Решение. Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела
J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела
J0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела
m на квадрат расстояния
d между осями.
1) Момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку
С определим по формуле
J = J1 + J2 + J3 , J1 = J2 = J3 , J = 3∙ J1 (1).
J1 - момент инерции тонкого однородного стержня.
Запишем формулу для определения момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку
С\[ {{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot d_{1}^{2}(2),{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}(3). \]
d1 – радиус уписанной окружности в равносторонний треугольник.
\[ \begin{align}
& {{d}_{1}}=\frac{S}{p}(4),p=\frac{a+b+c}{2},p=\frac{3\cdot l}{2}\,(5),S=\frac{1}{2}\cdot {{l}^{2}}\cdot \sin \frac{\pi }{3},S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{l}^{2}}(6),{{d}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4\cdot 3\cdot l}\cdot {{l}^{2}}\cdot 2, \\
& {{d}_{1}}=\frac{l}{2\cdot \sqrt{3}}(7).{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{2\cdot \sqrt{3}})}^{2}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{6}\,(8).J=3\cdot \frac{m\cdot {{l}^{2}}}{6}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{2}(9). \\
& J=\frac{1\cdot {{1}^{2}}}{2}=0,5. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,5 кг∙м
2.