Репетиционное тестирование 2 этап 2014/2015

[Сергей]

В12.Вариант 1.
Электрическая цепь состоит из источника постоянного тока с E = 300 В, двух резисторов сопротивлениями R₁= 100 Ом, R₂ = 200 Ом и конденсатора емкостью С = 10,0 мкФ (см. рис.). В начальный момент времени ключ К был замкнут и в цепи протекал постоянный ток. Если внутренним сопротивлением источника тока пренебречь, то после размыкания ключа К на резисторе R₂ выделится количество теплоты Q, равное ... мДж.

Решение. Определим энергию заряженного конденсатора W₁ и его заряд q₁ при замкнутом ключе. Для этого найдем напряжение U_C на нем. Оно будет равно напряжению на резисторе R₁, с которым конденсатор соединен параллельно. Внешнее сопротивление равно сопротивлению двух резисторов, включённых последовательно, через конденсатор ток не идет.
\[ R_{B} =R_{1} +R_{2} ,\; \; \; I=\frac{E}{R_{1} +R_{2} } ,\; \; \; U_{C} =U_{1} =\frac{R_{1} \cdot E}{R_{1} +R_{2} } , \]
\[q_{1} =C\cdot U_{C} =\frac{C\cdot R_{1} \cdot E}{R_{1} +R_{2} } ,\; \; \; (1)\; \; \; \; W_{1} =\frac{C}{2} \cdot \left(\frac{R_{1} \cdot E}{R_{1} +R_{2} } \right)^{2} .\; \; \; (2) \]
При размыкании ключа тока в цепи не будет, Напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС E. Определим энергию заряженного конденсатора W₂ и его заряд q₂ при разомкнутом ключе.
\[q_{2} =C\cdot U_{C} =C\cdot E,\; \; \; (3)\; \; \; \; \; W_{2} =\frac{C\cdot E^{2} }{2} \; \; \; (4).\]
Так как E > UC, то после размыкания ключа энергия на конденсаторе увеличилась. Это произошло из-за совершения работы источника тока
\[A=E\cdot \Delta q,\; \; \; \Delta q=q_{2} -q_{1} .\]
С учетом уравнений (1) и (3), получаем
\[A=E\cdot \left(C\cdot E-\frac{C\cdot R_{1} \cdot E}{R_{1} +R_{2} } \right)=C\cdot E^{2} \cdot \left(1-\frac{R_{1} }{R_{1} +R_{2} } \right)=\frac{C\cdot E^{2} \cdot R_{2} }{R_{1} +R_{2} } .\; \; \; (5)\]
Запишем закон сохранения энергии для электрической цепи и учтем уравнения (2), (4) и (5).
\[ A=W_{2} -W_{1} +Q,\; \; \; Q=A-W_{2} +W_{1}, \]
\[ Q=\frac{C\cdot E^{2} \cdot R_{2} }{R_{1} +R_{2} } -\frac{C\cdot E^{2} }{2} +\frac{C}{2} \cdot \left(\frac{R_{1} \cdot E}{R_{1} +R_{2} } \right)^{2} =C\cdot E^{2} \cdot \frac{2R_{2} \cdot \left(R_{1} +R_{2} \right)-\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} +R_{1}^{2} }{2\cdot \left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} } = \]
\[ =C\cdot E^{2} \cdot \frac{2R_{2} \cdot R_{1} +2R_{2}^{2} -R_{1}^{2} -2R_{2} \cdot R_{1} -R_{2}^{2} +R_{1}^{2} }{2\cdot \left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} } =\frac{C\cdot E^{2} \cdot R_{2}^{2} }{2\cdot \left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} } , \]
Q = 0,2 Дж.
Ответ. 200 мДж.