Введем обозначения: линза 1 — это ближайшая к предмету линза, изображение 1 — это изображение полученное в линзе 1, изображение 2 — это изображение полученное в линзе 2, f1 — расстояние от линзы 1 до изображения 1, d2 — расстояние от изображения 1 (которое является предметом для линзы 2) до линзы 2, f2 = d — расстояние от линзы 2 до изображения 2.
1 предположение: линзы рассеивающие (рис. 1). Тогда d2 = f1 + l, от точки А1 на линзу 2 падают расходящиеся лучи, поэтому точка А1 является действительным предметом для линзы 2. Так как линзы рассеивающие, то изображения в линзах будут мнимыми. Запишем формулы тонкой линзы для двух линз:
\[ -\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f_{1} }, \; \; \; -\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2}} -\frac{1}{f_{2} } =\frac{1}{f_{1} +l} -\frac{1}{d}. \]
Решим систему уравнений. Например,
\[ f_{1} =\frac{d\cdot F}{d+F}, \; \; \; -\frac{1}{F} =\frac{d+F}{d\cdot F+l\cdot \left(d+F\right)} -\frac{1}{d} =\frac{d^{2} -l\cdot d-l\cdot F}{\left(d\cdot F+l\cdot d+l\cdot F\right)\cdot d}, \]
d2⋅F + l⋅d⋅F + l⋅d2 = l⋅F2 + l⋅d⋅F – d2⋅F,
l⋅F2 – 2d2⋅F– l⋅d2 = 0.
Положительный корень этого квадратного уравнения
F = 2,4 м.
2 предположение: линзы собирающие и d < F (рис. 2). Тогда d2 = f1 + l, от точки А1 на линзу 2 падают расходящиеся лучи, поэтому точка A1 является действительным предметом для линзы 2. Так как d < F, то изображение 1 мнимое, так как d2 > F, то изображение 2 действительное. Запишем формулы тонкой линзы для двух линз:
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f_{1}}, \; \; \; \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2} } =\frac{1}{f_{1} +l} +\frac{1}{d}. \]
Решим систему уравнений. Например,
\[ f_{1} =\frac{d\cdot F}{F-d} ,\; \; \; \frac{1}{F} =\frac{F-d}{d\cdot F+l\cdot \left(F-d\right)} +\frac{1}{d} =\frac{2d\cdot F+l\cdot F-l\cdot d-d^{2} }{\left(d\cdot F+l\cdot F-l\cdot d\right)\cdot d}, \]
d2⋅F + l⋅d⋅F – l⋅d2 = 2d⋅F2 + l⋅F2 – l⋅d⋅F – d⋅2F,
(2d + l)⋅F2 – 2d⋅(l + d)⋅F + l⋅d2 = 0.
Корни этого квадратного уравнения 1 м и 1/3 м не подходят для нашего предположения — d < F. Значит наше предположение не верное.
Продолжение следует.