Задачи и вопросы по физике > Динамика твердых тел

Чему равны ускорения в конце спуска?

(1/1)

Антон Огурцевич:
Обруч и диск скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол 30 градусов с горизонтом. Чему равны их ускорения в конце спуска? Силой трения пренебречь. Сделать рисунок.

Сергей:
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{I\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]m – масса тела которое скатывается, h – высота с которой скатывается тело (см. рис.), υ – линейная скорость тела. I – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
Запишем формулу нахождения высоты наклонной плоскости с которой скатывается тело:
h = l∙sinα    (2).Длина наклонной плоскости определится по формуле:\[ l=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot a}\ \ \ (3). \]Подставим (2) в (3) выразим ускорение:\[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}\cdot \sin \alpha }{2\cdot h}\ \ \ (4). \]Угловая скорость связана с линейной скоростью:\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}\ \ \ (5). \]Определим ускорение обруча. Момент инерции обруча определяется по формуле:\[ I=m\cdot {{R}^{2}}\ \ \ (6). \]Подставим (6) и (5) в (1):\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2\cdot {{R}^{2}}},\ {{\upsilon }^{2}}=g\cdot h\ \ \ (7). \]Подставим (7) в (4) выразим ускорение обруча:\[ a=\frac{g\cdot \sin \alpha }{2}, \]а = 2,45 м/с2.
Определим ускорение диска. Момент инерции диска определяется по формуле: \[ I=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (6). \]Подставим (6) и (5) в (1):\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},\ {{\upsilon }^{2}}=\frac{4\cdot g\cdot h}{3}\ \ \ (7). \]Подставим (7) в (4) выразим ускорение диска:\[ a=\frac{4\cdot g\cdot \sin \alpha }{2\cdot 3}, \]а = 3,27 м/с2.
Ответ: 2,45 м/с2, 3,27 м/с2.

Навигация

[0] Главная страница сообщений