Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу

[darkvlad]

Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу 1-2-3-1 (рисунок во вложении), если температура Т₂=100 К, а при изобарном охлаждении объем газа уменьшился в 4 раза. Рабочее тело - 2 моль идеального одноатомного газа.

[alsak]

КПД теплового циклического процесса и количества теплоты, получаемые Q_n и отдаваемые двигателем Q_x, связаны соотношением
\[\eta =\frac{Q_{n} -Q_{x} }{Q_{n} } =1-\frac{Q_{x} }{Q_{n} } .\; \; \; (1).\]
Цикл состоит из 3 процессов. Теплоту на каждом из процессов будем находить, используя первое начало термодинамики, уравнение для изменения внутренней энергии идеального одноатомного газа и уравнение Клапейрона-Менделеева:
\[Q=\Delta U+A,\; \; \; \Delta U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T,\; \; \; p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T.\]
Процесс 1-2 изобарный (p₁ = p₂). Для этого процесса работа газа

A₁₂ = p₁∙(V₂ – V₁) = ν∙R∙(T₂ – T₁).

Температуру T₂ найдем из уравнения для изобарного процесса:
\[\frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2} } ,\; \; \; T_{2} =\frac{V_{2} }{V_{1} } \cdot T_{1} =\frac{T_{1} }{4} ,\; \; \; T_{2} -T_{1} =-\frac{3T_{1} }{4} .\; \; \; (2)\]
так как по условию V₁ = 4V₂ («при изобарном охлаждении объем газа уменьшился в 4 раза»). Тогда
\[\begin{array}{c} {Q_{12} =\Delta U_{12} +A_{12} =\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)+\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=} \\ {=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=-\frac{15}{8} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} <0.} \end{array}\]

Процесс 2-3 изохорный (V₂ = V₃). Для этого процесса работа газа A₂₃ = 0 (т.к. объем не изменяется). Из графика видно, что T₃ = T₁. Тогда с учетом уравнения (2) получаем:
\[Q_{23} =\Delta U_{23} =\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{3} -T_{2} \right)=\frac{9}{8} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} >0.\]

Процесс 3-1 изотермический (T₁ = T₃). Для этого процесса ΔU₃₁ = 0 (т.к. температура не изменяется), а работа газа
\[A_{31} =\int _{V_{3} }^{V_{1} }p\cdot {\rm d}V =\int _{V_{3} }^{V_{1} }\nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \frac{{\rm d}V}{V}  =\nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \ln \frac{V_{1} }{V_{3} } =\nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \ln 4,\]
так как V₁ = 4V₂ = 4V₃. Тогда

Q₃₁ = A₃₁ = ν∙R∙T₁∙ln 4 > 0.

Так как Q₂₃ > 0 и Q₃₁ > 0, то
\[Q_{n} =Q_{23} +Q_{31} =\frac{9}{8} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} +\nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \ln 4=\nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \left(\frac{9}{8} +\ln 4\right);\]
так как Q₁₂ < 0, то
\[Q_{x} =\left|Q_{12} \right|=\frac{15}{8} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} .\]

После подстановки в уравнение (1) получаем
\[\eta =1-\frac{\frac{15}{8} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} }{\nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \left(\frac{9}{8} +\ln 4\right)} =1-\frac{15}{9+8\ln 4} ,\]
η = 0,25 = 25%.

Примечание. Задача вузовского курса физики, поэтому за нарушения правил форума darkvlad получает предупреждение. В следующий раз за такие задачи начну снижать рейтинг.