Пусть черная точка — это точка А (рис. 1). Найдем построением ее изображение: луч 1 направим через центр шара (точка О), луч 2 под малым углом α к прямой АО (на рисунке угол для наглядности увеличен). Пересечением этих лучей будет точка А', которая и является изображением точки А.
Треугольник ΔAOB равнобедренный (OA = OB = R), поэтому углы BAO = OBA = α.
Из треугольника ΔAA'B получаем
β + A'AB + ABA' = 180° или
β + (180° – α) + (γ – α) = 180°,
β = 2α – γ. (1)
Углы α и γ связаны соотношением
\[\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma } =\frac{1}{n}. \; \; \; (2)\]
Рассмотрим два прямоугольного треугольника ΔBCA и ΔBCA´:
BC = CA∙tg α = CA´∙tg β, (3)
где CA´ = CO + L.
Так как угол α мал (и β), то:
1) tg α = sin α = α, tg β = sin β = β, sin γ = γ.
Тогда из уравнения (2) и (1) получаем, что
γ = n∙α, β = α∙(2 – n).
2) CO= R.
Тогда
CO = R, CA = 2R, CA´ = R + L.
После подстановки в уравнение (3) получаем:
2R∙α = (R + L)∙α∙(2 – n),
\[n=2-\frac{2R}{R+L}=\frac{2L}{R+L},\]
n = 1,6.