Автор Тема: Однородный шар массой  (Прочитано 12952 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2401
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
Однородный шар массой
« : 25 Апреля 2015, 19:15 »
Однородный шар массой m = 5,0 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара Т через t = 1,6 с после начала движения. Сделать рисунок.
« Последнее редактирование: 25 Апреля 2015, 22:27 от Сергей »

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Re: Однородный шар массой
« Ответ #1 : 25 Апреля 2015, 22:31 »
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{}}^{2}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]
h – высота с которой спускается тело (см. рис.), υ – скорость тела через время t, J – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
В конце спуска угловая скорость связана с линейной скоростью:
\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}\ \ \ (2). \]
Определим скорость центра масс шара через время t. Момент инерции однородного (сплошного) шара определяется по формуле:
\[ J=\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{5}\ \ \ (3). \]
Высоту с которой скатывается тело определим по формуле:
\[ h=l\cdot \sin \alpha ,\ l=\frac{\upsilon +{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t,\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ l=\frac{\upsilon }{2}\cdot t,\ h=\frac{\upsilon }{2}\cdot t\cdot \sin \alpha \ \ \ (4). \]
Подставим (4) (3) и (2) в (1):
\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot \frac{\upsilon }{2}\cdot t\cdot \sin \alpha =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},\ g\cdot \frac{\upsilon }{2}\cdot t\cdot \sin \alpha =\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{2\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2},\  \\
 & g\cdot t\cdot \sin \alpha =\upsilon +\frac{2\cdot \upsilon }{5},\ g\cdot t\cdot \sin \alpha =\frac{7\cdot \upsilon }{5},\ \upsilon =\frac{5\cdot g\cdot t\cdot \sin \alpha }{7}\ \ \ \ (5). \\
\end{align} \]
Кинетическую энергию шара Т через t = 1,6 с после начала движения определим по формуле:
\[ \begin{align}
  & T=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2},\ T=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},T=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5},\  \\
 & T=\frac{7}{10}\cdot m\cdot {{\upsilon }^{2}},\ T=\frac{7}{10}\cdot m\cdot {{(\frac{5\cdot g\cdot t\cdot \sin \alpha }{7})}^{2}},\ T=\frac{5}{14}\cdot m\cdot {{(g\cdot t\cdot \sin \alpha )}^{2}}. \\
\end{align} \]
Т = 114,29 Дж.
« Последнее редактирование: 07 Мая 2015, 06:04 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24