Введем новые обозначения (рис. 1): h3 — высота ртути в среднем сосуде над уровнем АВ, h4 — высота ртути в левом сосуде над уровнем АВ.
Так как ниже уровня АВ однородная жидкость (ртуть), то давления в точках A, B и C будут равны:
pA = pB = pC,
где pA = ρ2⋅g⋅h1 + ρ⋅g⋅h4, pB = ρ2⋅g⋅h2, pC = ρ⋅g⋅h3. Тогда из pB = pC получаем
ρ2⋅g⋅h2 = ρ⋅g⋅h3, h3 = ρ2⋅h2/ρ, (1)
из pA = pB получаем
ρ2⋅g⋅h1 + ρ⋅g⋅h4 = ρ2⋅g⋅h2, h4 = ρ2⋅(h2 – h1)/ρ. (2)
Так как жидкость (ртуть) несжимаема, то увеличение объема ртути в среднем сосуде ΔV3 равно суммарному уменьшению объемов ртути в боковых сосудах, т.е.
ΔV3 = ΔV1 + ΔV2 или
Δh = Δh1 + Δh2 (3)
(так как у всех трех сосудов одинаковая площадь поперечного сечения), где Δh — изменение уровня ртути в среднем сосуде, Δh1 — изменение уровня ртути в левом сосуде, Δh2 — изменение уровня ртути в правом сосуде (рис. 2). Составим еще два уравнения (см. рис. 2):
Δh + Δh2 = h3, (4)
Δh + Δh1 = h3 – h4. (5)
Решим систему уравнений (3)-(5). Например,
h3 = Δh1 + 2Δh2, h3 – h4 = 2Δh1 + Δh2,
2h3 – h3 + h4 = 3Δh2, Δh2 = (h3 + h4)/3,
2h3 – 2h4 – h3 = 3Δh1, Δh1 = (h3 – 2h4)/3.
С учетом уравнений (1) и (2) получаем, что
\[ \Delta h=\frac{h_{3} -2h_{4}}{3} +\frac{h_{3} +h_{4}}{3} =\frac{2h_{3} -h_{4}}{3} =\frac{1}{3} \cdot \left(2\cdot \frac{\rho _{2} \cdot h_{2}}{\rho } -\frac{\rho _{2} \cdot \left(h_{2} -h_{1} \right)}{\rho } \right)=\frac{\rho _{2} \cdot \left(h_{2} +h_{1} \right)}{3\rho }, \]
Δh = 0,01 м.
Примечание. В условии еще необходимо знать плотность воды — ρ2 = 1000 кг/м3.
PS Надо сразу и точнее указывать источник задачи: МГУ им. Ломоносова (Квант. — 1992. — № 2. — С. 61)