Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Кинематика => Механика => Свободное падение => : student himik 13 December 2011, 22:47

: Задача про пушку, стреляющую с земли в цель, которая на высоте
: student himik 13 December 2011, 22:47

Пушка, стоящая на поверхности земли, выстреливает снаряд с начальной скоростью υ₀. Под каким углом к горизонту надо направить ствол пушки, чтоб поразить цель, находящуюся на расстоянии L от пушки и на высоте h над поверхностью земли?

Это вроде как школьная задача. Учусь в вузе, не знаю как решать.

: Re: Задача про пушку, стреляющую с земли в цель, которая на высоте
: alsak 17 December 2011, 08:23

За тело отсчета выберем точку, в которой находится пушка, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх (рис. 1).
Запишем уравнения координат для снаряда (вдоль оси 0Х тело движется равномерно, вдоль 0Y — с ускорением g):

0Х: x = x₀ + υ_0x∙t,

\[ 0Y:\; \; \; y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2}, \]
где y₀ = 0, x₀ = 0, υ_0x = υ₀⋅cos α, υ_0y = υ₀⋅sin α, g_y = –g.

Пусть в некоторый момент времени t = t₁ снаряд попадает в цель (точка А), тогда y = h, x = L. Получаем

L = υ₀⋅cos α∙t₁,   (1)

\[ h=\upsilon _{0} \cdot {\rm sin\; }\alpha \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2}. \; \; \; (2) \]
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
\[ t_{1} =\frac{L}{\upsilon _{0} \cdot {\rm cos\; }\alpha } ,\; \; \; h=\upsilon _{0} \cdot {\rm sin\; }\alpha \cdot \frac{L}{\upsilon _{0} \cdot {\rm cos\; }\alpha } -\frac{g}{2} \cdot \left(\frac{L}{\upsilon _{0} \cdot {\rm cos\; }\alpha } \right)^{2}. \]
Из тригонометрии
\[ \frac{{\rm sin\; }\alpha }{{\rm cos\; }\alpha } ={\rm tg\; }\alpha, \; \; \; \frac{1}{{\rm cos}^{2} \alpha } =1+{\rm tg}^{2} \alpha. \]
Тогда
\[ h=L\cdot {\rm tg\; }\alpha -\frac{g\cdot L^{2} }{2\upsilon _{0}^{2} } \cdot \left(1+{\rm tg}^{2} \alpha \right), \; \; \; \frac{g\cdot L^{2} }{2\upsilon _{0}^{2} } \cdot {\rm tg}^{2} \alpha -L\cdot {\rm tg\; }\alpha +h+\frac{g\cdot L^{2} }{2\upsilon _{0}^{2} } =0. \]
Получили квадратное уравнение относительно tg α. Корни этого уравнения:
\[ {\rm tg\; }\alpha =\frac{L\cdot \upsilon _{0}^{2} \pm \sqrt{L^{2} \cdot \upsilon _{0}^{4} -g\cdot L^{2} \cdot \left(2h\cdot \upsilon _{0}^{2} +g\cdot L^{2} \right)} }{g\cdot L^{2}}. \]
Если выражение под корнем будет меньше нуля, то снаряд цели не достигнет.

: Re: Задача про пушку, стреляющую с земли в цель, которая на высоте
: student himik 18 December 2011, 06:19

Большое спасибо :) Вопросов нет :)