Решение: на грузик действует две силы: mg – сила тяжести, T – сила натяжения нити. Запишем второй закон Ньютона:
\[ \vec{T}+m\vec{g}=m\vec{a}. \]
В проекции на ось x для двух положений (см. рис.)
\[ \begin{array}{l}{-T_{1}-mg=-ma_{1},}\\{T_{2}-mg=ma_{2}.}\end{array} \]
a1 и a2 – центростремительные ускорения в верхней и нижней точках соответственно. Центростремительное ускорение можно определить по формуле:
\[ a=\frac{\upsilon ^{2} }{R}. \]
R = l - радиус вращения, υ – скорость груза. Скорость груза в нижней точке определим из закона сохранения энергии: система замкнута, поэтому полная механическая энергия груза в верхней точке, равна энергии в нижней. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной. За ноль отсчёта высоты примем нижнюю точку, тогда:
\[ \begin{array}{l} {E_{1} =E_{2} ,} \\ {m\cdot g\cdot 2l+\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{2}^{2} =\upsilon _{1}^{2} +4\cdot g\cdot l.} \end{array} \]
Тогда из второго закона, получаем:
\[ \begin{array}{l}{T_{2}=m\cdot(g+\frac{\upsilon_{2}^{2}}{l}),}\\{T_{1} =m\cdot(\frac{\upsilon_{1}^{2}}{l}-g).}\end{array} \]
Искомое отношение:
\[ \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{gl+\upsilon_{2}^{2}}{\upsilon_{1}^{2}-gl} =\frac{5gl+\upsilon_{1}^{2}}{\upsilon_{1}^{2}-gl}. \]
Ответ: в 19 раз (g = 10 м/с2)
