Решение: на сферу, подвешенную к пружине, действует три силы: mg – сила тяжести, Fy – сила упругости со стороны пружины, Fa – выталкивающая сила Архимеда (см. рис). Сфера висит на пружине, которая будет растянута на величину x. До повышения давления и после сфера находится в равновесии. При этом сосуд закрыт, и повышение давления вызовет увеличение плотности воздуха, что в свою очередь вызовет увеличение силы Архимеда и сфера приподнимется. Искомая высота будет равна разности удлинений пружины x до и после изменения давления в сосуде.
Запишем условие равновесия (сумма сил равна нулю) в проекции на ось y:
Fy +Fa – mg = 0 или mg = Fy +Fa.
Для двух состояний:
mg = Fy1 +Fa1 и mg = Fy2 +Fa2 .
Приравняем и учтём, что сила упругости подчиняется закону Гука: Fy = k∙x, выталкивающая сила: Fa = ρ∙g∙V, ρ – плотность воздуха в сосуде.
k∙x1 + ρ1∙g∙V = k∙x2 + ρ2∙g∙V,
k∙(x1 – x2) = g∙V(ρ2– ρ1),
Плотность воздуха определим из уравнения Клапейрона – Менделеева:
\[ \rho =\frac{p\cdot M}{R\cdot T}, \]
Искомая высота:
\[ h={{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{g\cdot V}{k}\left( {{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}} \right), \]
\[ h=\frac{g\cdot V\cdot M}{k\cdot R\cdot T}\left( {{p}_{2}}-{{p}_{1}} \right). \]
Ответ: 2,4 см.