Задачи и вопросы по физике > Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011
2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение
Сергей:
А2.6 Свободно падающее тело за последнюю секунду своего падения проходит путь h = 100 м. Время падения тела равно:
1) 0,500 с; 2) 8,00 с; 3) 10,5 с; 4) 11,0 с; 5) 11,5 с.
Решение. Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у0 = 0, υ0у = 0, gy = g. Тогда уравнение выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
\[ y=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,\,(1) \]
Обозначим t1 – время падения тела, t2 = 1 с по условию. В момент времени t1 – t2 координата тела будет равна
\[ H-h=\frac{g\cdot {{\left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}^{2}}}{2}\,\,\,(2) \]
Когда тело упадет на землю, у = Н. Согласно (1)
\[ H=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2} \]
Подставим это уравнение в (2)
\[ \begin{align}
& \frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}-h=\frac{g\cdot {{\left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}^{2}}}{2}\,; \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{t}_{1}}=\frac{{{t}_{2}}}{2}+\frac{h}{g\cdot {{t}_{2}}} \\
\end{align}
\]
Ответ: 3) 10,5 с
Сергей:
А2.7 С каким модулем начальной скорости нужно бросить вертикально вниз тело с высоты h = 20,0 м, чтобы оно упало на Δt = 1,00 с раньше, чем тело, свободно падающее с той же высоты?
1)9,80 м/с; 2)10,6 м/с; 3) 12,4 м/с; 4) 14,2 м/с;5) 15,0 м/с.
Решение. Кинематическое уравнение движения свободно падающего тела в проекции на ось Оу имеет вид
\[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у0 = 0, gy = g и для свободно падающего тела υ0у = 0. Пусть t1 – время свободного падения, t2 – время падения тела брошенного с начальной скоростью. В момент падения тела y = h. Запишем уравнения для двух случаев:
\[ h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}\,\,\,\,(1);\,\,\,\,\,h={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{2}}+\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2}\,\,\,(2) \]
По условию задачи t2 = t1 – Δt. Из (1)
\[ {{t}_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}} \]
t1 = 2 с, тогда t2 = 1с. Выразим υ0 из (2)
\[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{h}{{{t}_{2}}}-\frac{g\cdot {{t}_{2}}}{2} \]
Ответ: 5) 15,0 м/с.
Сергей:
А2.8 Тело свободно падает с высоты h = 125 м. Модуль средней скорости тела на нижней половине пути равен:
1)11,5 м/с; 2) 17,9 м/с; 3) 25,0 м/с; 4) 35,7 м/с; 5) 42,7 м/с.
Решение. Среднюю скорость пути можно найти как отношение пройденного пути. Поскольку нам надо определить среднюю скорость во второй половине пути, то
\[ \left\langle \upsilon \right\rangle =\frac{h}{2\cdot t}\,\,(1) \]
Где t – время движения на второй половине пути. Если t2 – общее время падения и t1 – время падения на первой половине пути то t = t2 – t1
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у0 = 0, υ0у = 0, gy = g. Тогда уравнение выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
\[ y=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
В момент падения y = h, на половине пути y=h/2. Тогда
\[ \begin{align}
& {{t}_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}};\,\,\,\,\,\,{{t}_{1}}=\sqrt{\frac{h}{g}}; \\
& t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}-\sqrt{\frac{h}{g}}; \\
\end{align}
\]
Тогда на основании (1)
\[ \left\langle \upsilon \right\rangle =\frac{h}{2\left( \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}-\sqrt{\frac{h}{g}} \right)} \]
<υ> = 42,8 м/с
Ответ: 5) 42,7 м/с
Сергей:
А2.9 Если свободно падающее тело последнее расстояние h = 200 м про-летело за время t = 4,00 с, то тело падало с высоты:
1) 245 м; 2) 322 м 3) 382 м; 4) 490 м; 5) 788 м.
Решение. Смотри задачу А2.6.
\[ H=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,\,{{t}_{1}}=\frac{{{t}_{2}}}{2}+\frac{h}{g\cdot {{t}_{2}}} \]
Ответ: 1) 245 м;
Сергей:
А2.10 Парашютист, спускающийся с постоянной скоростью, модуль которой υ = 500 см /с, находясь на высоте h = 100 м, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью, модуль которой υ0 = 10,0 м/с относительно парашютиста. Интервал времени между падением тела и приземлением парашютиста составит:
1)14.4 с; 2) 16,8 с; 3) 20 с; 4) 24,2 с; 5) 32,4 с.
Решение. Интервал времени между падением тела и приземлением парашютиста
Δt = t2 – t1Где t2 – время движения парашютиста, t1 – время падения тела.
Парашютист спускается с постоянной по модулю скоростью с высоты h, тогда
\[ {{t}_{2}}=\frac{h}{\upsilon } \]
Рассмотрим падение тела. Уравнение, выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
\[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot t}{2}\,\, \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у0 = 0, gy = g, υ0у = υot. Где υot – скорость движения тела относительно Земли.
υot = υ+υ0В момент падения тела y = h. Тогда:
\[ \,h={{\upsilon }_{ot}}\cdot {{t}_{1}}+\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2} \]
Решим это уравнение и получим только один корень, удовлетворяющий условию – t1 = 3,22 с.
Δt = t2 – t1 = 16,8 с
Ответ: 2) 16,8 с;
Навигация
Перейти к полной версии