Решение: воспользуемся теорией Бора (вторым постулатом)
\[ E=E_{2} -E_{1}, \]
где E — излучённая (поглощённая) энергия (энергия фотона),
\[ E=\frac{h\cdot c}{\lambda }, \]
h = 4,136∙10-15 эВ∙с – постоянная Планка, c = 3∙108 м/с – скорость света, E1 = –13,6 эВ – энергия основного состояния. Причём энергия возбуждённого состояния равна
\[ E_{2} =\frac{E_{1}}{n^{2}}, \]
n – номер возбуждённого квантового состояния, в котором находился атом. Определим это состояние:
\[ \frac{h\cdot c}{\lambda } =\frac{E_{1} }{n^{2} } -E_{1} {\rm \; \; \; \; \; },\frac{h\cdot c}{\lambda } +E_{1} =\frac{E_{1}}{n^{2}} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }n=\sqrt{\frac{E_{1}}{\frac{h\cdot c}{\lambda } +E_{1}}}. \]
Воспользуемся правилом квантования момента импульса
\[ m\cdot \upsilon _{n} \cdot r_{n} =n\cdot \frac{h}{2\pi}, \]
где m = 9,1∙10-31 кг – масса электрона, учтём, что линейная скорость вращения электрона на энной орбите связана с периодом вращения и радиусом:
\[ \upsilon _{n} =\frac{2\pi }{T_{n}} \cdot r_{n}, \]
где радиус энной орбиты связан с радиусом основной (r1 = 5,3∙10-11 м):
\[ r_{n} =r_{1} \cdot n^{2}. \]
Таким образом, собирая всё в правило квантования, получим
\[ \begin{array}{l} {m\cdot \frac{2\pi }{T_{n}} \cdot r_{1} \cdot n^{2} \cdot r_{1} \cdot n^{2} =n\cdot \frac{h}{2\pi },} \\ {m\cdot 4\pi ^{2} \cdot r_{1}^{2} \cdot n^{3} =h\cdot T_{n}.} \end{array} \]
Записав для двух случаев и разделив друг на друга, получим искомое отношение периодов вращения
\[ \left\{\begin{array}{l} {m\cdot 4\pi ^{2} \cdot r_{1}^{2} \cdot n^{3} =h\cdot T_{n} } \\ {m\cdot 4\pi ^{2} \cdot r_{1}^{2} \cdot 1^{3} =h\cdot T} \end{array}\right. {\rm \; \; \; \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; \; \; }\frac{T_{n}}{T} =n^{3} =\left(\sqrt{\frac{E_{1}}{\frac{h\cdot c}{\lambda } +E_{1}}} \right)^{3}. \]
После подстановки числовых данных
\[ {\rm \; }\frac{T_{n}}{T} =\left(\sqrt{\frac{-13,6}{\frac{4,136\cdot 10^{-15} \cdot 3\cdot 10^{8}}{97,5\cdot 10^{-9}} +\left(-13,6\right)}} \right)^{3} =64. \]
Ответ: в 64 раза
