Из проволоки длиной

[Антон Огурцевич]

Из проволоки длиной l = 40 см сделана квадратная рамка, по которой течёт ток I = 10 А. Найдите напряжённость и индукцию магнитного поля в центре этой рамки. Относительная магнитная проницаемость среды μ = 2. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы: μ − магнитная проницаемость среды, μ = 2, μ₀ = 4π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная.
Рассмотрим четыре участка, АВ, ВС, СД, ДА.
Направление вектора магнитной индукции на каждом участке определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DA}},\  \\
 & oX:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DA}}\ \ \ (1). \\
\end{align} \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим модуль вектора магнитной индукции на каждом участке.
α₂ = 3∙π/4, α₁ =  π/ 4.

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\ , \\
 & {{B}_{BC}}={{B}_{DA}}={{B}_{CD}}={{B}_{AB}}=\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (5),R=\frac{l}{8}\ \ \ (6), \\
 & B=4\cdot \frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot l}\ \ \ (7). \\
\end{align} \]

В = 1, 128∙10^-4 Тл.
Магнитная индукция В связана с напряжённостью магнитного поля в однородной среде Н отношением

B = μ∙μ₀∙H  (8 ),

Выразим из (8 ) Н:

\[ H=\frac{B}{\mu \cdot {{\mu }_{0}}}\ \ \ (9). \]

Н = 44,9 А/м.