Решение
Закон сохранения импульса (ЗСИ): импульс системы остается постоянным при любых взаимодействиях внутри системы:
\[ {{m}_{1}}{{\vec{\upsilon }}_{1}}={{m}_{1}}{{\vec{u}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\vec{u}}_{2}}.(1) \]
Проекция на ось x:
\[ {{m}_{1}}{{\upsilon }_{1}}={{m}_{1}}{{u}_{1}}+{{m}_{2}}{{u}_{2}}.(2) \]
Закон сохранения энергии (ЗСЭ): в замкнутой механической системе сумма механических видов энергии (потенциальной и кинетической энергии, включая энергию вращательного движения) остается неизменной:
\[ \begin{align}
& {{W}_{k1}}=W_{k1}^{\grave{\ }}+W_{k2}^{\grave{\ }}, \\
& \frac{{{m}_{1}}\upsilon _{1}^{2}}{2}=\frac{{{m}_{1}}u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}u_{2}^{2}}{2}.(3) \\
\end{align} \]
Определим скорость второго тела после столкновения
\[ \begin{align}
& W_{k2}^{\grave{\ }}=\frac{{{m}_{2}}u_{2}^{2}}{2},(4) \\
& {{u}_{2}}=\sqrt{\frac{2W_{k2}^{2}}{{{m}_{2}}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 5}{2,5}}=2\frac{м}{с}. \\
\end{align} \]
Из (2) найдем скорость первого тела до столкновения
\[ {{\upsilon }_{1}}=\frac{{{m}_{1}}{{u}_{1}}+{{m}_{2}}{{u}_{2}}}{{{m}_{1}}}.(5) \]
Подставим (5) в (3) и найдем скорость первого тела после столкновения
\[ \begin{align}
& \frac{{{m}_{1}}}{2}{{\left( \frac{{{m}_{1}}{{u}_{1}}+{{m}_{2}}{{u}_{2}}}{{{m}_{1}}} \right)}^{2}}=\frac{{{m}_{1}}u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}u_{2}^{2}}{2}, \\
& \frac{{{\left( {{m}_{1}}{{u}_{1}}+{{m}_{2}}{{u}_{2}} \right)}^{2}}}{{{m}_{1}}}={{m}_{1}}u_{1}^{2}+{{m}_{2}}u_{2}^{2}, \\
& m_{1}^{2}u_{1}^{2}+2{{m}_{1}}{{m}_{2}}{{u}_{1}}{{u}_{2}}+m_{2}^{2}u_{2}^{2}=m_{1}^{2}u_{1}^{2}+{{m}_{1}}{{m}_{2}}u_{2}^{2}, \\
& {{u}_{1}}=\frac{({{m}_{1}}-{{m}_{2}}){{u}_{2}}}{2{{m}_{1}}}=\frac{(5-2,5)\cdot 2}{2\cdot 5}=0,5\frac{м}{с}. \\
\end{align} \]
Кинетическая энергия первого тела после удара
\[ W_{k1}^{\grave{\ }}=\frac{{{m}_{1}}u_{1}^{2}}{2}=\frac{5\cdot {{0,5}^{2}}}{2}=0,625 Дж. \]
По ЗСЭ найдем кинетическую энергию первого тела до столкновения
\[ {{W}_{k1}}=W_{k1}^{\grave{\ }}+W_{k2}^{\grave{\ }}=0,625+5=5,625 Дж. \]
Ответ: 5,625 Дж, 0,625 Дж.
