Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов

[Антон Огурцевич]

Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 1,6 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля равна B = 0,01 Тл. Определить радиус траектории частицы, её кинетическую энергию, период вращения, магнитный момент эквивалентного кругового тока. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы m – масса протона, m = 1,67∙10^-27 кг, q – заряд протона, q = 1,6∙10^-19 Кл.
Протон, ускоренный разностью потенциалов, определим скорость протона:

\[ \begin{align}
  & q\cdot U=A,\ A=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{1}}=0,\ A=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2},\ q\cdot U=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}\ ,\ {{\upsilon }^{2}}=\frac{2\cdot q\cdot U}{m}\ \ \ (1), \\
 & \upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot q\cdot U}{m}}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

1) Определим радиус протона. На протон действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha ,\ \sin \alpha =1,\ {{F}_{L}}=m\cdot a,\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ q\cdot B\cdot \upsilon =\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}, \\
 & R=\frac{m\cdot \upsilon }{q\cdot B},\ R=\frac{m}{q\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot q\cdot U}{m},}\ R=\frac{1}{B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot m\cdot U}{q}}\ \ (3). \\
 & R=\frac{1}{0,01}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 1,67\cdot {{10}^{-27}}\cdot 1,6\cdot {{10}^{3}}}{16\cdot {{10}^{-19}}}}=0,5779. \\
\end{align} \]

R = 0,5779 м.
2) Определим период вращения протона.

\[ \begin{align}
  & \upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot R}{T},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot R}{\upsilon },\ T=\frac{2\cdot \pi }{\upsilon }\cdot \frac{m\cdot \upsilon }{q\cdot B},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot m}{q\cdot B}\ \ \ (4). \\
 & T=\frac{2\cdot 3,14\cdot 1,67\cdot {{10}^{-27}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 0,01}=6,55\cdot {{10}^{-6}}\ c. \\
\end{align}
 \]

Т = 6,55∙10^-6 с.
3) Определим кинетическую энергию протона.

\[ \begin{align}
  & W=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ W=\frac{m}{2}\cdot \frac{2\cdot q\cdot U}{m},\ W=q\cdot U\ \ \ (5). \\
 & W=1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 1,6\cdot {{10}^{3}}=2,56\cdot {{10}^{-16}}. \\
\end{align} \]

W = 2,56∙10^-16 Дж.
4) Определим магнитный момент эквивалентного кругового тока.

\[  \begin{align}
  & {{p}_{m}}=I\cdot S,\ I=\frac{q}{t},\ t=T,\ I=\frac{q\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m},\ S=\pi \cdot {{R}^{2}},\ {{p}_{m}}=\frac{{{q}^{2}}\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m}\cdot \frac{\pi }{{{B}^{2}}}\cdot \frac{2\cdot m\cdot U}{q}=q\cdot \frac{U}{B}. \\
 & {{p}_{m}}=\frac{q}{T}\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\ \ \ (6). \\
 & {{p}_{m}}=\frac{1,6\cdot {{10}^{-19}}}{6,55\cdot {{10}^{-6}}}\cdot 3,14\cdot 0,5779\cdot 0,5779=0,256\cdot {{10}^{-13}}\ . \\
\end{align} \]

p_m = 0,256∙10^-13 А∙м².