Решение. Покажем рисунок. Запишем закон сохранения энергии для пунктов 1 и 2.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ g\cdot h=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}\ \ \ \ (1). \]
В пункте 2 тело оторвется от поверхности сферы, в этом пункте сила реакции опоры равна нулю. Покажем силы, которые действуют на тело и ускорение в пункте 2, выберем ось
Оy, как показано на рисунке. Применим второй закон Ньютона, найдем проекции на ось
Оy.
\[ \begin{align}
& \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\ Oy:\ m\cdot g\cdot \cos \alpha =m\cdot a, \\
& g\cdot \cos \alpha =a,\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ g\cdot \cos \alpha =\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (2). \\
& \cos \alpha =\frac{R-h}{R}\ \ \ (3). \\
\end{align} \]
(3) подставим в (2) из (2) выразим υ
2 и υ
2 подставим в (1) выразим высоту считая от вершины полусферы
\[ \begin{align}
& \frac{g\cdot (R-h)}{R}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ {{\upsilon }^{2}}=g\cdot (R-h),\ g\cdot h=\frac{g\cdot (R-h)}{2},2\cdot g\cdot h=g\cdot (R-h), \\
& 3\cdot h=R,h=\frac{R}{3}.h=\frac{90}{3}=30. \\
\end{align} \]
Ответ: 30 см.