Три сопротивления

[Антон Огурцевич]

Три сопротивления R₁ = 5 Ом; R₂ = 1 Ом и R₃ = 3 Ом, а также батарея с ЭДС ξ₁ = 1,4 В, соединены как показано на рисунке. Определить ЭДС источника, который надо подключить в цепь между точками А и В, чтобы в сопротивлении R3 шел ток силой I₃ = 1 А в направлении, указанном стрелкой. Какая мощность будет при этом выделяться в сопротивлении R₁? Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.

[Сергей]

Решение.
Покажем рисунок.
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура.
Составим уравнения (рис).

I₂ + I₁ = I₃   (1).

ξ₂ = I₃∙R₃ + I₂∙R₂   (2).

ξ₁ = I₁∙R₁ – I₂∙R₂   (3).

ξ₂ + ξ₁ = I₁∙R₁ + I₃∙R₃   (4).

Из (4) выразим I₁, из (2) выразим I₂, подставим I₁ и I₂ в (1) выразим ξ₂:

\[ {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{1}}+{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}\ \ \ (5),\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}},\ {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}+{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}. \]

\[ {{\xi }_{2}}=\frac{{{I}_{3}}\cdot {{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}-{{\xi }_{1}}\cdot {{R}_{2}}+{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}\cdot {{R}_{2}}+{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}\cdot {{R}_{1}}}{{{R}_{2}}+{{R}_{1}}}, \]

ξ₂ =3,6 В.
 Определим ток I₁ из уравнения (5).
I₁ = 0,4 А.
Определим мощность в резисторе R₁.

Р = I₁²∙R₁   (6).

Р = 0,8 Вт.