Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => Тема начата: alsak от 29 Май 2011, 12:51

Название: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 29 Май 2011, 12:51
Здесь вы можете задать вопрос по решению любой задачи из книги «Савченко Н.Е. Решение задач по физике (http://www.alsak.ru/component/option,com_jdownloads/Itemid,273/task,view.download/cid,32703/)» из раздела «Линзы».

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

                  859 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40638.html#msg40638)
860 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40639.html#msg40639) 861 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40640.html#msg40640) 862 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40641.html#msg40641) 863 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40642.html#msg40642) 864 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40643.html#msg40643) 865 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg38905.html#msg38905) 866 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40644.html#msg40644) 867 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40645.html#msg40645) 868 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40646.html#msg40646) 869 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg38898.html#msg38898)
870 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40647.html#msg40647) 871 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40648.html#msg40648) 872 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg38894.html#msg38894) 873 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40649.html#msg40649) 874 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40650.html#msg40650) 875 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40651.html#msg40651) 876 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40652.html#msg40652) 877 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40653.html#msg40653) 878 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40654.html#msg40654) 879 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40655.html#msg40655)
880 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40656.html#msg40656) 881 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40657.html#msg40657) 882 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40658.html#msg40658) 883 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40659.html#msg40659) 884 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40660.html#msg40660) 885 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40661.html#msg40661) 886 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40662.html#msg40662) 887 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40663.html#msg40663) 888 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40673.html#msg40673) 889 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40674.html#msg40674)
890 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40675.html#msg40675) 891 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40676.html#msg40676) 892 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40677.html#msg40677) 893 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40678.html#msg40678) 894 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40679.html#msg40679) 895 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40680.html#msg40680) 896 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5126.msg40681.html#msg40681)
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: andrey от 21 Май 2012, 21:50
869 872 865
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 21 Май 2012, 23:52
872. На каком расстоянии перед рассеивающей линзой с оптической силой D = –2 дптр надо поставить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось на середине расстояния между линзой и её мнимым фокусом?
Решение: запишем формулу тонкой линзы (с учётом правила знаков):
\[ -\left|D\right|=\frac{1}{d} -\frac{1}{f}. \]
Здесь d – искомое расстояние между предметом и линзой. По условию задачи, расстояние между линзой и изображением f равно половине фокусного расстояния, которое связано с оптической силой:
\[ \begin{array}{l} {\left|D\right|=\frac{1}{F} ,F=\frac{1}{\left|D\right|} ,} \\ {f=\frac{F}{2} =\frac{1}{2\cdot \left|D\right|}.} \end{array} \]
Подставим в формулу линзы и выразим искомую величину:
\[ \begin{array}{l} {-\left|D\right|=\frac{1}{d} -2\cdot \left|D\right|,} \\ {d=\frac{1}{\left|D\right|}.} \end{array} \]
Ответ: 0,5 м.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Май 2012, 20:09
869. Линза с фокусным расстоянием F = 3 см создаёт перевёрнутое изображение предмета. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения отличаются на l = 8 см. С каким увеличением изображён предмет.
Решение: проанализируем ситуацию. Линза, явно, собирающая и изображение, о котором идёт речь в условии задачи – действительное (собирающая линза даёт всегда перевёрнутое действительное изображение, прямое изображение в собирающей линзе – мнимое, а рассеивающая линза всегда даёт прямое, мнимое изображение). Запишем формулу тонкой линзы (с учётом правила знаков):
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f}. \]
Здесь d – искомое расстояние между предметом и линзой, f –расстояние между линзой и изображением.  По условию задачи, d и f отличаются на l. Тогда возможны два случая: d < f , тогда изображение, создаваемое линзой, будет увеличенным, и  d > f ,при этом изображение будет уменьшенным. Увеличение линзы определим через d и f :
\[ \Gamma =\frac{f}{d}. \]
Рассмотрим первый случай: d < f, тогда:
f – d = l,   f  = l + d.
Подставим в формулу линзы, и определим d (правда для этого придётся решить квадратное уравнение, отрицательный корень которого откинем – расстояние не может быть отрицательным). Например:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{l+d} ,\frac{1}{F} =\frac{l+2d}{d\cdot \left(l+d\right)} ,} \\ {d\cdot l+d^{2} =F\cdot l+2d\cdot F,} \\ {d^{2} +\left(l-2F\right)\cdot d-F\cdot l=0.} \end{array} \]
Дискриминант и положительный корень уравнения:
\[ \begin{array}{l} {D=\left(l-2F\right)^{2} -4\cdot \left(-F\cdot l\right)=l^{2} +4F^{2} ,} \\ {d=\frac{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2} .} \end{array} \]
Тогда расстояние f:
\[ f=l+d=\frac{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2}}}{2}. \]
Искомое увеличение линзы (ответ):
\[ \Gamma =\frac{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } } =3. \]
Во втором случае: d > f, тогда:
d – f = l,   f  = d – l .
Подставляя в формулу линзы и проведя аналогичные выкладки, получим ответ:
\[ \Gamma =\frac{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } } =\frac{1}{3}. \]
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Май 2012, 21:16
865. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 10 см, расстояние от предмета до переднего фокуса l = 5 см, а линейный размер предмета h = 2 см. Определить размер изображения. На каком расстоянии от линзы нужно расположить предмет, чтобы получить изображение с увеличением Г = 10?
Решение: т.к. предмет расположен перед передним фокусом линзы, то тогда расстояние между предметом и линзой d равно:
d = F +l.
Запишем формулу тонкой линзы (т.к d >F, то изображение действительное):
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f}. \]
Здесь f –расстояние между линзой и изображением, определим его:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{F+l} +\frac{1}{f} ,\frac{1}{f} =\frac{1}{F} -\frac{1}{F+l} ,} \\ {f=\frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l} .} \end{array} \]
Размеры изображения H определим через линейное увеличение линзы:
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{f}{d} =\frac{H}{h} ,H=h\cdot \frac{f}{d} ,} \\ {H=h\cdot \frac{F\cdot \left(F+l\right)}{l\cdot \left(F+l\right)} =h\cdot \frac{F}{l}.} \end{array} \]
Ответ: H = 4 см.
Для ответа на второй вопрос задачи, снова воспользуемся линейным увеличением линзы:
\[ \Gamma =\frac{f}{d} ,f=d\cdot \Gamma. \]
и формулой линзы, но при этом возможно два варианта.
Изображение действительное:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{d_{1} \cdot \Gamma } ,d_{1}^{2} \cdot \Gamma =F\cdot d_{1} \cdot \left(\Gamma +1\right),} \\ {d_{1} =F\cdot \left(1+\frac{1}{\Gamma } \right).} \end{array} \]
d1 = 11 см.
Изображение мнимое:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{d_{2} \cdot \Gamma } ,d_{2}^{2} \cdot \Gamma =F\cdot d_{2} \cdot \left(\Gamma -1\right),} \\ {d_{2} =F\cdot \left(1-\frac{1}{\Gamma } \right).} \end{array} \]
d2 = 9 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 17:57
859. Построить ход луча АВ, падающего под некоторым углом к главной оптической оси на собирающую (рис. 275, а) и рассеивающую (рис. 275. б) линзы. Положения главных оптических осей линз и их фокусы заданы.
Решение: проведём побочную оптическую ось, параллельную падающему лучу АВ. Построим фокальные плоскости: для собирающей линзы в заднем фокусе, для рассеивающей – в переднем фокусе. В точке пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью находится побочный фокус . Луч, идущий к линзе, параллельно побочной оптической оси, далее пройдёт через побочный фокус, следовательно, остаётся провести луч ВС, вышедший из линзы после преломления луча АВ в линзе через побочный фокус (для рассеивающей линзы через побочный фокус пройдёт продолжение луча ВС). Проведём построение (см. рис.)
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 17:57
860. На рис. 276 показан ход луча АВС через линзу. Построить ход луча DE после прохождения его через линзу.
Решение: проведём побочную оптическую ось, параллельную лучу АВ. На пересечении луча ВС с этой осью будет находиться побочный фокус линзы. Проведём через него фокальную плоскость, на пересечении её с главной оптической осью находится главный фокус линзы. Построим ещё одну побочную ось, параллельную лучу DE. На пересечении этой оси с фокальной плоскостью FF´ будет находиться второй побочный фокус  F´´, через который и пройдёт луч DE после преломления в линзе (см. рис.)
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 17:58
861. Задан ход луча ВС после преломления его в собирающей (риc. 277, а) и рассеивающей (рис. 277, б) линзах, а также положения главных оптических осей и фокусы линз. Найти построением ход луча до линзы в обоих случаях.
Решение: построим фокальные плоскости: для собирающей в заднем фокусе, для рассеивающей – в переднем фокусе. В точке пересечения луча ВС (продолжения луча в случае рассеивающей линзы) с фокальной плоскостью находится побочный фокус . Проведём побочную оптическую ось через побочный фокус и оптический центр – F´O. Луч, идущий к линзе, параллельно побочной оптической оси, далее пройдёт через побочный фокус, следовательно, остаётся провести луч АВ, падающий на линзу параллельно оси F´O . Проведём построение (см. рис.)
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 17:59
862. Заданы главная оптическая ось линзы OO´ , светящаяся точка S и её изображение в линзе (рис. 278). Найти построением положение фокуса линзы.
Решение: Направим из точки S, два исходящих луча: первый – идущий через оптический центр линзы, его направление после прохождения линзы не изменяется, при этом на луче будет находиться и источник S  и его изображение , а на пересечении луча с главной оптической осью будет находиться оптический центр линзы Ол. Восстановив перпендикуляр к главной оптической оси в этой точке  Ол, мы определим положение линзы. Второй луч направим на линзу параллельно главной оптической оси. После преломления в линзе, второй луч должен пройти через фокус F и через изображение точки . В случае рассеивающей линзы, после преломления луч пойдёт так, что его продолжение проходит через фокус и изображение. Проведём построение (см. рис.).
Как видим из построения, линза рассеивающая, фокусы расположены симметрично относительно оптического центра.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:00
863. Построить изображение светящейся точки, лежащей на главной оптической оси линзы на расстоянии, меньшем фокусного. Положение фокусов линзы задано. Рассмотреть два случая: а) линза собирающая; б) линза рассеивающая.
Решение: чтобы построить изображение точки S, лежащей на главной оптической оси, возьмем два исходящих из неё луча: один – идущий вдоль главной оптической оси, другой – падающий на линзу под произвольным углом. Направление первого луча после прохождения линзы не изменяется. Для определения хода второго луча проведём побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и проведём фокальную плоскость, проходящую через задний фокус линзы в случае собирающей линзы. В случае рассеивающей линзы фокальную плоскость проведём через передний фокус. Точка пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью является побочным фокусом . Через него и должен пройти второй луч после преломления в собирающей линзе. В случае рассеивающей линзы, после преломления луч пойдёт так, что его продолжение проходит через побочный фокус. Точка пересечения первого и второго лучей, прошедших через линзу и будет являться изображением светящейся точки. Проведём построение. Для собирающей линзы – рисунок а); для рассеивающей – рисунок б).
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:00
864. Предмет и его прямое изображение, создаваемое тонкой линзой, расположены симметрично относительно фокуса линзы. Расстояние от предмета до фокуса линзы l = 4,0 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: возможно два варианта – линза собирающая, изображение мнимое, либо линза рассеивающая, и изображение также мнимое. Пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом, F – фокусное расстояние линзы. Рассмотрим оба случая по порядку.
Линза собирающая. Изображение будет прямым (и мнимым) только в одном случае – если расстояние между линзой и предметом меньше фокусного, т.е. d < F. Тогда d = F – l и  f = F + l. Подставим в формулу тонкой линзы, и после преобразований получим квадратное уравнение
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} =\frac{1}{F-l} -\frac{1}{F+l} =\frac{2l}{F^{2} -l^{2} } ,} \\ {F^{2} -2l\cdot F-l^{2} =0.} \end{array} \]
Линза рассеивающая. Изображение прямое (мнимое, и при этом симметричное предмету относительно фокуса) может быть только в одном случае – если расстояние между линзой и предметом больше фокусного, т.е. d > F. Тогда d = F + l и  f = F – l. Подставим в формулу тонкой линзы, и после преобразований получим квадратное уравнение
\[ \begin{array}{l} {-\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} =\frac{1}{F+l} -\frac{1}{F-l} =\frac{-2l}{F^{2} -l^{2} } ,} \\ {F^{2} -2l\cdot F-l^{2} =0.} \end{array} \]
Как видим, в обоих случаях получились одинаковые уравнения. Найдём корни этого уравнения и учтём, что F величина неотрицательная (правило знаков учли, при записи формулы линзы), т.е оставим только положительный корень квадратного уравнения
\[ \begin{array}{l} {F^{2} -2l\cdot F-l^{2} =0,} \\ {D=4l^{2} +2l^{2} =8l^{2} ,} \\ {F_{1,2} =\frac{2l\pm 2\sqrt{2} \cdot l}{2} =\left(1\pm \sqrt{2} \right)\cdot l,} \\ {F=\left(1+\sqrt{2} \right)\cdot l.} \end{array} \]
Так как принято считать фокусное расстояние рассеивающих линз величиной отрицательной, а у собирающих – положительной, то объединяя два случая, получаем
\[ F=\pm \left(1+\sqrt{2} \right)\cdot l. \]
Ответ: ± 9,6 см.  (√2 ≈ 1,41)
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:00
866. Найти фокусное расстояние и оптическую силу двояковогнутой линзы, если расстояние от линзы до предмета d = 36 см, а до изображения f = 9,0 см.
Решение: двояковогнутая линза является рассеивающей. Запишем формулу линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение  в рассеивающей линзе – мнимое)
\[ -\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f}. \]
Таким образом, с учётом того, что D = 1 / F, получим
\[ F=\frac{d\cdot f}{d-f} ,{\rm \; \; \; }D=\frac{f-d}{d\cdot f}. \]
Ответ: 12 см, –8,3 дптр.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:01
867. Расстояние от предмета до экрана L = 105 см. Тонкая линза, помещённая между ними, даёт на экране увеличенное изображение предмета. Если линзу переместить на l = 32 см, то на экране получится уменьшенное изображение предмета. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Линзу, после того, как получили увеличенное изображение, пододвинули к экрану для получения четкого уменьшенного изображения предмета (расстояние между предметом и линзой должно стать больше двойного фокусного, только в этом случае будет уменьшенное изображение предмета). Тогда
l = d2d1,
где d2 и d1 – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях. Расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны  f1 и f2 соответственно, тогда
L = d1 + f1 = d2 + f2.
Вследствие принципа обратимости лучей (мы им можем пользоваться т.к. положение предмета и экрана не менялось)
f2 = d1;   f1 = d2.
Тогда получаем систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {d_{2} -d_{1} =l,} \\ {d_{2} +d_{1} =L} \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }d_{2} =\frac{L+l}{2} ;{\rm \; \; }d_{1} =\frac{L-l}{2}. \]
Подставим в формулу тонкой линзы
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{d_{2} } =\frac{2}{L-l} +\frac{2}{L+l} =\frac{4L}{L^{2} -l^{2} } ,} \\ {F=\frac{L^{2} -l^{2} }{4L} .} \end{array} \]
Ответ: 23,8 ≈ 24 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:01
868. С помощью собирающей линзы на экране получено уменьшенное действительное изображение плоского предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Высота предмета h = 6 см, высота изображения H1 = 4 см. Оставляя экран и предмет неподвижными, линзу перемещают в сторону предмета до тех пор, пока не получат второе резкое изображение предмета. Определить высоту второго изображения.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Линзу, после того, как получили первое четкое изображение, пододвинули к предмету для получения второго четкого изображения предмета. Пусть d2 и d1 – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях, а расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны  f1 и f2 соответственно.
Вследствие принципа обратимости световых лучей
d1 = f2;   f1 = d2.
Тогда получаем систему уравнений на основании формулы увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{H_{1} }{h} =\frac{f_{1} }{d_{1} } ,} \\ {\frac{H_{2} }{h} =\frac{f_{2} }{d_{2} } } \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }\frac{H_{1} \cdot H_{2} }{h^{2} } =\frac{f_{1} \cdot f_{2} }{d_{1} \cdot d_{2} } =1. \]
Откуда
\[ H_{2} =\frac{h^{2} }{H_{1}}. \]
Ответ: 9 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:02
870. Изображение предмета, удалённого от собирающей линзы на расстояние d = 0,4 м, больше предмета в Γ = 5 раз. Найти возможные значения оптической силы линзы.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза собирающая, изображение действительное либо мнимое) и увеличения
\[ D=\frac{1}{d} \pm \frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =\frac{H}{h}, \]
здесь H = Γ∙h – высота изображения, h – высота предмета. Тогда
\[ \begin{array}{l} {f{\rm =}\Gamma \cdot d,} \\ {D=\frac{1}{d} \pm \frac{1}{\Gamma \cdot d} =\frac{\Gamma \pm 1}{\Gamma \cdot d} .} \end{array} \]
Ответ: 3 дптр, 2 дптр.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:02
871. Расстояние от освещённого предмета до экрана L = 100 см. Линза, помещённая между ними, даёт чёткое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми l = 20 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Пусть линзу, после того, как получили первое четкое изображение, пододвинули к экрану для получения второго четкого изображения предмета. Тогда
l = d2d1,
где d2 и d1 – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях. Расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны f1 и f2 соответственно, тогда
L = d1 + f1 = d2 + f2.
Вследствие принципа обратимости лучей
f2 = d1;   f1 = d2.
Тогда получаем систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {d_{2} -d_{1} =l,} \\ {d_{2} +d_{1} =L} \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }d_{2} =\frac{L+l}{2} ;{\rm \; \; }d_{1} =\frac{L-l}{2}. \]
Подставим в формулу тонкой линзы
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{d_{2} } =\frac{2}{L-l} +\frac{2}{L+l} =\frac{4L}{L^{2} -l^{2} } ,} \\ {F=\frac{L^{2} -l^{2} }{4L} .} \end{array} \]
Ответ: 24 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:03
873. Тонкая линза создаёт изображение небольшого предмета, находящегося в её фокальной плоскости и установленного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Определить высоту предмета, если высота изображения H = 0,70 см.
Решение: изображение предмета, находящегося в фокальной плоскости, может дать только рассеивающая линза (изображение при этом будет мнимым). Собирающая линза изображения не даст, т.к. после прохождения линзы лучами, идущими к ней из точки в фокальной плоскости, лучи пойдут параллельно друг другу (изображение как бы будет в бесконечности). Пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом, которое равно фокусному расстоянию (предмет расположен в фокальной плоскости), т.е. d = F, F – фокусное расстояние линзы, h – высота предмета (её требуется определить). Запишем формулу линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое)
\[ -\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f}. \]
Откуда расстояние между линзой и изображением
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{1}{F} =\frac{1}{F} +\frac{1}{F} =\frac{2}{F} ,} \\ {f=\frac{F}{2}.} \end{array} \]
Из формулы увеличения, определим высоту предмета
\[ \begin{array}{l} {{\rm \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =\frac{H}{h} ,} \\ {h=\frac{d\cdot H}{f} =\frac{F\cdot H\cdot 2}{F} =2\cdot H.} \end{array} \]
Ответ: 1,4 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:03
874. На каком расстоянии от рассеивающей линзы с оптической силой D = –5 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в k = 4 раза меньше самого предмета?
Решение: пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом. По условию задачи изображение меньше предмета в k раз, значит увеличение Γ = 1 / k. Запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое) и увеличения
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =\frac{1}{k} ,} \\ {D=\frac{1}{d} -\frac{k}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; }d=\frac{\left(k-1\right)}{\left|D\right|} .} \end{array} \]
Ответ: 0,6 м.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:03
875. В осколок тонкостенной стеклянной сферической колбы, радиус кривизны которой R = 10 см, налили прозрачную жидкость. С помощью полученной линзы действительное изображение предмета, помещённого над ней на расстоянии d = 1,0 м, получилось уменьшенным в k = 5,0 раз. Определить показатель преломления жидкости.
Решение: т.к. колба тонкостенная, то влиянием стекла на прохождение лучей сквозь полученную линзу пренебрегаем. Линза является плоско-выпуклой, т.е. собирающей. Оптическая сила D линзы может быть рассчитана по формуле
\[ D=\left(\frac{n_{1} }{n_{2} } -1\right)\cdot \left(\frac{1}{R_{1} } +\frac{1}{R_{2} } \right), \]
где n1 = n – показатель преломления вещества линзы (искомый показатель преломления жидкости), n2 = 1 – показатель преломления окружающей среды (воздух), R1 = R и R2 = ∞ - радиусы кривизны поверхностей линзы. Тогда
\[ D=\frac{n-1}{R}. \]
Из формулы тонкой линзы и её увеличения имеем
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }f=d\Gamma =\frac{d}{k} ,} \\ {D=\frac{k+1}{d} ,} \end{array} \]
здесь учли, что изображение уменьшено в k раз, значит Γ = 1 / k.
Приравняв полученные выражения для D, определим показатель преломления прозрачной жидкости, из которой сделана линза
\[ \begin{array}{l} {\frac{n-1}{R} =\frac{k+1}{d} ,} \\ {n=\frac{k+1}{d} \cdot R+1.} \end{array} \]
Ответ: 1,6.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:04
876. Мнимое изображение предмета в рассеивающей линзе находится от неё на расстоянии в k = 3 раза меньшем, чем предмет. Найти расстояние от линзы до изображения, если фокусное расстояние F линзы известно.
Решение: пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом. По условию задачи d = k∙f. Запишем формулу линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое)
\[ \begin{array}{l} {-\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }-\frac{1}{F} =\frac{1}{k\cdot f} -\frac{1}{f} ,} \\ {f=\frac{\left(k-1\right)}{k} \cdot F.} \end{array} \]
Ответ: 2F / 3.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:04
877. Собирающая линза даёт действительное изображение с увеличением Γ = 2 раза. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением f = 0,3 м.
Решение: из формулы тонкой линзы и увеличения определим фокусное расстояние
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }d=\frac{f}{\Gamma } ,} \\ {F=\frac{f}{\Gamma +1}.} \end{array} \]
Ответ: 0,1 м.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:05
878. На какой максимальный угол может отклониться луч света, падающий параллельно главной оптической оси на линзу с фокусным расстоянием F = 8 см и диаметром a = 10 см?
Решение: любой луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе, пройдёт через главный фокус линзы. Наибольшее отклонение от первоначального направления луча будет наблюдаться при условии, что луч падает на самый край линзы, т.е. на расстоянии a / 2 от главной оптической оси. Нарисуем ход луча (см. рис.). Как видно из рисунка
\[ \begin{array}{l} {tg\varphi _{\max } =\frac{a}{2F} ,} \\ {\varphi _{\max } =arctg\left(\frac{a}{2F} \right).} \end{array} \]
Ответ: 32°.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:05
879. Линза даёт мнимое изображение предмета, увеличенное в Γ = 2,0 раза, если он находится от неё на расстоянии d = 5,0 см. Какая это линза - собирающая или рассеивающая? Чему равно её фокусное расстояние?
Решение: рассеивающая линза даёт мнимое изображение, которое всегда меньше предмета. В нашем случае увеличение равно 2, т.е. изображение больше предмета. Значит линза собирающая. Из формулы линзы и увеличения определим фокусное расстояние
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,f=\Gamma \cdot d,} \\ {F=\frac{\Gamma \cdot d}{\Gamma -1}.} \end{array} \]
Ответ:10 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:05
880. На каком расстоянии от собирающей линзы надо поместить предмет, чтобы расстояние между предметом и его действительным изображением было минимальным? Фокусное расстояние линзы равно F.
Решение: воспользовавшись формулой линзы, найдём f – расстояние от линзы до действительного изображения. Пусть d – расстояние между предметом и линзой (искомое), тогда
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {f=\frac{F\cdot d}{d-F}.} \end{array} \]
В нашем случае d>F, так как изображение действительное.
Обозначим расстояние между предметом и его действительным изображением через y. Тогда
\[ y=d+f=d+\frac{F\cdot d}{d-F} =\frac{d^{2} }{d-F}. \]
Способ 1. Преобразуем полученное выражение для у,  и получим квадратное уравнение относительно d, т.е.
\[ d^{2} -y\cdot d+F\cdot y=0. \]
Дискриминант полученного трёхчлена
\[ D=y^{2} -4\cdot F\cdot y=y\cdot (y-4\cdot F). \]
Таким образом, полученное уравнение имеет решение при y ≥ 4∙F (в этом случае дискриминант неотрицателен). Минимальное значение y, при котором задача имеет решение (т.е. существует один корень квадратного уравнения), равно 4∙F, т.е. ymin = 4∙F,тогда корень квадратного уравнения
d = 2∙F.
Способ 2.Исследуем функцию y = f(d) на минимум. Для этого возьмём первую производную от y по d и приравняем её к нулю для определения точек экстремума. Воспользуемся правилом вычисления производной частного
\[ \begin{array}{l} {\left(\frac{u}{v} \right)^{{'} } =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } ,} \\ {y'=\frac{2d\cdot \left(d-F\right)-d^{2} \cdot 1}{\left(d-F\right)^{2} } =\frac{d\cdot \left(d-2F\right)}{\left(d-F\right)^{2} } ,} \\ {\frac{d\cdot \left(d-2F\right)}{\left(d-F\right)^{2} } =0,} \\ {d=2F.} \end{array} \]
Учли, что d>F, так как изображение действительное.
Ответ:d = 2∙F.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:07
881. Проверяя свои очки, человек получил на полу комнаты действительное изображение лампы, висящей на высоте h = 2,5 м, держа очковое стекло под лампой на расстоянии f = 1,5 м от пола. Какова оптическая сила очков?
Решение: оптическая сила D= 1 / F, тогда из формулы линзы
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f}, \]
здесь f – расстояние от линзы до изображения лампы на полу, d = h – f – расстояние от линзы до предмета (до лампы), таким образом
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{h-f} +\frac{1}{f} ,} \\ {D=\frac{h}{f\left(h-f\right)} .} \end{array} \]
Ответ: 1,7 дптр.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:08
882.Сходящийся пучок лучей падает на рассеивающую линзу (рис. 279). В отсутствие линзы лучи сходились бы в точке А, расположенной на расстоянии l1 = 10 см от линзы. После преломления в линзе лучи сходятся в точке В, удалённой от линзы на расстояние l2 = 15 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: поскольку лучи, падают на рассеивающую линзу сходящимся пучком, то после преломления они разойдутся так, что в её побочном фокусе пересекутся мнимые продолжения преломлённых лучей. Проведём побочную оптическую ось, параллельную падающему лучу, на пересечении этой оси с мнимым продолжением преломлённого луча и будет находится побочный фокус линзы . Опустим  из него перпендикуляр на главную оптическую ось (фокальная плоскость) и получим положение главного фокуса линзы F (см. рисунок – для наглядности построение проведено только для одного луча)
Анализируя рисунок, нетрудно заметить две пары подобных треугольников: треугольники FF'O и OCA, а также FF'B и OCB. Причём OF = F – фокусное расстояние линзы (его нужно определить), OA = l1, OB = l2 - согласно условия задачи. Из подобия этих треугольников, следует
\[ \begin{array}{l} {\frac{FF'}{OC} =\frac{FO}{OA} =\frac{F}{l_{1} } ,} \\ {\frac{FF'}{OC} =\frac{FB}{OB} =\frac{F+l_{2} }{l_{2} } ,} \end{array}  \]
Таким образом, приравняв, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{F}{l_{1} } =\frac{F+l_{2} }{l_{2} } ,} \\ {F=\frac{l_{1} \cdot l_{2} }{l_{2} -l_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 30 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:08
883. На рассеивающую линзу вдоль главной оптической оси падает цилиндрический пучок параллельных лучей. Диаметр пучка d1 = 3 см. На экране, поставленном за линзой на расстоянии l = 12 см, получается светлый круг, диаметр которого d2 = 8 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: поскольку лучи, параллельные главной оптической оси, падают на рассеивающую линзу, то после преломления они разойдутся так, что после преломления в её фокусе пересекутся мнимые продолжения рассеянных лучей, а сами лучи упадут на экран расходящимся пучком, образуя на экране светлый круг, диаметром d2. (см. рис.)
Анализируя рисунок, нетрудно заметить два подобных треугольника с вершинами при левом фокусе линзы F и параллельными основаниями d1 / 2 и d2 / 2. Из подобия этих треугольников следует, что
\[ \frac{d_{2} }{d_{1} } =\frac{l+F}{F}. \]
Здесь F – фокусное расстояние линзы. После преобразований, получим
\[ F=\frac{l\cdot d_{1} }{d_{2} -d_{1}}. \]
Ответ: 7,2 ≈ 7 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:09
884. На главной оптической оси на расстоянии d = 60 см от собирающей линзы, фокусное расстояние которой F = 40 см, расположен точечный источник света. Линзу по диаметру разрезали на две половины и симметрично раздвинули их на расстояние r = 1 см в направлении, перпендикулярном главной оптической оси. На каком расстоянии друг от друга будут расположены изображения источника, полученные в половинках линзы?
Решение: похожая задача разобрана в сборнике, № 856. Воспользуемся рисунком к этой задаче (рис. 273). Каждая из раздвинутых половин линзы действует как целая линза (только яркость изображения меньше), главная оптическая ось которой находится на расстоянии h = r / 2 от источника S. Для наглядности представим, что плоские предметы SA и SB установлены перпендикулярно главным оптическим осям этих линз, и построим их изображения S'A' и S''B' .Ясно, что точки S' и S'' являются изображением источника S. Как видно из рисунка, высота h предмета SA равна r/ 2, а высота H изображения S'A' равна (l - r) / 2. Следовательно увеличение одной половины линзы
\[ \Gamma =\frac{H}{h} =\frac{l-r}{r}. \]
Но, с другой стороны
\[ \Gamma =\frac{f}{d}, \]
где d – расстояние от предмета до линзы, f– расстояние от изображения до линзы, которое выразим из формулы тонкой линзы
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }f=\frac{F\cdot d}{d-F}. \]
Приравняв выражения для увеличения, и подставив f, получим
\[ \frac{l-r}{r} =\frac{F}{d-f} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }l=\frac{d\cdot r}{d-F}. \]
Ответ: 3 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:10
885. С помощью линзы получено изображение Солнца. Диаметр изображения d = 31 мм, а расположено оно на расстоянии f = 32 см от линзы. Известно, что расстояние от Земли до Солнца R = 150 млн км, а продолжительностьземного года T = 365 сут. Вычислить ускорение свободного паде-ния у поверхности Солнца.
Решение: ускорение свободного падения у поверхности Солнца, имеющего радиус Rc, массу M, можно вычислить по формуле (следствие из закона всемирного тяготения: если пренебречь вращением небесного тела вокруг своей оси, то сила тяжести Mgc равна силе всемирного тяготения)
\[ g_{c} =\frac{G\cdot M}{R_{c}^{2} } .{\rm \; \; \; \; \; (1)} \]
При движении Земли вокруг Солнца по круговой орбите сила всемирного тяготения сообщает Земле центростремительное ускорение, т.е.
\[ \begin{array}{l} {G\cdot \frac{m\cdot M}{R^{2} } =m\cdot a=m\cdot \omega ^{2} \cdot R=m\cdot \frac{4\pi ^{2} }{T^{2} } \cdot R,} \\ {G\cdot M=\frac{4\pi ^{2} }{T^{2} } \cdot R^{3} .{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)}} \end{array} \]
Радиус Солнца определим из увеличения линзы: размеры изображения так относятся к размерам предмета, как расстояние до изображения к расстоянию до предмета
\[ \frac{d}{2R_{c} } =\frac{f}{R} ,{\rm \; \; \; \; \; \; }R_{c} =\frac{R\cdot d}{2f} .{\rm \; \; \; \; \; (3)} \]
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получим
\[ \begin{array}{l} {g_{c} =\frac{4\pi ^{2} }{T^{2} } \cdot R^{3} \cdot \left(\frac{2f}{R\cdot d} \right)^{2} ,} \\ {g_{c} =\frac{16\pi ^{2} \cdot f^{2} \cdot R}{T^{2} \cdot d^{2}}.} \end{array} \]
Ответ:2,54 м/с2 – такой ответ получается после подстановки численных данных из условия задачи, ответ в сборнике – 2,7 ∙ 102 м/с2,  истинное значение ускорения (из справочника) – 273,1 м/с2 – скорее всего есть опечатка в числовых данных задачи, т.к. итоговая формула такая же, как в ответах).
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:10
886. Две линзы, из которых одна рассеивающая с фокусным расстоянием F1,а другая собирающая с фокусным расстоянием F2 = 2F1 , расположены так, что имеют общую главную оптическую ось. Каким должно быть расстояние между линзами, чтобы пучок лучей, параллельных главной оптической оси системы, пройдя обе линзы, не изменил направления?
Решение: пусть лучи падают на рассеивающую линзу параллельным пучком, это значит, что их точечный источник находится в бесконечности, т.е. расстояние между ним и линзой d1 = ∞. Поскольку лучи выходят из собирающей линзы тоже параллельным пучком, значит, изображение, даваемое собирающей линзой, тоже удалено в бесконечность, т.е. расстояние от собирающей линзы до изображения f2 = ∞.
После преломления лучей  в рассеивающей линзе они пойдут расходящимся пучком, но их продолжения пересекутся в её переднем фокусе (с той же стороны, откуда шли к линзе), поэтому расстояние между первым изображением (мнимым) и рассеивающей линзой будет равно её фокусному
f1 =F1 .
За рассеивающей линзой расположена собирающая, на расстоянии l (его нужно определить), тогда расстояние от первого изображения (оно является предметом для второй линзы) до второй, собирающей линзы
d2 = l + F1 .
Запишем формулу тонкой линзы для второго случая
\[ \frac{1}{F_{2} } =\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2}}. \]
Но  f2 = ∞, тогда 1 / f2 = 0, таким образом
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{2F_{1} } =\frac{1}{l+F_{1} } ,2F_{1} =l+F_{1} ,} \\ {l=F_{1}.} \end{array} \]
Таким образом, расстояние d2 = 2∙F1,это значит, что первое изображение, находящееся в фокусе рассеивающей линзы, одновременно находится и в фокусе собирающей линзы, т.е. эти фокусы совпадают.
Ответ: l= F1.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Май 2013, 18:11
887. Найти построением изображение светящейся точки S в оптической системе двух тонких линз – рассеивающей и собирающей (рис. 280). Фокусы обеих линз заданы.
Решение: Для построения изображения нужно два луча. Первый луч направим вдоль главной оптической оси линз. Второй - произвольный луч из S на рассеивающую линзу. Для построения дальнейшего хода луча, проведём побочную оптическую ось F1´O1. Луч, идущий к линзе параллельно оптической оси, далее пойдёт через фокус (в нашем случае продолжение луча должно пройти через побочный фокус F1´рассеивающей линзы). Для построения хода луча после собирающей, проведём побочную ось F2´O2 и луч пройдёт через побочный фокус F2´.
На пересечении луча с главной оптической осью (первый луч) и будет находиться изображение источника . (см. рис.)
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:08
888. Две собирающие линзы, фокусные расстояния которых F1 = 12 см и F2 = 15 см расположены так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между линзами l = 36 см. Предмет находится на расстоянии d1 = 48 см от первой линзы. На каком расстоянии от второй линзы получится изображение предмета?
Решение: из формулы тонкой линзы найдём расстояние f1 от первой линзы до изображения предмета, которое даёт эта линза
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1}} ,} \\ {f_{1} =\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1}}.} \end{array} \]
После подстановки данных, получим f1 = 16 см. Сравнив f1 и l видим, что изображение будет расположено между линзами на расстоянии d2 = lf1 от второй линзы. Это изображение является предметом для второй линзы. Из формулы линзы, записанной для второго случая, найдём расстояние от второй линзы до изображения  (подставим d2)
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F_{2} } =\frac{1}{d_{2}} +\frac{1}{f_{2}},} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-f_{1} \right)}{\left(l-f_{1} \right)-F_{2}}.} \end{array} \]
После подстановки в эту формулу выражения для f1 , полученного ранее и проведя  математические преобразования, получим
\[ \begin{array}{l} {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } \right)}{\left(l-\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } \right)-F_{2} } =\frac{F_{2} \cdot l\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} \cdot F_{2} }{l\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} -F_{2} \cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)} ,} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l\cdot d_{1} -l\cdot F_{1} -d_{1} \cdot F_{1} \right)}{\left(l-F_{2} \right)\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 60 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:09
889. Источник света находится на расстоянии d1 = 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F1 = 20 см. По другую сторону линзы на расстоянии l = 40 см расположена рассеивающая линза с фокусным расстоянием F2 = 12 см. На каком расстоянии от рассеивающей линзы находится изображение источника?
Решение: из формулы тонкой линзы найдём расстояние  f1 от собирающей линзы до изображения источника в этой линзе
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } ,} \\ {f_{1} =\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1}}.} \end{array} \]
После подстановки данных, получим f1 = 60 см. Сравнив f1 и l  видим, что изображение будет расположено за рассеивающей линзой на расстоянии d2 = f1l. Это изображение является предметом для рассеивающей линзы и этот предмет мнимый. Из формулы линзы, записанной для второго случая (для рассеивающей, с учтём правила знаков) найдём расстояние от рассеивающей линзы до изображения  (подставим d2)
\[ \begin{array}{l} {-\frac{1}{F_{2} } =-\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f_{2} } ,} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-f_{1} \right)}{F_{2} -\left(f_{1} -l\right)}.} \end{array} \]
После подстановки в эту формулу выражения для f1 , полученного ранее и проведя  математические преобразования, получим
\[ \begin{array}{l} {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } \right)}{F_{2} -\left(\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } -l\right)} =\frac{l\cdot F_{2} \cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} \cdot F_{2} }{F_{2} \cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} +l\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)} ,} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l\cdot d_{1} -l\cdot F_{1} -d_{1} \cdot F_{1} \right)}{\left(F_{2} +l\right)\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 30 см.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:09
890. Дальнозоркий человек начинает резко различать очертания предметов с расстояния d = 1 м. Найти оптическую силу очков, которые нужны этому человеку, чтобы он мог чётко видеть предметы с расстояния наилучшего  видения d0 = 25 см.
Решение: применим к глазу формулу тонкой линзы
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f}, \]
где f – расстояние от оптического центра глаза до сетчатки, D – оптическая сила глаза. Чтобы восполнить недостаток зрения, человеку нужны очки с линзой такой оптической силы D0, чтобы лучи, падающие от точек, удалённых на расстоянии d0 фокусировались системой «очки – глаз» на сетчатке. Следовательно (учтём, что оптические силы системы линз суммируются)
\[ D+D_{0} =\frac{1}{d_{0} } +\frac{1}{f}. \]
Вычитая из второго уравнения первое, получим
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}. \]
Ответ: 3 дптр.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:10
891. С самолёта, летевшего на высоте h = 2000 м, проводилось фотографирование местности с помощью аэрофотоаппарата, объектив которого имеет фокусное расстояние F = 0,5 м. Каков масштаб полученных снимков?
Решение: масштаб полученных снимков будет равен увеличению объектива фотоаппарата Γ. В нашем случае: h – расстояние от предмета до объектива, f – расстояние от объектива до изображения, тогда используя формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы, получим
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{f}{h} ,{\rm \; \; \; }f=\Gamma \cdot h,} \\ {\frac{1}{F} =\frac{1}{h} +\frac{1}{f} =\frac{1}{h} +\frac{1}{\Gamma \cdot h} ,} \\ {\frac{1}{\Gamma \cdot h} =\frac{1}{F} -\frac{1}{h} =\frac{h-F}{h\cdot F} ,} \\ {\Gamma =\frac{F}{h-F} .} \end{array} \]
Ответ: 1: 3999 ≈ 1: 4000.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:11
892. При фотографировании предмета с расстояния d1 = 15 м, высота его изображения на фотоплёнке h1 = 30 мм, а при фотографировании с расстояния d2 = 9 м – h2 = 51 мм. Найти фокусное расстояние объектива фотоаппарата.
Решение: пусть F – фокусное расстояние объектива, h – высота предмета, f1– расстояние от объектива до изображения на фотоплёнке в первом случае , f2 – расстояние от объектива до изображения во втором случае (расстояние изменилось т.к. при фотографировании с другого положения производилась настройка резкости). Воспользуемся формулой увеличения линзы и выразим из неё расстояние от объектива до изображения
\[ \begin{array}{l} {\frac{f_{1} }{d_{1} } =\frac{h_{1} }{h} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{f_{1} } =\frac{h}{h_{1} \cdot d_{1} } ,} \\ {\frac{f_{2} }{d_{2} } =\frac{h_{2} }{h} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{f_{2} } =\frac{h}{h_{2} \cdot d_{2} } .{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(1\right)} \end{array} \]
Теперь воспользуемся формулой тонкой линзы
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2} } ,} \\ {\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{F} -\frac{1}{d_{1} } =\frac{d_{1} -F}{d_{1} \cdot F} ,} \\ {\frac{1}{f_{2} } =\frac{d_{2} -F}{d_{2} \cdot F} .{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\left(2\right)} \end{array} \]
После подстановки (1) в (2), разделим полученные уравнения
\[ \begin{array}{l} {\frac{h}{h_{1} \cdot d_{1} } =\frac{d_{1} -F}{d_{1} \cdot F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{h}{h_{2} \cdot d_{2} } =\frac{d_{2} -F}{d_{2} \cdot F} ,} \\ {\frac{h_{2} }{h_{1} } =\frac{d_{1} -F}{d_{2} -F} ,} \\ {h_{2} \cdot d_{2} -h_{2} \cdot F=h_{1} \cdot d_{1} -h_{1} \cdot F,} \\ {F=\frac{h_{2} \cdot d_{2} -h_{1} \cdot d_{1} }{h_{2} -h_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 0,43 ≈ 0,4 м
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:12
893. Какое увеличение даёт лупа, имеющая оптическую силу D = 16 дптр? Построить изображение в лупе.
Решение: увеличение лупы с учётом оптической силы D = 1 / F
\[ \Gamma =\frac{d_{0} }{F} =d_{0} \cdot D, \]
здесь d0 = 25 см – расстояние наилучшего зрения для нормального глаза. При построении изображения учтём, что для рассмотрения предмета лупой, он располагается между фокусом и оптическим центром лупы, при этом получается мнимое, прямое, увеличенное изображение.
Ответ: 4, см. рис.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:12
894. Проекционный аппарат даёт на экране увеличенное в Γ = 20 раз изображение диапозитива. Найти расстояние между объективом проекционного аппарата и изображением, если фокусное расстояние объектива F = 20 см.
Решение: диапозитив помещают вблизи фокальной плоскости объектива на расстоянии, большем его фокусного. В этом случае изображение получается действительное, увеличенное и обратное. Пусть d – расстояние от диапозитива до объектива, f – расстояние от объектива до изображения (экрана). Увеличение составит
\[ \Gamma =\frac{f}{d} ,\frac{1}{d} =\frac{\Gamma }{f}. \]
Из  формулы тонкой линзы получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,\frac{1}{F} =\frac{\Gamma }{f} +\frac{1}{f} ,} \\ {f=F\cdot \left(\Gamma +1\right).} \end{array} \]
Ответ: 4,2 м.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:12
895. Светящаяся точка, находящаяся на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см, движется со скоростью υ = 2 см / с перпендикулярно главной оптической оси. С какой скоростью движется изображение точки?
Решение: т.к. точка находится на расстоянии от линзы, большем фокусного расстояния, но меньше двойного фокусного расстояния, то её изображение будет действительным, обратным, увеличенным. Пусть за время Δt точка пройдёт расстояние l = υ ∙ Δt, перпендикулярно главной оптической оси, тогда изображение точки пройдёт расстояние L = υ1 ∙ Δt, перпендикулярно оптической оси, где υ1 - искомая скорость движения изображения (см. рис.). Составим систему уравнений на основании формул тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {\frac{f}{d} =\frac{L}{l} .} \end{array}\right. \]
После подстановки l и L
\[ \begin{array}{l} {f=d\cdot \frac{L}{l} =d\cdot \frac{\upsilon _{1} \cdot \Delta t}{\upsilon \cdot \Delta t} =d\cdot \frac{\upsilon _{1} }{\upsilon } ,} \\ {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{\upsilon }{d\cdot \upsilon _{1} } ,\frac{\upsilon }{\upsilon _{1} } =\frac{d-F}{F} ,} \\ {\upsilon _{1} =\upsilon \cdot \frac{F}{d-F} .} \end{array} \]
Ответ: 4 см / с.
Название: Re: Линзы из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Май 2013, 13:13
896. Кинокамерой сняли колебания тяжёлого груза, подвешенного на проволоке. Съёмка велась с помощью объектива с фокусным расстоянием F = 5 см. Изображение маятника на плёнке имеет длину l = 20 мм. За время съёмки t = 1 мин маятник совершил N = 24 полных колебания. С какого расстояния (от объектива до маятника) велась съёмка? Маятник считать математическим.
Решение: изображение на плёнке является действительным. Пусть d – расстояние от маятника до объектива, f – расстояние от объектива до изображения на плёнке, l – линейные размеры изображения, L – линейные размеры предмета (длина математического маятника). Составим систему уравнений на основании формул тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {\frac{f}{d} =\frac{l}{L}.} \end{array}\right. \]
Решим полученную систему относительно расстояния d, например
\[ \begin{array}{l} {f=\frac{l\cdot d}{L} ,} \\ {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{L}{l\cdot d} ,} \\ {d=F\cdot \left(1+\frac{L}{l} \right).} \end{array} \]
Длину математического маятника определим из формулы для расчёта его периода колебаний. Учтём, что время одного колебания (период) можно найти, зная время  и число колебаний, тогда
\[ \begin{array}{l} {T=\frac{t}{N} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g} } ,} \\ {L=\frac{g\cdot t^{2} }{4\pi ^{2} \cdot N^{2} } .} \end{array} \]
Подставив полученное значение длины в выражение для d, получим
\[ d=F\cdot \left(1+\frac{g\cdot t^{2} }{4\pi ^{2} \cdot N^{2} \cdot l} \right). \]
Ответ: 4 м.