Задачи и вопросы по физике > Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011
11. Закон Кулона
Виктор:
В2.5. Три одинаковых маленьких шарика массой m = 0,25 г каждый подвешены в одной точке на одинаковых нитях длиной l = 30 см. Чтобы каждая нить составила с вертикалью угол α = 30°, шарикам нужно сообщить заряды … нКл.
Решение: шарики одинаковой массы, поэтому после установления равновесия они расположатся в вершинах равностороннего треугольника. Пусть сторона треугольника равна a. На шарики действуют силы: T – сила натяжения нити, F – сила отталкивания от двух других шариков, равная равнодействующей двух кулоновских сил, mg – сила тяжести. Сделаем рисунок в двух ракурсах: вид сбоку и сверху, силы изобразим для одного шарика.
Как видно из рисунка: r =l∙sinα, где r – является также радиусом описанной окружности, тогда сторона треугольника: a = r∙√3. Запишем условие равновесия шарика в проекциях и разделим уравнения, тогда
\[ \begin{array}{l} {F=T\cdot \sin \alpha {\rm ,\; \; \; \; }mg=T\cdot \cos \alpha ,} \\ {F=mg\cdot tg\alpha.} \end{array} \]
С другой стороны сила F равна (по теореме косинусов для параллелограмма)
\[ F=\sqrt{F_{1}^{2} +F_{2}^{2} +2\cdot F_{1} \cdot F_{2} \cdot \cos 60{}^\circ } =\frac{kq^{2}}{a^{2}} \cdot \sqrt{3}. \]
Приравняем, подставим a, r и определим заряд шарика q:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2} }{\left(l\cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{3} \right)^{2} } \cdot \sqrt{3} =mg\cdot tg\alpha ,} \\ {q=l\cdot \sin \alpha \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{3} \cdot mg\cdot tg\alpha }{k}}.} \end{array} \]
Ответ: 79 нКл.
Виктор:
В2.6. Тонкое кольцо радиусом R = 100 мм равномерно заряжено зарядом Q = 60,0 нКл. В вакууме на оси кольца на расстоянии l = 200 мм от его центра помещён точечный заряд q = 10,0 нКл. Модуль силы, действующей на заряд q, равен … мкН.
Решение: разобьём кольцо на малые участки, несущие заряд qi. Тогда между шариком и участком кольца (который считаем точечным) возникает сила кулоновского отталкивания. Изобразим данное взаимодействие (см. рис.) Для нахождения силы, действующей на заряд q, воспользуемся принципом суперпозиции сил, т.е. просуммируем силы, действующие на заряд q, и как видно из рисунка,
\[ \begin{array}{l} {r^{2} =R^{2} +l^{2} ,} \\ {F_{i} =\frac{k\cdot q\cdot q_{i} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q\cdot q_{i}}{R^{2} +l^{2}} ,} \\ {F_{ix} =F_{i} \cdot \cos \alpha =\frac{k\cdot q\cdot q_{i} }{r^{2}} \cdot \frac{l}{r} =k\cdot q\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Просуммируем силы. Как видно из рисунка, сумма сил на ось Y будет равна нулю, поэтому сила, действующая на заряд равна сумме Fix, т.е.
\[ \begin{array}{l} {F=\sum _{i}F_{ix} =\sum _{i}\left(k\cdot q\cdot q_{i} \cdot \frac{l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \right) =\frac{k\cdot q\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \sum _{i}q_{i}} \\ {F=\frac{k\cdot q\cdot Q\cdot l}{\left(R^{2} +l^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 97 мкН.
Виктор:
В2.7. Две шайбы массами m1 = m2 = 2,0 г, заряженные разноимёнными зарядами q1 = 1,0 мкКл и q2 = –1,0 мкКл, связаны нитью длиной l = 100 см. Шайбы находятся на горизонтальной поверхности, коэффициент трения скольжения по которой μ = 0,20. Чтобы система не двигалась по поверхности, к шайбам нужно приложить внешние силы, минимальный модуль которых равен …мН.
Решение: т.к. шайбы заряжены разноимённо, то они будут притяги-ваться, поэтому сила извне должна быть направлена против силы притяже-ния, что бы удерживать шайбы. Сила трения будет направлена против воз-можного движения. Пусть шайбы находятся на грани скольжения. На каж-дую шайбу действует шесть сил: mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции опоры, Ftr – максимальна сила трения покоя (сила трения скольжения), F – внешняя сила, Fn - сила натяжения нити и Fk – кулоновская сила притяжения. Изобразим силы (см. рис.).
Сумма этих сил должны быть равна нулю. В проекциях на систему координат, получим систему уравнений (например, для шайбы 1):
\[ \begin{align} & {{F}_{k1}}+{{F}_{n}}-{{F}_{tr}}_{1}-F=0, \\ & {{N}_{1}}-{{m}_{1}}g=0, \\ & {{F}_{tr}}_{1}=\mu \cdot {{N}_{1}}. \\ \end{align}. \]
Если считать, что внешняя сила должна быть минимальной, то в этом случае нить, связывающая шайбы, не будет натянута, т.е. Fn = 0, тогда
\[ \begin{align} & {{F}_{tr}}_{1}=\mu \cdot {{m}_{1}}g, \\ & F={{F}_{k1}}-{{F}_{tr}}_{1}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{l}^{2}}}-\mu \cdot {{m}_{1}}g. \\ \end{align} \]
Ответ: 5мН.
Виктор:
В2.8. Вокруг неподвижного шарика с зарядом q = 1,2∙10-9 Кл вакууме равномерно вращается по окружности отрицательно заряженный шарик. Радиус окружности r = 80 см и много больше размеров шариков. Отношение заряда подвижного шарика к его массе γ = 171. Угловая скорость вращения шарика равна …с.
Решение: пусть подвижный шарик имеет заряд, модуль которого равен Q. При движении по окружности центростремительное ускорение шарику сообщает сила кулоновского взаимодействия (притяжения) со стороны положительно заряженного неподвижного шарика. Запишем второй закон Ньютона, учтём, что центростремительное ускорение a = ω2∙r, ω - угловая скорость, и Q/m = γ.
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot q\cdot Q}{r^{2} } =m\cdot \omega ^{2} \cdot r,} \\ {\omega ^{2} =\frac{k\cdot q\cdot Q}{r^{3} \cdot m},{\rm \; \; \; \; \; }\omega =\sqrt{\frac{k\cdot q\cdot \gamma }{r^{3}}}.} \end{array} \]
Ответ: 60 рад/с.
Виктор:
В2.10. Три одинаковых маленьких шарика, соединённые вместе двумя непроводящими пружинами одинаковой жёсткости, расположены в воздухе вдоль одной прямой на гладкой горизонтальной поверхности. Расстояние между крайними шариками l0 = 10 см. Каждому шарику сообщили одинаковые одноимённые заряды q = 1,0∙10-6 Кл, и расстояние между крайними шариками стало l = 20 см. Жёсткость пружины равна … Н/м.
Решение: рассмотрим силы, действующие только на один крайний шарик: mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции опоры, Fy - сила упругости, F31 и F32 – силы взаимодействия между зарядами. Изобразим силы (см. рис.).
Шарик в равновесии, сумма сил равна нулю, тогда и сумма проекций также равна нулю. В начальный момент пружины были не деформированы, после сообщения зарядов пружины удлинились, причём каждая на величину Δl = (l – l0)/2. Сила упругости подчиняется закону Гука: Fy = k∙Δl. Силы взаимодействия между зарядами подчиняются закону Кулона. Запишем условие равновесия в проекции на ось X
\[ \begin{array}{l} {F_{31} +F_{32} -F_{y} =0,{\rm \; \; \; \; }\frac{k\cdot q^{2}}{l^{2}} +\frac{k\cdot q^{2}}{\left(\frac{l}{2} \right)^{2}} -k\cdot \Delta l=0,} \\ {k\cdot \frac{l-l_{0}}{2} =\frac{5\cdot k\cdot q^{2} }{l^{2}},} \\ {k=\frac{10\cdot k\cdot q^{2}}{l^{2} \cdot \left(l-l_{0} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 23 Н/м.
Навигация
Перейти к полной версии