sqrt{2})}=3,6\cdot {{10}^{-3}}.\ \\
\end{align} \]
Ответ: 3,6 мм.
