Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => Тема начата: alsak от 31 Май 2011, 12:13

Название: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 31 Май 2011, 12:13
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

          925 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg38958.html#msg38958) 926 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40515.html#msg40515) 927 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40516.html#msg40516) 928 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40517.html#msg40517) 929 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40518.html#msg40518)
930 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40519.html#msg40519) 931 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40520.html#msg40520) 932 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40521.html#msg40521) 933 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40522.html#msg40522) 934 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40523.html#msg40523) 935 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40524.html#msg40524) 936 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40525.html#msg40525) 937 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg38957.html#msg38957) 938 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg38959.html#msg38959) 939 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg38960.html#msg38960)
940 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40526.html#msg40526) 941 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40527.html#msg40527) 942 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40528.html#msg40528) 943 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5166.msg40529.html#msg40529)
Название: Re: Квантовая физика из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: andrey от 29 Май 2012, 13:21
925 , 937, 938, 939
Название: Re: Квантовая физика из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djek от 29 Май 2012, 19:28
937. Пластинку, изготовленную из некоторого металла, освещают сначала одним светом, вызывающим фотоэффект, а затем другим, энергия фотона которого на ΔЕ = 3 эВ больше энергии фотона первого света. На сколько изменилась при этом максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов?
Решение.
Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, энергия фотона Е, поглощаемая электроном вещества, расходуется на работу Авых выхода электрона из вещества и на сообщение ему кинетической энергии Ек Запишем это уравнение для первого и второго случаев:
Е1 = Авых + Ек1
Е2 = Авых + Ек2
Отнимем от второго уравнения первое. Получим, что изменение кинетической энергии электронов равно разности энергий фотонов
Е2 - Е1 = Ек1 - Ек2
ΔЕ = ΔЕк

Название: Re: Квантовая физика из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djek от 29 Май 2012, 19:46
925. Определить энергию и импульс фотона видимого света, длина волны которого λ = 0,6 мкм. Постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света в вакууме с = 3 · 108 м/с.
Решение.
В развитие идеи Планка о том что свет испускается квантами, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями - квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами (фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний ν волны соотношением Планка
\[ E=h\cdot \nu =h\cdot \frac{c}{\lambda } \]
где h – постоянная планка, ν – частота света, λ – длина волны.
Модуль импульса фотона
\[ p=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda } \]
Название: Re: Квантовая физика из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djek от 29 Май 2012, 20:44
938. При увеличении частоты падающего на металл света в n1 = 2 раза задерживающее напряжение для фотоэлектронов увеличивается в n2 = 3 раза. Частота первоначально падающего света ν = 1,2 · 1015 Гц. Определить длину волны света, соответствующую красной границе фотоэффекта для этого металла. Скорость света в вакууме с= 3·108 м/с.
Решение.
Максимальная длинна волны падающего света, при которой еще возможен фотоэффект, называется «красной границей» фотоэффекта. При λ = λкр скорость фотоэлектронов равна нулю. Тогда
\[ \begin{align}
  & {{A}_{в}}=h\cdot \frac{c}{\lambda } \\
 & \lambda =\frac{h\cdot c}{{{A}_{в}}} \\
\end{align}
 \]
Работу выхода электронов из металла найдем используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и учтем, что величина задерживающего напряжения связана с максимальной кинетической энергией фотоэлектронов следующим образом
Ek = e·U
(кинетическая энергия электронов равна по величине работе сил электрического поля)
Тогда уравнение Эйнштейна примет вид
h·ν = Aв + e·U
Aв = h·ν - e·U
Тут нам не известна величина задерживающего напряжения. Воспользуемся тем, что металл освещают светом разной частоты и что ν2 = n1· ν, U2 = n2·U
Aв = h·ν - e·U
Aв = h·ν·n1- e·U n2
Решая эти уравнения относительно U получим
\[ U=\frac{h\cdot \nu \cdot ({{n}_{1}}-1)}{e\cdot ({{n}_{2}}-1)} \]
Тогда работа выхода
\[ \begin{align}
  & {{A}_{}}=h\cdot \nu -e\cdot \frac{h\cdot \nu \cdot ({{n}_{1}}-1)}{e\cdot ({{n}_{2}}-1)}=h\cdot \nu \cdot \left( 1-\frac{{{n}_{1}}-1}{{{n}_{2}}-1} \right) \\
 & {{A}_{}}=h\cdot \nu \cdot \left( \frac{{{n}_{2}}-{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}-1} \right) \\
\end{align}
 \]
Теперь можем найти длину волны света, соответствующую красной границе фотоэффекта
\[ \lambda =\frac{h\cdot c}{{{A}_{}}}=\frac{\left( {{n}_{2}}-1 \right)\cdot c}{\left( {{n}_{2}}-{{n}_{1}} \right)\cdot \nu } \]

Название: Re: Квантовая физика из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djek от 30 Май 2012, 21:28
939. Металлический шарик, удаленный от других тел, облучается монохроматическим светом с длиной волны λ = 200 нм. Шарик, теряя фотоэлектроны, заряжается до максимального потенциала φmax = 3 В. Определить работу выхода электрона из металла. Постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света в вакууме с = 3·108 м/с, заряд электрона е = 1,6·10-19 Кл.
Решение.
Шарик, теряя фотоэлектроны, заряжается положительно. Его потенциал будет расти до тех пор, пока кинетическая энергия выбитых электронов не станет равна работе тормозящего электрического поля, возникшего при эмиссии электронов. По уравнению Эйнштейна
\[ \frac{h\cdot c}{\lambda }=A+{{E}_{k}} \]
Ек = е·φ
Работа выхода равна
\[ A=\frac{h\cdot c}{\lambda }-e\cdot \varphi  \]
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:16
926. В среде распространяется свет, имеющий длину волны λ = 300 нм и  энергию фотона E= 4,4 ∙ 10–19 Дж. Определить абсолютный показатель преломления среды. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с.
Решение: энергия фотона определяется по формуле
\[ E=h\cdot \nu =\frac{h\cdot \upsilon }{\lambda }, \]
здесь учли, что длина волны в веществе связана со скоростью распространения света в веществе υ и частотой ν. Показатель преломления показывает во сколько раз скорость света в среде меньше скорости света в вакууме, т.е.
\[ n=\frac{c}{\upsilon }. \]
Выразим скорость, подставим в выражение для энергии и определим показатель преломления
\[ \begin{array}{l} {\upsilon =\frac{c}{n} ,E=\frac{h\cdot c}{\lambda \cdot n} ,} \\ {n=\frac{h\cdot c}{\lambda \cdot E} .} \end{array}  \]
Ответ: 1,5.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:17
927. Человеческий глаз может воспринимать световой поток мощностью P = 2 ∙ 10–17 Вт. Найти число фотонов света с длиной волны λ = 0,5 мкм, попадающих в глаз за время t = 1 с при указанной мощности. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с.
Решение: число фотонов, попадающих в глаз за время t
\[ N=\frac{W}{E}, \]
здесь W = P∙t – суммарная энергия фотонов, E = hc/λ–энергия фотона. Таким образом
\[ N=\frac{P\cdot t\cdot \lambda }{h\cdot c}. \]
Ответ: 50.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:17
928. Источник света излучает N = 1 ∙ 1019 фотонов за время t = 1 с. Длина волны излучения λ = 4,95 ∙ 10–5 см.Какую мощность потребляет этот источник, если в энергию света переходит η = 0,1 потребляемой энергии? Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с.
Решение:суммарная энергия фотонов (энергия света)
W =N∙E,
где  , E = hc/λ–энергия фотона. По условию в энергию света переходит η потребляемой энергии W1, которую можно определить через потребляемую мощность:
W1 = P∙t.
Таким образом, получаем
\[ \begin{array}{l} {W=\eta \cdot W_{1} ,} \\ {N\cdot \frac{h\cdot c}{\lambda } =\eta \cdot P\cdot t,} \\ {P=\frac{N\cdot h\cdot c}{\eta \cdot \lambda \cdot t}.} \end{array} \]
Ответ: 40 Вт.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:18
929. Некоторый металл освещается светом, длина волны которого  λ = 0,25 мкм. Пренебрегая импульсом фотона, найти максимальный импульс, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона, если красная граница фотоэффекта для этого металла  λmax= 0,28 мкм. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с, масса электрона me= 9,1 ∙ 10–31 кг.
Решение: при вылете электрона из металла под действием света (явление фотоэффекта), он обладает импульсом  pmax. Точно такой же импульс (по модулю), но противоположный по направлению передаётся поверхности металла т.к. суммарный импульс системы металл – электрон до освещения светом был равен нулю (импульсом фотона пренебрегаем). Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A= hcmax – работа выхода электрона, Ekmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую определим через максимальный импульс pmax:
\[ E_{k\max } =\frac{p_{\max }^{2} }{2\cdot m_{e}}. \]
Таким образом, из уравнения Эйнштейна получим
\[ \frac{h\cdot c}{\lambda } =\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max } } +\frac{p_{\max }^{2} }{2\cdot m_{e}}. \]
 После преобразований, получим
\[ p_{\max } =\sqrt{\frac{2\cdot m_{e} \cdot h\cdot c\left(\lambda _{\max } -\lambda \right)}{\lambda \cdot \lambda _{\max }}}. \]
Ответ:4 ∙ 10–25кг∙м/с.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:18
930. Фотоэлемент облучается монохроматическим жёлтым светом, длина волны которого λ = 600 нм. За некоторое время фотоэлемент поглотил энергию W = 1 ∙ 10–5 Дж. Найти число поглощённых фотонов.Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с.
Решение: число поглощённых фотонов
\[ N=\frac{W}{E}, \]
здесь E = hc/λ–энергия фотона. Таким образом
\[ N=\frac{W\cdot \lambda }{h\cdot c}. \]
Ответ:3 ∙ 1013.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:19
931. Найти частоту света, вырывающего с поверхности металла электроны, которые полностью задерживаются напряжением U3 = 3 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего света νmin = 6 ∙1014Гц. Найти работу выхода электрона. Заряд электрона e = 1,6 ∙ 10–19 Кл, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с.
Решение: пусть ν – частота падающего излучения, тогда, согласно уравнению Эйнштейна, имеем
\[ E=A+E_{k\max}, \]
здесь E = h∙ν – энергия падающего фотона, A= h∙νmin– работа выхода электрона, Ekmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую определим, зная задерживающее напряжение
Ekmax = e∙U3.
Таким образом
h∙ν = h∙νmin + e∙U3,
ν = νmin + e∙U3/h.
Ответ: 1,3 ∙ 1015 Гц ≈ 1 ∙ 1015 Гц,  4 ∙ 10–19 Дж.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:19
932. Цезиевый катод фотоэлемента освещается монохроматическим светом, длина волны которого λ = 600 нм. Определить скорость вылетающих из катода фотоэлектронов, если красная граница фотоэффекта для цезия λmax = 650 нм. Постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с, масса электрона me= 9,1 ∙ 10–31 кг, скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max},  \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A= hcmax – работа выхода электрона, Ekmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная массу и скорость частицы
\[ E_{k\max } =\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{\max }^{2}}{2}. \]
Таким образом, из уравнения Эйнштейна получим
\[ \frac{h\cdot c}{\lambda } =\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max } } +\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{\max }^{2}}{2}. \]
 После преобразований, получим
\[ \upsilon _{\max } =\sqrt{\frac{2\cdot h\cdot c\left(\lambda _{\max } -\lambda \right)}{m_{e} \cdot \lambda \cdot \lambda _{\max }}}. \]
Ответ: 2,4 ∙ 105 м/с ≈ 2 ∙ 105 м/с.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:19
933. Красная граница фотоэффекта для материала фотокатода λmax = 700 нм. Фотокатод освещают монохроматическим светом с длиной волны λ1, а затем – с длиной волны λ2. При этом отношение максимальных скоростей вылетающих электронов k = 3/4. Определить λ2, если λ1 = 600 нм.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A= hcmax – работа выхода электрона, Ekmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная массу me и скорость электрона υ
\[ E_{k\max } =\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}}{2}.  \]
Таким образом, из уравнения Эйнштейна для двух случаев
\[ \begin{array}{l} {\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{h\cdot c}{\lambda _{1} } -\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max } } ,} \\ {\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =\frac{h\cdot c}{\lambda _{2} } -\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max }}.} \end{array} \]
Разделим уравнения, учтём что k = υ1 / υ2 – по условию,  и после преобразований получим
\[ \begin{array}{l} {k^{2} =\frac{\frac{1}{\lambda _{1} } -\frac{1}{\lambda _{\max } } }{\frac{1}{\lambda _{2} } -\frac{1}{\lambda _{\max } } } ,} \\ {\frac{1}{\lambda _{2} } -\frac{1}{\lambda _{\max } } =\frac{\lambda _{\max } -\lambda _{1} }{k^{2} \cdot \lambda _{1} \cdot \lambda _{\max } } ,} \\ {\lambda _{2} =\frac{k^{2} \cdot \lambda _{1} \cdot \lambda _{\max } }{\lambda _{1} \left(k^{2} -1\right)+\lambda _{\max }}.} \\ {.} \end{array} \]
Ответ:540 нм.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:20
934. На рис. 286. Приведён график зависимости максимальной кинетической энергии Ekm электронов, вылетающих с поверхности бария при фотоэффекте, от частоты ν облучающего света. Используя график, рассчитать постоянную Планка и работу выхода электронов из бария.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, имеем
\[ E=A+E_{km},  \]
здесь E = h∙ν – энергия падающего фотона, A= h∙νmin – работа выхода электрона, Ekm–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов.
Минимальная частота νmin, при которой начинается фотоэффект – красная граница, при этом Ekm электронов можно считать равной нулю. Как видно из графика νmin = 6 ∙ 1014 Гц.
Выразим из уравнения максимальную кинетическую энергию
\[ E_{km} =h\cdot \nu -h\cdot \nu _{\min }. \]
Как видно, максимальная кинетическая энергия линейно зависит от частоты. Постоянная Планка из этого уравнения
\[ h=\frac{E_{km} }{\nu -\nu _{\min }}. \]
Подставив числовые данные, взятые из графика: Ekm = 9,9 ∙ 10–20 Дж, ν = 7,5 ∙ 1014 Гц, νmin = 6 ∙ 1014 Гц, получим ответ
Ответ: h = 6,6 ∙ 10–34 Дж ∙ с, A = 4 ∙ 10–19 Дж.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:21
935. Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны λ = 1 ∙ 10–7 м, падающий на металлическую поверхность, передаёт ей мощность P = 1 ∙ 10–6 Вт. Определить силу возникшего фототока, если фотоэффект вызывает η = 0,01 падающих фотонов. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с, заряд электрона e = 1,6 ∙ 10–19 Кл.
Решение:суммарная энергия фотонов (энергия света, переданная металлической поверхности)
W =N∙E,
где, E = hc/λ–энергия фотона, N – число фотонов, W = P∙t, t – время, в течение которого освещается металлическая пластинка.  По условию фотоэффект вызывает η = 0,01 падающих фотонов, т.е число выбиваемых электронов Ne
\[ \begin{array}{l} {N_{e} =\eta \cdot N,} \\ {N_{e} =\eta \cdot \frac{P\cdot t\cdot \lambda }{h\cdot c}.} \end{array} \]
Сила тока – физическая величина, численно равная заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника, ко времени его прохождения
\[ I=\frac{\Delta q}{t}. \]
 Фототок создаётся движущимися электронами. Будем считать, что все фотоэлектроны достигли анода, тогда суммарный заряд
Δq = Ne∙e.
Таким образом, сила фототока
\[ I=\frac{\eta \cdot P\cdot \lambda \cdot e}{h\cdot c}. \]
Ответ: 8 ∙ 10–10 А.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:22
936. На металлическую пластинку падает монохроматический свет с длиной волны λ1 = 4,13 ∙ 10–7 м. Поток фотоэлектронов, вырываемых этим светом с поверхности металла, полностью задерживается разностью потенциалов U = 1 В. Определить работу выхода электрона из этого металла и длину волны света, соответствующую красной границе фотоэффекта. Постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с, заряд электрона e = 1,6 ∙ 10–19 Кл, скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, масса электрона me= 9,1 ∙ 10–31 кг. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если длина волны падающего света λ2 = 7 ∙ 10–7 м?
Решение:запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc1 – энергия падающего фотона, A= hcmax – работа выхода электрона, λmax – красная граница фотоэффекта, Ekmax – максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная задерживающее напряжение: Ekmax = e∙U. Таким образом
\[ A=\frac{h\cdot c}{\lambda _{1} } -e\cdot U. \]
После подстановки данных A = 3,2 ∙ 10–19 Дж ≈ 3 ∙ 10–19 Дж. Тогда красная граница фотоэффекта для данного металла
\[ \lambda _{\max } =\frac{h\cdot c}{A}.  \]
После подстановки числовых данных λmax = 6 ∙ 10–7 м.
Так как длина волны λ2 больше λmax, то фотоэффект свет с такой длиной волны не вызовет.
Ответ:3 ∙ 10–19 Дж, 6 ∙ 10–7 м, не будет.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:22
940.Фотон с длиной волны λ вырывает с поверхности металла фотоэлектрон, который попадает в однородное магнитное поле с индукцией B и описывает в нём окружность радиуса R. Найти работу выхода электрона из металла. Масса электрона me, его заряд e, постоянная Планка h, скорость света в вакууме c.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A– работа выхода электрона, Ekmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная массу me и скорость электрона υ
\[ E_{k\max } =\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}}{2}. \]
Скорость электрона определим, зная, что он попал в магнитное поле и движется в нём по окружности. В магнитном поле на электрон действует сила Лоренца F = e∙υ∙B∙sinα, которая всегда направлена перпендикулярно скорости, поэтому эта сила сообщает частице центростремительное ускорение - a. Запишем второй закон Ньютона, учтём, что частица влетела в магнитное поле перпендикулярно вектору магнитной индукции (α = 90º, только в этом случае частица будет двигаться по окружности), имеем
\[ \begin{array}{l} {F=m_{e} \cdot a,{\rm \; \; \; }e\cdot \upsilon \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {\upsilon =\frac{e\cdot R\cdot B}{m_{e}}.} \end{array} \]
После подстановки в уравнение Эйнштейна, получим
\[ \begin{array}{l} {A=\frac{h\cdot c}{\lambda } -\frac{m_{e} }{2} \cdot \left(\frac{e\cdot R\cdot B}{m_{e} } \right)^{2} ,} \\ {A=\frac{h\cdot c}{\lambda } -\frac{\left(e\cdot R\cdot B\right)^{2} }{2m_{e} } .} \end{array} \]
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:23
941. Фотон рентгеновского излучения с энергией E = 0,45 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного фотона E' = 0,40 МэВ. Определить угол рассеяния фотона и кинетическую энергию электрона отдачи. Энергия покоя электрона E0 = 0,511 МэВ.
Решение: эффект Комптона объясняется тем, что фотон, как и любая частица, обладает импульсом и что акт рассеяния представляет собой упругое столкновение фотона с электроном. Косинус угла рассеяния определим, воспользовавшись формулой Комптона
\[ \Delta \lambda =\frac{h}{m_{e} \cdot c} \cdot \left(1-\cos \theta \right). \]
Здесь Δλ = λ – λ', λ = h∙c/E – длина волны падающего излучения, λ' = h∙c/E' – длина волны рассеянного излучения. Энергия покоя электрона E0 = me∙c2, тогда из формулы Комптона получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{h\cdot c}{E} -\frac{h\cdot c}{E'} =\frac{h\cdot c}{m_{e} \cdot c^{2} } \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {\frac{1}{E_{0} } \cdot \cos \theta =\frac{1}{E_{0} } -\frac{1}{E} +\frac{1}{E'} ,} \\ {\cos \theta =1-\frac{E_{0} }{E} +\frac{E_{0} }{E'} ,} \\ {\theta =\arccos \left(1-\frac{E_{0} \cdot \left(E-E'\right)}{E\cdot E'} \right).} \end{array} \]
На основании закона сохранения энергии кинетическая энергия электрона отдачи равна разности между энергией E падающего фотона и энергии E' рассеянного фотона:
Ek= E – E'.
Ответ: 31º, 0,05 МэВ.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:24
942. Рентгеновское излучение с длиной волны λ = 5 пм рассеивается на свободных электронах под углом θ = 20º. Найти импульс электрона отдачи. Комптоновская длина волны электрона λC = 2,4 пм, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с.
Решение: пусть p = h / λ – импульс падающего фотона, p'– импульс рассеянного фотона, pe – импульс электрона отдачи.  Импульс рассеянного  фотона определим, воспользовавшись формулой Комптона
\[ \begin{array}{l} {\Delta \lambda =\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {\lambda '=\lambda +\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {p'=\frac{h}{\lambda '} =\frac{h}{\lambda +\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right)}.} \end{array} \]
При столкновении фотона и электрона выполняется закон сохранения импульса. Сделаем рисунок.
Как видно из рисунка, импульс электрона отдачи можно определить, воспользовавшись теоремой косинусов
\[ p_{e} =\sqrt{p^{2} +\left(p'\right)^{2} -2\cdot p\cdot p'\cdot \cos \theta }. \]
Ответ: 4,55 ∙ 10–23 кг ∙ м/с ≈ 5 ∙ 10–23 кг ∙ м/с.
Название: Re: Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Май 2013, 07:24
943. В результате соударения со свободным электроном фотон отдаёт ему треть своей энергии. Угол рассеяния θ = 60º. Определить энергию и импульс рассеянного фотона. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10–34 Дж ∙ с, комптоновская длина волны электрона λC = 2,4 пм.
Решение: на основании закона сохранения энергии кинетическая энергия электрона отдачи равна разности между энергией E падающего фотона и энергии E' рассеянного фотона:
Ek = E – E'.
Согласно условия: Ek = E / 3, таким образом, энергия E' рассеянного фотона
E' = 2E / 3.
Энергия фотона определяется по формуле E = hc / λ, подставим
\[ \begin{array}{l} {\frac{h\cdot c}{\lambda '} =\frac{2}{3} \cdot \frac{h\cdot c}{\lambda } ,} \\ {\lambda '=\frac{3\cdot \lambda }{2} .} \end{array} \]
здесь λ – длина волны падающего излучения, λ' – длина волны рассеянного излучения, которые связаны формулой Комптона
\[ \begin{array}{l} {\Delta \lambda =\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {\lambda =\lambda '-\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right)=\frac{3\cdot \lambda }{2} -\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {\lambda =2\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right).} \end{array} \]
Тогда энергия рассеянного фотона
\[ \begin{array}{l} {E'=\frac{2}{3} \cdot \frac{h\cdot c}{\lambda } =\frac{2}{3} \cdot \frac{h\cdot c}{2\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right)} ,} \\ {E'=\frac{h\cdot c}{3\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right)} .} \end{array}  \]
Импульс рассеянного фотона связан с энергией
\[ p'=\frac{E'}{c} =\frac{h}{3\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right)} . \]
Примечание: полученные ответы ровно в два раза меньше, чем у автора задачи. В этом сборнике опечаток не замечал, а ошибки в своём решении не нашёл. Если кто найдёт,  отпишитесь.
Ответ: 5,5 ∙ 10–14 Дж, 1,8 ∙ 10–22 кг ∙ м/с.