Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => : alsak 29 May 2011, 12:45

: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 29 May 2011, 12:45
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

790 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40217.html#msg40217) 791 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg37839.html#msg37839) 792 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg37919.html#msg37919) 793 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg38782.html#msg38782) 794 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40218.html#msg40218) 795 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg38783.html#msg38783) 796 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg38789.html#msg38789) 797 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40219.html#msg40219) 798 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg38410.html#msg38410) 799 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg37899.html#msg37899)
800 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg37849.html#msg37849) 801 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40220.html#msg40220) 802 803 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40221.html#msg40221) 804 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40222.html#msg40222) 805 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40223.html#msg40223) 806 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40224.html#msg40224) 807 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40225.html#msg40225) 808 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40226.html#msg40226) 809 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40227.html#msg40227)
810 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40228.html#msg40228) 811 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40229.html#msg40229) 812 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40230.html#msg40230) 813 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40231.html#msg40231) 814 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg38790.html#msg38790) 815 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40232.html#msg40232) 816 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40234.html#msg40234) 817 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5106.msg40235.html#msg40235)
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 09 March 2012, 16:45
791. Определить длину волны, на которую настроен приемник, если его приемный контур обладает индуктивностью L = 0,003 Гн и емкостью С = 10 мкФ. Скорость электромагнитных волн в вакууме с = 3∙108 м/с.

Решение. Условие приема волны — равенство частоты волны νb и частоты колебательного (приемного) контура νk, т.е.

νb = νk или
\[T_{b} =T_{k} =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\]
Длина волны
\[\lambda _{b} = c \cdot T_{b}= c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C},\]
λb = 3,3∙105 м.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 09 March 2012, 16:55
800. Зависимость силы тока от времени в колебательном контуре описывается уравнением i = 0,1∙sin(300π∙t) А. Найти индуктивность контура, если максимальная энергия электростатического поля конденсатора Wm e = 0,005 Дж.

Решение. Зная уравнение колебаний силы тока, можно найти амплитуду силы тока Im. Уравнение гармонического колебания силы тока в общем виде:

i = Im∙sin(ω∙t + φ0).

Тогда из уравнения i = 0,1∙sin(300π∙t) получаем амплитуду силы тока Im = 0,1 А. Амплитуда колебаний силы тока, индуктивность контура и максимальная энергия магнитного поля катушки Wm m связаны следующим соотношением:
\[W_{m\; m} =\frac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} .\]
Так как по закону сохранения энергии для колебательного контура максимальная энергия магнитного поля катушки Wm m и максимальная энергия электростатического поля конденсатора Wm e равны, то
\[W_{m\; e} =W_{m\; m} =\frac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} ,\; \; L=\frac{2W_{m\; e} }{I_{m}^{2} } ,\]
L = 1 Гн.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 10 March 2012, 09:04
799. Катушка индуктивности подключена к конденсатору, заряд которого q = 2,5∙10–10 Кл. В образованном контуре возникли свободные электромагнитные колебания, частота которых ν = 4∙107 Гц. Определить максимальную силу электрического тока, проходящего через катушку. Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение. Так как катушку подключают к конденсатору с зарядом q, то q = Qm — это максимальный заряд колебательного контура. Максимальный заряд Qm и максимальная сила тока Im можно связать через полную энергию колебательного контура W, максимальную энергию электростатического поля конденсатора Wm e и максимальную энергию магнитного поля катушки Wm m:
\[W=W_{m\; e} =W_{m\; m}, \; \; \; \frac{Q_{m}^{2}}{2C} =\frac{L\cdot I_{m}^{2}}{2}. \; \; \; (1)\]
Частота колебательного контура равна:
\[\nu =\frac{1}{T} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}. \; \; \; (2)\]

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[\sqrt{L\cdot C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu }, \; \; \; I_{m} =\frac{Q_{m}}{\sqrt{L\cdot C}} =2\pi \cdot \nu \cdot q,\]
Im = 6,3∙10–2 А.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 10 March 2012, 18:41
792. Контур радиоприемника настроен на частоту ν1 = 9 МГц. Как нужно изменить электроемкость переменного конденсатора этого контура, чтобы приемник был настроен на длину волны λ2 = 50 м? Скорость электромагнитных волн в вакууме с = 3∙108 м/с.

Решение. Контур радиоприемника — это обычный колебательный контур, частота электромагнитных колебаний в котором равна:
\[\nu =\frac{1}{T} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}. \; \; \; (1)\]
Условие приема волны — равенство частоты волны νb и частоты колебательного (приемного) контура νk, т.е.

νb = νk или Tb = Tk.
Длина волны
\[\lambda _{b} =c\cdot T_{b} =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}. \; \; \; (2)\]

По условию в приемном контуре электроемкость конденсатора изменяется. Пусть вначале электроемкость была C1 и частота контура равнялась ν1 (см. уравнение (1)), затем электроемкость стала C2, и приемник стал ловить волны с длиной λ2 (см. уравнение (2)). С учетом этого перепишем уравнения (1) и (2) и найдем во сколько раз C2 больше C1:
\[\begin{array}{c} {\nu _{1} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1}}}, \; \; \; \lambda _{2} =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2}},} \\ {\nu _{1} \cdot \lambda _{2} =\frac{c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2} } }{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1} } } =\frac{c\cdot \sqrt{C_{2}}}{\sqrt{C_{1}}}, \; \; \; \frac{C_{2} }{C_{1} } =\left(\frac{\nu _{1} \cdot \lambda _{2} }{c} \right)^{2}, \; \; \; \frac{C_{2} }{C_{1} } =2,25.} \end{array}\]
Ответ. Увеличить в 2,25 раза.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: alsak 14 March 2012, 07:30
798. В колебательном контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания. Зная, что максимальный заряд конденсатора Qm = 1∙10–6 Кл, а максимальная сила тока Im = 10 А, найти, на волну какой длины настроен контур. Скорость электромагнитных волн с = 3∙108 м/с.

Решение. Полная энергия колебательного контура равна:
\[W=\frac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} =\frac{Q_{m}^{2}}{2C}. \; \; \; (1)\]
Контур радиоприемника — это колебательный контур. Условие приема волны — равенство частоты волны νb и частоты колебательного (приемного) контура νk, т.е.

νb = νk или
\[T_{b} =T_{k} =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C} .\]
Тогда длина волны равна
\[\lambda _{b} =c\cdot T_{b} =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C} .\; \; \; (2)\]
Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[L\cdot C=\frac{Q_{m}^{2} }{I_{m}^{2} } ,\; \; \; \lambda _{b} =c\cdot 2\pi \cdot \frac{Q_{m} }{I_{m} } ,\]
λ = 188 м.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: andrey 01 May 2012, 13:09
793, 814, 795, 796
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: djek 01 May 2012, 20:46
793 После зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения ключ К переключают на катушку индуктивностью L1 (рис. 249).
В контуре возникают гармонические колебания с амплитудой силы тока Im1. Опыт повторяют по прежней схеме, заменив катушку на другую, индуктивностью L2= 2L1. Найти амплитуду силы тока Im2 для второго случая.
Решение
При переключении ключа, в контуре возникнут колебания, период которых определяется формулой Томсона
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} \]
где L – индуктивность катушки, С – электроемкость конденсатора.
Зависимость заряда q на обкладках конденсатора от времени имеет вид
q = qm·cos(ω0·t)

Cила тока является производной от заряда
I=q’(t) = - qm· ω0·sin(ω0·t)
где
Im= qm· ω0;
ω0 – циклическая частота колебаний
\[ \begin{align}
  & {{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{T}=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}} \\
 & {{I}_{m1}}={{q}_{m}}\cdot {{\omega }_{0}}=\frac{{{q}_{m}}}{\sqrt{{{L}_{1}}\cdot C}} \\
 & {{I}_{m2}}={{q}_{m}}\cdot {{\omega }_{0}}=\frac{{{q}_{m}}}{\sqrt{2\cdot {{L}_{1}}\cdot C}} \\
 & {{I}_{m2}}=\frac{{{I}_{m1}}}{\sqrt{2}} \\
\end{align}
 \]


: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: djek 01 May 2012, 21:22
795. Колебательный контур содержит катушку и конденсатор. Во сколько раз увеличится период собственных колебаний в контуре, если параллельно конденсатору подключить еще три таких же конденсатора?
Решение
Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} \]
где L – индуктивность катушки, С – электроемкость конденсатора.
В случае, когда соединены параллельно n одинаковых конденсаторов емкостью С0 каждый, то общая емкость равна
С = n·С0
С учетом этого запишем период колебаний в контуре для случая с одним конденсатором и в случае присоединения параллельно еще трех таких же
\[ \begin{align}
  & {{T}_{1}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} \\
 & {{T}_{2}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot 4\cdot C} \\
 & \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot 4\cdot C}}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}=2 \\
\end{align}
 \]
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: djek 01 May 2012, 22:09
796. В колебательном контуре с емкостью С и индуктивностью L совершаются свободные незатухающие колебания. Известно, что максимальное напряжение на конденсаторе равно Um. Найти максимальную силу тока в контуре.
Решение
Амплитудное значение напряжения на обкладках конденсатора
Um= qm/C
где qm – амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора; C – емкость конденсатора.
Зависимость заряда q на обкладках конденсатора от времени имеет вид
q = qm·cos(ω0·t)
Cила тока является производной от заряда
I=q’(t) = - qm· ω0·sin(ω0·t)
где
Im= qm· ω0;
ω0 – циклическая частота колебаний
qm = Um·С
\[ \begin{align}
  & {{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{T}=\frac{2\cdot \pi }{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}} \\
 & {{I}_{m}}={{q}_{m}}\cdot {{\omega }_{0}}={{U}_{m}}\cdot C\cdot \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}={{U}_{m}}\cdot \sqrt{\frac{C}{L}} \\
\end{align}
 \]
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: djek 01 May 2012, 22:12

814. Первичная обмотка силового трансформатора для накала радиолампы имеет n1 = 2200 витков и включена в сеть с действующим значением напряжения U1= 220 В. Сколько витков должна иметь вторичная обмотка, если ее активное сопротивление r = 0,50 Ом, а напряжение накала лампы U2 = 3,5 В при силе тока накала I = 1 А?
Решение
По определению коэффициента трансформации:
\[ \begin{align}
  & k=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}} \\
 & {{n}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{2}}\cdot {{n}_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}} \\
\end{align}
 \]
где n1, n2 – количество витков соответственно в первичной и вторичной обмотках; ε1, ε2 – ЭДС индукции в первичной и вторичной обмотках соответственно.
Не принимая во внимание активной сопротивление первичной обмотки, имеем:
ε1 = U1
Для вторичной обмотки трансформатора по закону Ома для замкнутой цепи можно написать:
ε2 = I2 ·R2 + I2 ·r
где ε2,I2 – действующие значения ЭДС индукции и силы тока во вторичной обмотке, R2 – сопротивление нагрузки, r – сопротивление вторичной обмотки
Учитывая, что
U2 = I2 ·R2
ε2 = U2 + I2 ·r
Как результат
\[ {{n}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{2}}\cdot {{n}_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}}=\frac{({{U}_{2}}+{{I}_{2}}\cdot r)\cdot {{n}_{1}}}{{{U}_{1}}} \]
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:14
790. Катушка индуктивностью L = 3 ∙ 10–5 Гн присоединена к плоскому конденсатору, площадь каждой пластины которого S = 100 см2. Расстояние между пластинами конденсатора d = 0,1 мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство конденсатора, если контур резонирует на волну длиной λ = 750 м? Скорость электромагнитных волн в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с.
Решение: резонансная длина волны, на которую настроен колебательный контур, определяется следующим образом
\[ \lambda =c\cdot T=c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \]
здесь учли, что период электромагнитных колебаний T в контуре определяется по формуле Томсона, С – ёмкость плоского конденсатора, которую легко определить, зная его размеры
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}, \]
где ε0 = 8,85 ∙ 10–12 Ф/м – электрическая постоянная, ε – искомая диэлектрическая проницаемость среды. После подстановки, имеем
\[ \begin{array}{l} {\lambda =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot \frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}},} \\ {\varepsilon =\frac{d\cdot \lambda ^{2}}{4\pi ^{2} \cdot \varepsilon _{0} \cdot c^{2} \cdot L\cdot S}.} \end{array} \]
Ответ:6.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:18
794. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,2 мкГн и переменного конденсатора, ёмкость которого может изменяться от C1 = 50 пФ до C2 = 450 пФ. Какой диапазон частот и длин волн можно охватить настройкой этого контура? Скорость электромагнитных волн в вакууме c = 3 ∙ 108 м/с.
Решение: длина волны, на которую настроен колебательный контур, определяется следующим образом
\[ \lambda =c\cdot T=c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \]
здесь учли, что период электромагнитных колебаний T в контуре определяется по формуле Томсона, С – ёмкость конденсатора.
Тогда диапазон длин волн
\[ \begin{array}{l} {\lambda _{1} \le \lambda \le \lambda _{2},} \\ {c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1}} \le \lambda \le c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2}}.} \end{array} \]
Диапазон частот (учтём, что частота обратно пропорциональна периоду колебаний ν = 1/T ),тогда
\[ \begin{array}{l} {\nu _{2} \le \nu \le \nu _{1},} \\ {\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2}}} \le \nu \le \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1}}} .} \end{array} \]
Ответ: от ν2 = 1,7 ∙ 107 Гц  до ν1 = 5 ∙ 107 Гц, от λ1 = 6 м  до  λ2 = 17,9 м.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:21
797. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн и конденсатора, обкладки которого  - две круглые пластины диаметром D = 20 см каждая. Расстояние между пластинами d = 1 см. Определить период колебаний контура, если пространство между пластинами заполнено плексигласом, диэлектрическая проницаемость которого ε = 3. Электрическая постоянная ε0 = 8,85 ∙ 10–12 Ф/м .
Решение: период свободных электромагнитных колебаний T в контуре определяется по формуле Томсона,
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \]
где С – ёмкость плоского конденсатора, которую легко определить, зная его размеры
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}, \]
здесь S – площадь пластины конденсатора, которую определим по формуле площади круга, зная диаметр D
\[ S=\frac{\pi \cdot D^{2}}{4}. \]
Тогда период колебаний
\[ \begin{array}{l} {T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot \frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d} } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot \frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot \pi \cdot D^{2} }{4d} } ,} \\ {T=\pi \cdot D\cdot \sqrt{\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot \pi \cdot L}{d} } .} \end{array} \]
Ответ: 1,8 ∙10–6 ≈ 2 ∙ 10–6 с.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:27
801. К источнику тока подключена катушка индуктивностью L = 0,81 Гн и резистор сопротивлением R = 25 Ом (рис. 250). Сразу после размыкания ключа К в резисторе выделяется тепловая мощность P = 100 Вт. Сопротивление обмотки катушки пренебрежимо мало. Какое количество теплоты выделится в резисторе  к моменту исчезновения тока в цепи?
Решение: т.к. сопротивление обмотки катушки пренебрежимо мало, то при замкнутом ключе ток шёл только через катушку. Пусть в момент размыкания ключа ток через катушку был I. Тогда энергия магнитного поля катушки была равна
\[ W=\frac{L\cdot I^{2} }{2}. \]
После размыкания ключа возникнут затухающие электромагнитные колебания и, по закону сохранения и превращения энергии, количество выделившегося тепла в резисторе Q по модулю будет равно энергии магнитного поля, т.е.
Q = W.
Воспользуемся законом Джоуля – Ленца и определим время протекания тока I через резистор
\[ \begin{array}{l} {I^{2} \cdot R\cdot t=\frac{L\cdot I^{2}}{2},} \\ {t=\frac{L}{2R}.} \end{array} \]
С другой стороны, выделившееся количество теплоты определим через тепловую мощность P и время t
\[ Q=Pt=\frac{P\cdot L}{2R}. \]
Ответ: 1,6 Дж.

alsak: Здесь нельзя использовать закон Джоуля-Ленца для нахождения времени, т.к. сила тока в цепи будет меняться. Надо найти силу тока I через мощность P в момент размыкания:
\[P=I^{2} \cdot R,\; \; \; I^{2} =\frac{P}{R},\]
и подставить в формулу энергии W.  Конечная формула и ответ останутся теми же.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:31
803. Рамка площадью S = 1 дм2 из проволоки сопротивлением R = 0,45 Ом вращается с угловой скоростью ω = 100 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл. Ось вращения рамки лежит в её плоскости и перпендикулярна вектору магнитной индукции B. Определить количество теплоты Q, которое выделится в рамке за N = 1000 оборотов. Самоиндукцией пренебречь.
Решение: при вращении рамки в магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции, что приводит к возникновению индукционного тока. Количество теплоты, выделившееся в рамке, определим, воспользовавшись законом Джоуля – Ленца
\[ Q=I^{2} \cdot R\cdot t, \]
здесь I – действующее значение силы тока, t – время.
Пусть в начальный момент угол α между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции равен нулю, тогда магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется по закону
\[ \Phi =B\cdot S\cdot \cos \alpha =B\cdot S\cdot \cos \left(\omega \cdot t\right), \]
ЭДС индукции равна первой производной от магнитного потока по времени, взятой со знаком «минус» (закон электромагнитной индукции)
\[ E_{i} =-\Phi '=B\cdot S\cdot \omega \cdot \sin \left(\omega \cdot t\right). \]
Т.к.  наибольшее значение синуса – единица, то максимальное значение ЭДС Em равно
\[ E_{m} =B\cdot S\cdot \omega. \]
Тогда, по закону Ома, максимальное значение силы тока в рамке
\[ I_{m} =\frac{E_{m} }{R} =\frac{B\cdot S\cdot \omega}{R}. \]
Действующее значение силы тока в цепи
\[ I=\frac{I_{m} }{\sqrt{2}} =\frac{B\cdot S\cdot \omega }{\sqrt{2} \cdot R}. \]
Время t, за которое рамка сделает N оборотов, определим через период вращения T  (время одного оборота) и угловую скорость ω = 2π/T, т.е.
\[ \begin{array}{l} {T=\frac{t}{N} =\frac{2\pi }{\omega } ,} \\ {t=\frac{2\pi \cdot N}{\omega }.} \end{array} \]
Таким образом, количество теплоты будет равно
\[ \begin{array}{l} {Q=\left(\frac{B\cdot S\cdot \omega }{\sqrt{2} \cdot R} \right)^{2} \cdot R\cdot \frac{2\pi \cdot N}{\omega },} \\ {Q=\frac{\pi \cdot \omega \cdot N\cdot B^{2} \cdot S^{2} }{R}.} \end{array} \]
Ответ: 0,7 Дж.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:33
804. Напряжение зажигания неоновой лампы Uз = 80 В, напряжение гашения Uг = 70 В. Вольтметр показывает, что в сети переменного тока напряжение U = 60 В. Будет ли лампочка гореть в этой сети?
Решение: вольтметр показывает действующее (эффективное) значение напряжения в сети переменного тока. Напряжение в сети меняется по сину-соидальному закону и максимальное (амплитудное) значение напряжения связано с действующим следующим образом
Um = U ∙ √2 = 60 ∙ 1,41 ≈ 85 В.
Получаем, что Um>Uз, поэтому лампа в сети гореть будет.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:36
805. В сеть переменного тока с действующим значением напряжения U = 220 В и частотой ν = 50 Гц последовательно включены  резистор сопротивлением R = 200 Ом, катушка индуктивностью L = 40 мГн и конденсатор ёмкостью C = 80 мкФ. Найти индуктивное, ёмкостное и полное сопротивления цепи, а также действующее и амплитудное значения силы тока.
Решение: циклическая частота ω = 2π∙ν.
Индуктивное сопротивление катушки индуктивностью L
\[ X_{L} =\omega \cdot L=2\pi \cdot \nu \cdot L.  \]
Ёмкостное сопротивление конденсатора ёмкостью C
\[ X_{C} =\frac{1}{\omega \cdot C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Полное сопротивление последовательной цепи переменного тока
\[ Z=\sqrt{R^{2} +\left(X_{L} -X_{C} \right)^{2}}. \]
Действующее значение силы тока определим по закону Ома
\[ I=\frac{U}{Z} =\frac{U}{\sqrt{R^{2} +\left(X_{L} -X_{C} \right)^{2}}}. \]
Амплитудное значение силы тока связано с действующим значением
\[ I_{m} =I\cdot \sqrt{2}. \]
Ответ: 13 Ом; 40 Ом; 202 Ом;1,1 А; 1,5 А.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:38
806. Резистор сопротивлением R = 30 Ом включён последовательно с конденсатором в сеть переменного тока с действующим значением напряжения U = 220 В и частотой ν = 50 Гц. Амплитуда силы тока в цепи Im = 2 А. Найти ёмкость конденсатора.
Решение: циклическая частота ω = 2π∙ν.
Ёмкостное сопротивление конденсатора ёмкостью C
\[ X_{C} =\frac{1}{\omega \cdot C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Полное сопротивление цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединённых конденсатора и резистора
\[ Z=\sqrt{R^{2} +X_{C}^{2}}. \]
С  другой стороны, полное сопротивление определим по закону Ома
\[ Z=\frac{U}{I} =\frac{U\cdot \sqrt{2} }{I_{m}}, \]
здесь учли, что амплитудное значение силы тока связано с действующим значением I следующим образом:
\[ I_{m} =I\cdot \sqrt{2}. \]
Приравняем полученные выражения для полного сопротивления, возведём обе части равенства в квадрат, подставим выражение для ёмкостного сопротивления и выразим искомую ёмкость конденсатора
\[ \begin{array}{l} {R^{2} +X_{C}^{2} =\frac{2\cdot U^{2} }{I_{m}^{2} } ,} \\ {R^{2} +\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C^{2} } =\frac{2\cdot U^{2} }{I_{m}^{2} } ,} \\ {C=\frac{I_{m} }{2\pi \cdot \nu \cdot \sqrt{2\cdot U^{2} -I_{m}^{2} \cdot R^{2}}}.} \end{array}  \]
Ответ:  2 ∙ 10–5 Ф.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:40
807. К источнику переменного напряжения с действующим значением U = 100 В и частотой ν = 500 Гц подключена цепь, состоящая из последовательно включённых резистора сопротивлением R = 20 Ом, катушки, индуктивность которой L = 40 мГн, и конденсатора ёмкостью C = 12 мкФ. Найти силу тока в цепи и показания вольтметра на каждом элементе цепи.
Решение: силу тока определим по закону Ома
\[ I=\frac{U}{Z} =\frac{U}{\sqrt{R^{2} +\left(X_{L} -X_{C} \right)^{2}}}. \]
Здесь  XL - индуктивное сопротивление катушки
\[ X_{L} =2\pi \cdot \nu \cdot L. \]
XC - ёмкостное сопротивление конденсатора
\[ X_{C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Тогда сила тока в цепи
\[ I=\frac{U}{\sqrt{R^{2} +\left(2\pi \cdot \nu \cdot L-\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C} \right)^{2}}}. \]
При последовательном соединении сила тока во всех элементах цепи одинакова. Напряжение на элементах цепи, по закону Ома, равно произведению силы тока на сопротивление элемента, т.е.
\[ \begin{array}{l} {U_{R} =I\cdot R,} \\ {U_{L} =I\cdot X_{L} =I\cdot 2\pi \cdot \nu \cdot L,} \\ {U_{C} =I\cdot X_{C} =\frac{I}{2\pi \cdot \nu \cdot C}.} \end{array}  \]
Ответ: 0,99 А; 19,8 В; 124,3 В; 26,3 В  соответственно.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:42
808. Катушка индуктивности, конденсатор и проводник с активным сопротивлением соединены последовательно. Действующие значения напряжения на них – соответственно UL = 15В, UC = 10В, UR = 12 В. Чему равно действующее напряжение на всём участке.
Решение: учитывая, что на активном сопротивлении колебания силы тока совпадают, на емкостном опережают, на индуктивном отстают от колебаний напряжения, то действующее значение напряжения в цепи можно выразить через значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм. (см. рис.)
По теореме Пифагора
\[ U=\sqrt{U_{R}^{2} +\left(U_{L} -U_{C} \right)^{2}}. \]
Ответ: 13 В.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:44
809. Лампочку для карманного фонаря, рассчитанную на напряжение U1 = 3,5 В и силу тока I = 0,28 А, и конденсатор соединили последовательно (рис. 251) и включили в сеть переменного тока с действующим значением напряжения U2 = 220 В. И частотой ν = 50 Гц. Какой должна быть ёмкость конденсатора, чтобы накал лампочки был нормальным.
Решение: т.к. накал лампочки должен быть нормальным, то напряжение на ней должно быть U1 и ток через неё (и конденсатор, а также общий ток в цепи, т.к. соединение последовательное) должен быть I. Воспользуемся законом Ома для действующих значений тока и напряжения. Для лампочки
\[ I=\frac{U_{1} }{R} ,R=\frac{U_{1}}{I}. \]
Здесь R – сопротивление лампочки. Закон Ома для всей цепи
\[ I=\frac{U_{2} }{Z} =\frac{U_{2}}{\sqrt{R^{2} +X_{C}^{2}}}. \]
здесь Z  - полное сопротивление, XC – ёмкостное сопротивление конденсатора, которое определяется по формуле
\[ X_{C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Подставим значения для R и XC  в закон Ома и выразим ёмкость
\[ \begin{array}{l} {I=\frac{U_{2} }{\sqrt{\frac{U_{1}^{2} }{I^{2} } +\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C^{2} } } } ,} \\ {\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C^{2} } =\frac{U_{2}^{2} }{I^{2} } -\frac{U_{1}^{2} }{I^{2} } ,} \\ {C=\frac{I}{2\pi \cdot \nu } \cdot \sqrt{\frac{1}{U_{2}^{2} -U_{1}^{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 4 мкФ.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:47
810. Электрическая печь, сопротивление которой R= 20 Ом, подключена к сети переменного тока. Найти количество теплоты, выделяемое печью за время t = 2 ч, если амплитуда силы тока Im = 10 A.
Решение: количество теплоты, выделяемое проводником, активное сопротивление которого R, при прохождении по нему тока с действующим значением I = Im / √2, в течение времени t можно найти по закону Джоуля – Ленца
\[ Q=I^{2} \cdot R\cdot t=\frac{I_{m}^{2} }{2} \cdot R\cdot t.  \]
Ответ:   7,2 МДж
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:49
811. В сеть переменного тока с частотой ν = 50 Гц включили электроплитку, а затем последовательно с ней подключили катушку, вследствие чего мощность плитки уменьшилась в n = 3 раза. Рабочее сопротивление плитки R1 = 60 Ом. Найти индуктивность катушки. Активное сопротивление катушки R2 = 2 Ом.
Решение: в первый раз в сеть была включена только плитка, поэтому полное сопротивление цепи равно активному сопротивлению плитки R1. ток в цепи I1. Силу тока определим по закону Ома, тогда мощность плитки
\[ P_{1} =I_{1}^{2} \cdot R_{1} =\left(\frac{U}{Z_{1} } \right)^{2} \cdot R_{1} =\frac{U^{2} }{R_{1}^{2} } \cdot R_{1} =\frac{U^{2} }{R_{1}}. \]
Здесь U – действующее напряжение в сети переменного тока.
Во второй раз в цепи появилась катушка, поэтому полное сопротивление цепи изменилось (добавилось активное сопротивление катушки R2 и индуктивное XL = 2π∙ν∙L), сила тока изменилась и мощность в этом случае
\[ P_{2} =I_{2}^{2} \cdot R_{1} =\left(\frac{U}{Z_{2} } \right)^{2} \cdot R_{1} =\frac{U^{2} \cdot R_{1} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} +\left(2\pi \nu L\right)^{2}}. \]
По условию задачи, мощность плитки уменьшилась в n раз, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\frac{P_{1} }{P_{2} } =n,} \\ {\frac{U^{2} }{R_{1} } \cdot \frac{\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} +\left(2\pi \cdot \nu \cdot L\right)^{2} }{U^{2} \cdot R_{1} } =n,} \\ {n\cdot R_{1}^{2} =\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} +\left(2\pi \cdot \nu \cdot L\right)^{2} ,} \\ {L=\frac{1}{2\pi \cdot \nu } \cdot \sqrt{n\cdot R_{1}^{2} -\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2}}.} \end{array}  \]
Ответ: 0,3 Гн.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:50
812. К электрической цепи подведено переменное напряжение u = 180 ∙ sin ωt В. Амперметр, включённый в эту цепь, показывает силу тока I = 1,4 А. Определить коэффициент мощности цепи, если она потребляет мощность P = 144 Вт.
Решение: мощность переменного тока определяется по формуле
\[ P=I\cdot U\cdot \cos \phi, \]
где I – действующее значение силы тока (показывает амперметр), U = Um / √2 – действующее значение напряжения, Um – амплитудное значение напряжения – коэффициент перед синусом в уравнении для мгновенного значения напряжения u, т.е. Um = 180 В, cosφ – искомый коэффициент мощности цепи.
\[ \begin{array}{l} {P=I\cdot \frac{180}{\sqrt{2} } \cdot \cos \phi ,} \\ {\cos \phi =\frac{P\cdot \sqrt{2} }{180\cdot I} \cdot } \end{array} \]
Ответ: 0,8.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:52
813. При подключении первичной обмотки трансформатора к источнику переменного синусоидального напряжения во вторичной обмотке возникает ЭДС E1 = 16 В. Если к тому же источнику подключить вторичную обмотку, то в первичной возникает ЭДС E = 4 В. Найти напряжение источника. Потери энергии в трансформаторе не учитывать.
Решение: пусть n1 – число витков в первичной обмотке, n2 – число витков во вторичной обмотке трансформатора, U – действующее значение напряжения источника. Трансформатор идеальный (потерь нет) и работает в режиме холостого хода, тогда используя понятие коэффициента трансформации, составим систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{U}{E_{1} } =\frac{n_{1} }{n_{2} } ,} \\ {\frac{U}{E_{2} } =\frac{n_{2} }{n_{1}}.} \end{array}\right. \]
Перемножив уравнения, определим напряжение
\[ \begin{array}{l} {\frac{U^{2} }{E_{1} \cdot E_{2} } =1,} \\ {U=\sqrt{E_{1} \cdot E_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 8 В.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:54
815. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом  трансформации k = 10 включена в сеть с напряжением U1 = 220 В. Сопротивление вторичной обмотки r = 0,5 Ом, ток во вторичной обмотке I = 4 А. Определить напряжение U2 на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной обмотке пренебречь.
Решение: коэффициент трансформации
\[ k=\frac{U_{1} }{U} ,U=\frac{U_{1}}{k}, \]
здесь U – напряжение, которое было бы на выходе трансформатора (на вторичной обмотке, на нагрузке), если бы вторичная обмотка трансформатора не имела сопротивления r (или если бы оно было столь малым, что им можно было бы пренебречь). Но из-за наличия у вторичной обмотки сопротивления r на нагрузку «пойдёт» меньшее напряжение U2, поскольку на сопротивлении r будут иметь место потери напряжения ΔU из-за потерь энергии на джоулево тепло (нагревание проводника). Поэтому на нагрузке (на зажимах вторичной обмотки) напряжение U2 будет меньше напряжения U на величину этих потерь ΔU:
\[ U_{2} =U-\Delta U. \]
Потерю напряжения ΔU на сопротивлении r найдём, воспользовавшись законом Ома для участка цепи сопротивлением r, по которому течёт ток I:
\[ I=\frac{\Delta U}{r} ,\Delta U=I\cdot r. \]
Таким образом, напряжение на вторичной обмотке будет равно
\[ U_{2} =\frac{U_{1} }{k} -I\cdot r. \]
Ответ: 20 В.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:56
816. Электроэнергия передаётся от генератора к потребителю по проводам, общее сопротивление которых R1 = 400 Ом. Коэффициент полезного действия линии передачи η = 0,95. Определить сопротивление нагрузки, если внутреннее сопротивление генератора r = 100 Ом.
Решение: сила тока во всей последовательной линии электропередачи одинакова. Пусть она равна I. Тогда полезная мощность, которая выделяется на нагрузке сопротивлением R2, будет равна
\[ P_{2} =I^{2} \cdot R_{2}. \]
Мощность, потребляемая всей цепью (затраченная), имеющей полное сопротивление, равное сумме сопротивлений нагрузки, проводов и внутреннего сопротивления генератора, будет равна
\[ P=I^{2} \cdot \left(R_{1} +R_{2} +r\right). \]
Коэффициент полезного действия η – это отношение полезной мощности к затраченной т.е.
\[ \eta =\frac{I^{2} \cdot R_{2} }{I^{2} \cdot \left(R_{1} +R_{2} +r\right)} =\frac{R_{2} }{R_{1} +R_{2} +r}. \]
Откуда искомое сопротивление нагрузки
\[ R_{2} =\frac{\eta }{1-\eta } \cdot \left(R_{1} +r\right). \]
Ответ: 9,5 кОм.
: Re: Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
: Kivir 23 March 2013, 16:59
817. При передаче электроэнергии на большое расстояние используется трансформатор, повышающий напряжение до U = 6 ∙ 103 В и нагруженный до номинальной мощности P = 106 Вт. При этом разность показаний счётчиков электроэнергии, установленных на трансформаторной подстанции и в приёмном пункте, увеличивается ежесуточно (t = 24 ч) на ΔW = 216 кВт ∙ ч. Во сколько раз необходимо повысить напряжение в линии, чтобы при передаче потери энергии не превышали η = 0,1%?
Решениеначальная ситуация. Сила тока в линии I, которую легко определить, зная напряжение U  и мощность P.
\[ I=\frac{P}{U}. \]
Пусть сопротивление проводов линии электропередачи равно R, тогда потери мощности на их сопротивлении будут равны, с одной стороны
\[ \Delta P=I^{2} \cdot R, \]
с дугой стороны, потери можно определить, зная разность в показаниях электросчётчиков на подстанции и приёмном пункте т.е.
\[ \Delta P=\frac{\Delta W}{t}. \]
Тогда приравняв и подставив выражение для силы тока, определим сопротивление линии электропередачи
\[ \begin{array}{l} {\left(\frac{P}{U} \right)^{2} \cdot R=\frac{\Delta W}{t} ,} \\ {R=\frac{\Delta W\cdot U^{2} }{P^{2} \cdot t}.} \end{array} \]
Ситуация вторая. Напряжение повысили до значения U1. Т.к. трансформатор работает на номинальной мощности, это приведёт к уменьшению силы тока в линии до значения I1, а следовательно и уменьшаться потери. По условию задачи потери должны составить
\[ \Delta P_{1} =\frac{\eta }{100\% } \cdot P, \]
здесь P = I1U1.
С другой стороны, потери
\[ \Delta P_{1} =I_{1}^{2} \cdot R. \]
Приравняем, подставим силу тока I1 (из формулы мощности) и полученное ранее выражение для сопротивления линии R, выразим искомое отношение U1 к U
\[ \begin{array}{l} {\frac{\eta }{100\% } \cdot P=\left(\frac{P}{U_{1} } \right)^{2} \cdot \frac{\Delta W\cdot U^{2} }{P^{2} \cdot t} .} \\ {\frac{U_{1} }{U} =\sqrt{\frac{\Delta W\cdot 100\% }{\eta \cdot P\cdot t} }.} \end{array} \]
Ответ: в 3 раза.