Решение: пусть
l1 - пройденный путь за первую половину времени, со скоростью υ
1 = 3 м/с, под углом α = 60° к некоторому направлению,
l2 - пройденный путь за вторую половину времени со скоростью υ
2 = 5 м/с, под углом β = 120° к тому же направлению (β = 2α – по условию),
r - перемещение тела (см. рис.). Средняя скорость прохождения пути находится по формуле:
\[ \upsilon _{cp\_ l} =\frac{S}{t}. \]
здесь
S – пройденный путь:
S =
l1 +
l2t – затраченное время:
t = t1 +
t2,
причем, по условию, время движения на первом участке
t1 и время движения на втором участке
t2 равны между собой и составляют половину от всего времени движения:
t1 = t2 = t/2.
Определим пройденный путь телом:
\[ S=l_{1} +l_{2} =\upsilon _{1} \cdot t_{1} +\upsilon _{2} \cdot t_{2} =\left(\upsilon _{1} +\upsilon _{2} \right)\cdot \frac{t}{2}. \]
Получаем:
\[ \upsilon _{cp\_ l} =\frac{\left(\upsilon _{1} +\upsilon _{2} \right)\cdot \frac{t}{2} }{t} =\frac{\upsilon _{1} +\upsilon _{2}}{2}. \]
Средняя скорость перемещения находится по формуле:
\[ \upsilon _{cp\_ r} =\frac{r}{t}. \]
Перемещение тела определим по теореме косинусов:
\[ \begin{array}{l} {r^{2} =l_{1}^{2} +l_{2}^{2} -2\cdot l_{1} \cdot l_{2} \cdot \cos 2\alpha ,} \\ {r^{2} =\left(\upsilon _{1} \cdot \frac{t}{2} \right)^{2} +\left(\upsilon _{2} \cdot \frac{t}{2} \right)^{2} -2\cdot \upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} \cdot \left(\frac{t}{2} \right)^{2} \cdot \cos 2\alpha ,} \\ {r=\frac{t}{2} \cdot \sqrt{\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} -2\cdot \upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} \cdot \cos \beta }.} \end{array} \]
Получаем:
\[ \upsilon _{cp\_ r} =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} -2\cdot \upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} \cdot \cos \beta}. \]
Ответ: υ
cp_l = 4 м/с, υ
cp_r = 3,5 м/с.
