Решение.
Кинетические энергии протона при влете и при вылете соответственно равны
\[ \begin{align}
& {{E}_{1}}=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2};{{E}_{2}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \\
& \frac{{{E}_{2}}}{{{E}_{1}}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{\upsilon _{0}^{2}} \\
\end{align}
\]
Найдем скорость протона в момент вылета из конденсатора. На протон в электрическом поле действует сила F = q·E (силой тяжести, действующей на протон пренебрегаем по сравнению с силой F), которая сообщает ускорение а, направленное перпендикулярно υ0 и частица движется по параболе (см. рисунок). Совместим начало координат с точкой, в которой находится протон в момент влета в конденсатор, ось OX направим горизонтально, ось OY – вертикально вниз. Проекцию ускорения на ось OY найдем по второму закону Ньютона.
\[ q\cdot E=m\cdot a;a=\frac{q\cdot E}{m} \]
В выбранной системе координат уравнения, определяющие зависимость координаты Х и проекций υх, υу скорости от времени в момент вылета конденсатора
\[ \begin{align}
& l=x={{\upsilon }_{0}}\cdot t;{{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}} \\
& {{\upsilon }_{y}}=a\cdot t=\frac{q\cdot E}{m}\cdot t=\frac{q\cdot E}{m}\cdot \frac{l}{{{\upsilon }_{0}}} \\
\end{align}
\]
Модуль вектора скорости в момент вылета
\[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{\left( \frac{q\cdot E\cdot l}{m\cdot {{\upsilon }_{0}}} \right)}^{2}}} \]
Тогда
\[ \frac{{{E}_{2}}}{{{E}_{1}}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{\upsilon _{0}^{2}}=\frac{\upsilon _{0}^{2}+{{\left( \frac{q\cdot E\cdot l}{m\cdot {{\upsilon }_{0}}} \right)}^{2}}}{\upsilon _{0}^{2}}=1+{{\left( \frac{q\cdot E\cdot l}{m\cdot {{\upsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{\upsilon _{0}^{2}}=6 \]
