12. Напряжённость электростатического поля

[Виктор]

А1.10. В однородном электростатическом поле, силовые линии которого направлены вертикально, находится в равновесии пылинка массой m = 4,0 мкг с зарядом  q = 1,0 нКл. Модуль напряжённости электростатического поля будет равен:
   1)  4,0 В/м;      2)  40 В/м;      3)  0,4 кВ/м;      4)  4,0 кВ/м;      5)  40 кВ/м.
Решение: пылинка находится в равновесии, значит, сумма сил, действующих на неё равна нулю. На пылинку действуют: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вертикально вверх. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=mg,} \\ {E=\frac{mg}{q}.} \end{array} \]
Ответ: 2)  40 В/м.

[Виктор]

А2.1. Два точечных заряда +q и +9q расположены в вакууме на расстоянии l = 60 см друг от друга. Модуль напряжённости электростатического поля будет равен нулю на расстоянии от второго заряда, равном:
1) 35 см;     2) 38 см;     3) 45 см;     4) 48 см;     5)50 см.
Решение: если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство. Каждый из зарядов создаёт поле, напряжённость которого подчиняется принципу суперпозиции. Нас интересует точка поля, в которой результирующая напряжённость будет равна нулю. Эта точка будет расположена между зарядами на линии их соединяющей, ближе к первому заряду (он меньше). Пусть искомое расстояние равно x, напряжённость поля первого заряда E₁, второго заряда – E₂ (см. рис.). Сумма двух векторов равна нулю, когда они равны по модулю и противоположны по направлению. Таким образом, используя формулу модуля напряжённости поля точечного заряда, получим
\[ \begin{array}{l} {E_{1} =E_{2},} \\ {\frac{k\cdot q}{\left(l-x\right)^{2} } =\frac{k\cdot 9q}{x^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\sqrt{\frac{1}{\left(l-x\right)^{2} } } =\sqrt{\frac{9}{x^{2}}},} \\ {\frac{1}{l-x} =\frac{3}{x},{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;  \; \; \; }x=3\cdot \left(l-x\right),} \\ {x=\frac{3}{4} \cdot l.} \end{array} \]
Ответ: 3) 45 см.

[Виктор]

А2.2. Два точечных заряда q₁ = 10 нКл и q₂ = 40 нКл находятся на расстоянии r = 10 см друг от друга. Модуль напряжённости электростатического поля в точке, удалённой на x₁ = 6,0 см от первого заряда и на x₂ = 8,0 см от второго равен:
   1)  1,8 кВ/м;     2)  2,7 кВ/м;     3)  5,4 кВ/м;     4)  62 кВ/м;     5)  0,11 МВ/м.
Решение: если поле создается положительным зарядом, то вектор напряжённости направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство. Каждый из зарядов создаёт  в точке А поле. Пусть напряжённость поля первого заряда E₁, второго заряда – E₂ (см. рис.). Результирующая напряжённость E подчиняется принципу суперпозиции. Так как угол в вершине A прямой (легко доказать, проверив теорему Пифагора: r – гипотенуза, x₁, x₂ - катеты), то вектор E можно найти по теореме Пифагора.
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2},{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E=\sqrt{E_{1}^{2} +E_{2}^{2}},} \\ {E=k\cdot \sqrt{\frac{q_{1}^{2} }{x_{1}^{4} } +\frac{q_{2}^{2}}{x_{2}^{4}}}.} \end{array} \]
Ответ: 4)  62 кВ/м.

[Виктор]

А2.3. Два одинаковых одноимённых заряда q₁ = q₂ = q = 5,0∙10^-9 Кл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника, длина стороны которого a = 20 см. Модуль напряжённости электростатического поля в третьей вершине треугольника равен:
   1)  1,0 кВ/м;     2)  1,1 кВ/м;     3)  2,0 кВ/м;     4)  2,3 кВ/м;     5)  3,9 кВ/м.
Решение: пусть напряжённость поля первого заряда в третьей вершине равна E₁, второго заряда – E₂. Вектора E₁ и  E₂ равны по модулю  E₁=E₂, т.к. заряды одинаковые, и расстояния от них до третьей вершины равные. Результирующая напряжённость E подчиняется принципу суперпозиции. Модуль напряжённости найдём, воспользовавшись теоремой косинусов для нахождения диагонали параллелограмма т.к. угол между векторами будет равен 60° (равносторонний треугольник). (более подробное объяснение и рисунок в решении задания А2.2, только треугольник не прямоугольный, а равносторонний). Таким образом
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2},{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E^{2} =E_{1}^{2} +E_{2}^{2} +2\cdot E_{1} \cdot E_{2} \cdot \cos 60{}^\circ ,} \\ {E=\frac{k\cdot q}{a^{2} } \cdot \sqrt{3}.} \end{array} \]
Ответ: 3)  2,0 кВ/м.

[Виктор]

А2.4. Модуль напряжённости E электростатического поля в центре тонкого кольца радиусом R = 10 см, по которому равномерно распределён заряд q = 20∙10^-6 Кл, равен:
1)  4∙10-4 В/м;     2)  2∙10-6 В/м;     3)  2∙10-4 В/м;     4)  2∙10-3 В/м;     5)  0.
Решение: разобьём кольцо на малые участки. Пусть заряд такого участка равен q_i и его можно считать точечным. Каждый такой заряд в центре кольца создаёт электростатическое поле напряжённостью E_i, направленной от заряда q_i (заряд кольца положительный). Результирующая напряжённость подчиняется принципу суперпозиции. (см. рис.) Векторы напряжённости от диаметрально противоположных точек кольца будут равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их сумма будет равна нулю. Просуммировав все E_i, в итоге получим результирующую напряжённость равную нулю.
Ответ: 5)  0.

[Виктор]

А2.5. В однородном электростатическом поле, силовые линии напряжённости которого направлены вертикально, находится в равновесии капелька жидкости радиусом R с зарядом q. Плотность жидкости ρ. Модуль напряжённости E электростатического поля равен:
\[ 1)\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g\cdot q;2)\frac{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g}{q} ;3)\frac{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho }{q} ;4)\frac{q}{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g} ;5)\frac{4\cdot \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \cdot g}{q}. \]
Решение: капелька находится в равновесии, значит, сумма сил, действующих на неё равна нулю. На капельку действуют: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная вертикально вверх. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Массу капельки определим, зная плотность жидкости и объём (капельку считаем шаром с радиусом R). Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=mg,} \\ {m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3},} \\ {E=\frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3} \cdot g}{q}.} \end{array} \]
Ответ: 2).

[Виктор]

А2.6. Протон, заряд которого q, а масса m, влетает со скоростью, модуль которой υ₀, в однородное электростатическое поле, модуль напряжённости которого E. Направление скорости протона противоположно направлению силовых линий поля. До остановки протона пройдёт время:
\[ 1)\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; \; }2)\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; \; }3)\frac{m\cdot \upsilon _{0}}{q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; }4)\frac{m\cdot \upsilon _{0}}{2q\cdot E} ;{\rm \; \; \; \; }5)\frac{2m\cdot \upsilon _{0}}{q\cdot E} . \]
Решение: на протон со стороны электростатического поля действует сила  F = q∙E , направленная вдоль силовых линий (заряд протона - положительный). На протон действует только одна сила (силой тяжести можно пренебречь) и эта сила сообщает протону ускорение a, направленное против скорости движения протона (направление силы и ускорения совпадают). Протон движется равнозамедленно и через промежуток времени t остановится (скорость υ протона будет равна нулю). Запишем второй закон Ньютона и кинематическое уравнение зависимости скорости от времени:
\[ \begin{array}{l} {q\cdot E=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; \; \; }a=\frac{q\cdot E}{m},} \\ {\upsilon =\upsilon _{0} -a\cdot t,{\rm \; \; \; \; \; \; }t=\frac{\upsilon _{0} }{a},} \\ {t=\frac{m\cdot \upsilon _{0}}{q\cdot E}.} \end{array} \]
Ответ: 3).

[Виктор]

А2.7. Если электрон начинает двигаться в однородном электростатическом поле, модуль напряжённости которого E = 2,0 В/м, то модуль его скорости возрастает до υ = 1000 км/с за промежуток времени, равный:
1) 1,4∙10^-6 с; 2) 2,9∙10^-6 с; 3) 5,7∙10^-6 с; 4) 8,0∙10^-6 с; 5) 10∙10^-6 с.
Решение: на электрон со стороны электростатического поля действует сила  и сообщает ему ускорение, т.е. электрон (обладает элементарным зарядом и начальной скоростью υ₀=0) движется равноускоренно. (подробнее смотри решение задания А.2.6). Тогда
\[ \begin{array}{l} {a=\frac{q\cdot E}{m} ,} \\ {\upsilon =\upsilon _{0} +a\cdot t,} \\ {t=\frac{m\cdot \upsilon }{q\cdot E}.} \end{array} \]
Ответ: 2) 2,9∙10^-6 с.

[Виктор]

А2.8.  Одинаковые капельки ртути диаметром d в количестве N, заряженные одинаковыми зарядами q, сливаются в одну большую каплю. Модуль напряжённости E на расстоянии от центра, равном четверти диаметра большой капли, составляет:
\[ 1)\frac{8q\cdot \sqrt[{3}]{N}}{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2}} ;{\rm \; \; \; \; \; }2)\frac{2q\cdot \sqrt[{3}]{N} }{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2} } ;{\rm \; \; \; \; \; }3)\frac{q\cdot N}{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{2}} ;{\rm \; \; \; \; }4)\frac{8q\cdot \sqrt{N}}{\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot d^{3}} ;{\rm \; \; \; \; }5)0. \]
Решение: после слияния капель в одну большую суммарный заряд системы не изменится. Т.к. ртуть является проводником, то заряд большой капли будет распределён по её поверхности. То есть, внутри этой капли электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри будет равна нулю. См. теорию в электронном учебнике физики    http://www.physbook.ru/ , раздел электростатика.
Ответ: 5)  0.

[Виктор]

А2.9. В однородном электростатическом поле, силовые линии напряжённости которого направлены горизонтально, в вакууме подвешен на длинной нити шарик массой m с зарядом q. Модуль напряжённости электростатического поля E. Угол отклонения нити от вертикали равен:
\[ 1)\arcsin \left(\frac{qE}{mg} \right);{\rm \; \; }2)arctg\left(\frac{qE}{mg} \right);{\rm \; \; }3)\arccos \left(\frac{qE}{mg} \right);{\rm \; \; }4)arctg\left(\frac{mg}{qE} \right);{\rm \; \; }5)\arccos \left(\frac{mg}{qE} \right). \]
Решение: На шарик действуют: mg – сила тяжести, направленная вер-тикально вниз, F = q∙E – сила со стороны электростатического поля, направленная горизонтально, вдоль силовых линий и T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Под действием этих сил шарик отклоняется от вертикали, и нить образует с вертикалью угол α (см. рис.). Так как шарик находится в равновесии, то сумма сил равна нулю, соответственно и сумма проекций этих сил на выбранную систему координат также рана нулю.
В проекциях на систему координат:

Ось X:  F = T∙ sinα,
Ось Y:  mg = T∙ cosα,

разделим уравнения,
\[ \begin{array}{l} {tg\alpha =\frac{qE}{mg},} \\ {\alpha =arctg\left(\frac{qE}{mg} \right).} \end{array} \]
Ответ: 2).