Определите для момента времени модуль скорости и модуль ускорения

[Антон Огурцевич]

5. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = t³∙i + 3∙t²∙j. Определите для момента времени 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По условию задачи задана вектор функция r(t).

r = t³∙i + 3∙t²∙j.

Скорость выразим как первую производную от r по t:

\[ \begin{align}
  & \upsilon (t)=r(t)'=3\cdot {{t}^{2}}\cdot i+6\cdot {{t}^{2}}\cdot j. \\
 & {{\upsilon }_{x}}=3\cdot {{t}^{2}},\ {{\upsilon }_{y}}=6\cdot {{t}^{2}}. \\
 & \upsilon (t)=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}},\ \upsilon (t)=\sqrt{{{(3\cdot {{t}^{2}})}^{2}}+{{(6\cdot {{t}^{2}})}^{2}}}={{t}^{2}}\cdot \sqrt{45}. \\
 & t=1.\,\upsilon (1)={{1}^{2}}\cdot \sqrt{45}=6,7. \\
\end{align} \]

Ускорение вторая производная от r по t:

\[ \begin{align}
  & a(t)=r(t)''=6\cdot t\cdot i+12\cdot t\cdot j. \\
 & {{a}_{x}}=6\cdot t,\ {{a}_{y}}=12\cdot t. \\
 & a(t)=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}},\ a(t)=\sqrt{{{(6\cdot t)}^{2}}+{{(12\cdot t)}^{2}}}=t\cdot \sqrt{180}. \\
 & t=1.a(1)=1\cdot \sqrt{180}=13,42. \\
\end{align} \]

Ответ: υ = 6,7 м/с, а = 13,42 м/с².