Решение: чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, что бы сумма сил, действовавших на каждый заряд со стороны других была равна нулю. Достаточно проверить данное условие равновесия только для двух зарядов. Искомый заряд q3 – должен находится между двумя остальными и быть отрицательным. Только в этом случае силы притяжения его к положительным зарядам будут иметь противоположные направления и смогут в сумме дать ноль. При этом, например, на первый заряд q1, будет действовать сила отталкивания со стороны второго F12 и сила притяжения к третьему F13. Они тоже будут противоположно направлены и в сумме могут тоже дать ноль. Иной ситуации невозможно. (q3 не может быть положительным, т.к. в этом случае на заряды q1 и q2 будут действовать силы в одном направлении и не смогут скомпенсировать друг друга.).
Запишем условие равновесия для третьего заряда (используя закон Кулона):
\[ \begin{align}
& {{F}_{31}}={{F}_{32,}} \\
& \frac{k\cdot {{q}_{3}}\cdot {{q}_{1}}}{{{x}^{2}}}=\frac{k\cdot {{q}_{3}}\cdot {{q}_{2}}}{{{\left( r-x \right)}^{2}}}, \\
\end{align} \]
Проведём сокращения, извлечём квадратный корень из обеих частей (расстояние всё равно не может быть отрицательным):
\[ \frac{\sqrt{{{q}_{1}}}}{x}=\frac{\sqrt{{{q}_{2}}}}{r-x}, \]
Искомое расстояние, где нужно расположить третий заряд, на линии, соединяющей заряды от первого:
\[ x=\frac{\sqrt{{{q}_{1}}}}{\sqrt{{{q}_{1}}}+\sqrt{{{q}_{2}}}}\cdot r. \]
x = 24,85 см.
Запишем условие равновесия для первого заряда:
\[ \begin{align}
& {{F}_{12}}={{F}_{13,}} \\
& \frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}=\frac{k\cdot {{q}_{1}}\cdot {{q}_{3}}}{{{x}^{2}}}, \\
\end{align} \]
Проведём сокращения и выразим искомый заряд q3:
\[ {{q}_{3}}=\frac{{{x}^{2}}}{{{r}^{2}}}{{q}_{2}}. \]
Искомый заряд по модулю:
q3= 0,686= 0,69 нКл.
Ответ: заряд q3 = – 0,69 нКл, нужно поместить на расстоянии 24,85 см от первого заряда на линии их соединяющей.