Автор Тема: взаимодействие четырех заряженных шариков  (Прочитано 2134 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

himik

  • Гость
Четыре одинаково заряженных шарика массой m = 1,9*10-2 кг каждый подвесили в одной точке на изолирующих нитях одинакововй длины. Заряд каждого шарика q = 10-6 Кл. При этом шарики расположились в вершинах квадрата со стороной а = 0,3 м. Определите угол отклонения каждой нити от вертикали.

источник: скорее всего журнал "Квант", задачи для поступления в Московский государственный институт электронной техники 

Спасибо

Kivir

  • Гость
Решение: пронумеруем вершины (см. рис.). т.к. шарики одинаковой массы и заряда, то система симметрична, поэтому расстановку сил изобразим только для одного из зарядов. На заряд в четвёртой вершине действуют силы:  mg – сила тяжести, вертикально вниз, T – сила натяжения нити (направлена вдоль нити), F1 – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда в первой вершине,  F2 – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда, находящегося во второй вершине и F3 – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда в третьей вершине квадрата. Заряд находится в равновесии, поэтому сумма сил, действующих на него, равна нулю.
\[ \vec{T}+m\vec{g}+{{\vec{F}}_{1}}+{{\vec{F}}_{2}}+{{\vec{F}}_{3}}=0. \]
Значит и сумма проекций сил на выбранную систему координат также равна нулю. Пусть ось x - направлена по диагонали квадрата, ось y – вертикально вверх (см.рис.). В проекциях, имеем:

x:   F2 + F1∙cos45º + F3∙cos45º – T∙sinα = 0,
y:   T∙cosα – mg = 0,
Силы электростатического взаимодействия зарядов определим по закону Кулона:
\[ \begin{array}{ll} {} & {F_{1} =F_{3} =\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q^{2} }{a^{2} } ,} \\ {} & {F_{2} =\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} } .} \end{array} \]
Учли, что заряды одинаковые, расстояние от 1-го и 3-го равно стороне квадрата, а от 2-го диагонали квадрата, k = 9∙109 Н∙м2/Кл2 – коэффициент закона Кулона. Получаем:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} } +2\cdot \frac{k\cdot q^{2} }{a^{2} } \cdot \cos 45{}^\circ =T\cdot \sin \alpha ,} \\ {T=\frac{mg}{\cos \alpha } .} \end{array} \]
Подставляя силу натяжения в первое уравнение, получим:
\[ mg\cdot tg\alpha =\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} } \left(1+2\sqrt{2} \right). \]
Искомый угол:
\[ \alpha =arctg\left(\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} \cdot mg} \cdot \left(1+2\sqrt{2} \right)\right).  \]
Ответ: α = 45º (g = 10 м/с2)

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24