Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => Тема начата: alsak от 29 Май 2011, 12:41

Название: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 29 Май 2011, 12:41
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

    742 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg22746.html#msg22746) 743 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40053.html#msg40053) 744 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg22756.html#msg22756) 745 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg22766.html#msg22766) 746 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg22776.html#msg22776) 747 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40054.html#msg40054) 748 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40055.html#msg40055) 749 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40122.html#msg40122)
750 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40074.html#msg40074) 751 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40075.html#msg40075) 752 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40077.html#msg40077) 753 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40076.html#msg40076) 754 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40156.html#msg40156) 755 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40155.html#msg40155) 756 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40154.html#msg40154) 757 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40153.html#msg40153) 758 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40152.html#msg40152) 759 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40151.html#msg40151)
760 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40150.html#msg40150) 761 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40136.html#msg40136) 762 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40137.html#msg40137) 763 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40135.html#msg40135) 764 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40134.html#msg40134) 765 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40133.html#msg40133) 766 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40132.html#msg40132) 767 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40123.html#msg40123) 768 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg19356.html#msg19356) 769 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40138.html#msg40138)
770 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg22616.html#msg22616) 771 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40147.html#msg40147) 772 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40148.html#msg40148) 773 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40149.html#msg40149) 774 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40168.html#msg40168) 775 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40169.html#msg40169) 776 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40170.html#msg40170) 777 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40171.html#msg40171) 778 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40172.html#msg40172) 779 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40173.html#msg40173)
780 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,5096.msg40174.html#msg40174)
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Июнь 2011, 07:54
768. Математический маятник длиной l = 50,0 см колеблется в кабине самолета. Каков период его колебаний, если самолет: а) движется равномерно; б) летит горизонтально с ускорением а = 2,50 м/с2; в) планирует вниз под углом α = 15° к горизонту?

Решение. Случай а. При равномерном движении самолета период маятника будет равен
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}, \]
Т = 1,40 с.

В случаях б-в) перейдем с систему отсчета, связанную с самолетом. В этой системе на маятник будет дополнительно действовать сила инерции Fi, направленная в противоположную сторону ускорения самолета. Период колебаний математического маятника в этом случае равен
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g*} }, \; \; \; \vec{g}*=\vec{g}+\vec{a}, \;\;\; (1) \]
где g* — эффективное ускорение, характеризующее результирующее действие силы тяжести и силы инерции, a — ускорения шарика, вызванное силой инерции. Найдем значение эффективного ускорения.

Случай б. Построим треугольник ускорений для уравнения (1) (рис. 1). Так как ускорение a направлено горизонтально, то
\[ g*=\sqrt{g^{2} +a^{2}}. \]
Тогда
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^{2} +a^{2}}}}, \]
Т = 1,38 с.

Случай в. Найдем ускорение ac, с которым планирует (выключен двигатель) самолет. На самолет действуют сила тяжести (m⋅g) и подъемная сила (N) (рис. 2). Из второго закона Ньютона:
\[ m\cdot \vec{a}_{c} =m\cdot \vec{g}+\vec{N}, \]
0X: m⋅aс = m⋅g⋅sin α,  aс = g⋅sin α. (2)

Построим треугольник ускорений для уравнения (1) (рис. 3). Из рисунка видно, что по теореме косинусов
\[ g*=\sqrt{g^{2} +a^{2} -2g\cdot a\cdot \cos \beta }, \]
где β = 90° – α, cos β = sin α, a = aс = g⋅sin α — из уравнения (2). Тогда
\[ g*=\sqrt{g^{2} +\left(g\cdot \sin \alpha \right)^{2} -2g\cdot g\cdot \sin \alpha \cdot \sin \alpha } =\sqrt{g^{2} -\left(g\cdot \sin \alpha \right)^{2} } =g\cdot \cos \alpha. \]

В итоге получаем
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g\cdot \cos \alpha } }, \]
Т = 1,43 с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 21 Сентябрь 2011, 21:38
770. Ареометр массой m состоит из закрытого стеклянного сосуда с грузом и цилиндрической трубки, площадь поперечного сечения которой равна S. Он помещён в жидкость плотностью ρ (рис 246). Ареометр погружают в жидкость немного глубже, чем это нужно для его равновесия, и затем  отпускают. Найти период свободных колебаний ареометра. Трением пренебречь.
Решение:  При погружении в жидкость немного глубже, чем это нужно для равновесия, на ареометр начинает действовать возвращающая сила и при пренебрежении трением возникнут гармонические колебания. В данном случае, это сила Архимеда, действующая на цилиндрическую трубку, которая оказалась дополнительно погружённой в жидкость. Пусть ареометр погрузили на расстояние равное x. Тогда:
F = ρ∙g∙∆V= ρ∙g∙S∙x
Именно эта сила сообщает ускорение колебательной системе. Воспользуемся вторым законом Ньютона:  F=ma,   здесь  a = ω2x  - модуль ускорения тела, совершающего гармонические колебания.
ρ∙g∙S∙x=m∙ ω2 ∙x

\[ ω =\sqrt{\frac{\rho \cdot g\cdot S\cdot x}{m\cdot x}}=\sqrt{\frac{\rho \cdot g\cdot S}{m}} \]

\[ T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho gS}} \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 25 Сентябрь 2011, 20:40
742. Тело массой m = 2,0 кг совершает гармонические колебания по закону х = 50cos(πt/3), где все величины выражены в единицах СИ. Определить максимальные значения смешения, скорости, ускорения и силы. Найти полную энергию тела.
Решение: максимальное значение смещения – это коэффициент перед косинусом в уравнении колебаний:  xmax = 50 м, т.к. косинус (синус)  принимает максимальное значение равное единице.
Проекцию скорости определим, взяв первую производную от координаты по времени (физический смысл производной):
\[ {{\upsilon }_{x}}={{\left( 50\cos \frac{\pi }{3}t \right)}^{\prime }}=-\frac{\pi }{3}\cdot 50\cdot \sin \frac{\pi }{3}t. \]
Откуда видно, что υmax=50π/3=52 м/с.
Проекцию ускорения определим, взяв производную от скорости по времени:
\[ {{a}_{x}}={{{\upsilon }'}_{x}}={{\left( -\frac{\pi }{3}\cdot 50\cdot \sin \frac{\pi }{3}t \right)}^{\prime }}=-{{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{2}}\cdot 50\cdot \cos \frac{\pi }{3}t=-{{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{2}}\cdot x. \]
Тогда: amax = (π/3)2∙xmax = 54,7 м/с2.
Максимальное значение силы определим по второму закону Ньютона:
Fmax=m∙amax.
Fmax=109,4 Н.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 25 Сентябрь 2011, 20:46
744. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного алюминиевый шарик такого же объема? Плотность меди ρ1= 8,9 ∙103 кг/м3, алюминия ρ2 = 2,7 ∙103 кг/м3.
Решение: Шарик, прикреплённый к пружине  и совершающий колебания – это пружинный маятник, период колебаний которого:
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
Массу определим через плотность и объём, подставим в формулу для периода и найдём отношение:
\[ \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{{{\rho }_{1}}\cdot V}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{{{\rho }_{2}}\cdot V}{k}}}=\sqrt{\frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}}=1,8. \]
Ответ: уменьшится в 1,8 раз.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 25 Сентябрь 2011, 20:51
745. Тело, прикрепленное к пружине, вывели из состояния равновесия и отпустили, в результате чего оно стало совершать гармонические колебания вдоль горизонтального стержня. Определить отношение кинетической энергии системы к ее потенциальной энергии по истечении времени t после начала колебаний, если их период равен Т. Массой пружины пренебречь.
Решение: Запишем уравнение гармонического колебания, учтем, что в начальный момент тело было в точке максимального смещения, поэтому удобнее воспользоваться косинусом (начальная фаза в этом случае равна нулю).
\[ x={{x}_{m}}\cos \left( \omega t \right) \]
Скорость:
\[ \upsilon  ={x}'={{\left( {{x}_{m}}\cos \omega t \right)}^{\prime }}=-\omega \cdot {{x}_{m}}\sin \omega t \]
Найдём отношение кинетической энергии системы к её потенциальной. Учтём, что циклическая частота гармонического колебания пружинного маятника:
\[ \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{k}{m}}. \]
\[ \frac{{{E}_{k}}}{{{E}_{p}}}=\frac{\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}}{\frac{k\cdot {{x}^{2}}}{2}}=\frac{m}{k}\cdot \frac{{{\left( -\omega \cdot {{x}_{m}}\sin \left( \omega t \right) \right)}^{2}}}{{{\left( {{x}_{m}}\cos \left( \omega t \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\omega }^{2}}}\cdot {{\omega }^{2}}\cdot {{tg}^{2}}\left( \omega t \right) \]
\[ \frac{{{E}_{k}}}{{{E}_{p}}}={{tg}^{2}}\left( \frac{2\pi }{T}t \right) \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 25 Сентябрь 2011, 21:09
746. Пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на x = 6,5 см. Если после этого груз оттянуть вниз, а затем отпустить, то он начнет колебаться вдоль вертикальной оси. Определить период этих колебаний.
Решение: на подвешенный груз действуют две силы: вниз - сила тяжести (mg) и вверх - сила упругости (F = k∙x), возникающая при деформации пружины. В положении равновесия эти силы равны по модулю (сумма сил, действующих на тело должна быть равна нулю).
 
mg= k∙x,  m/k = x/g.∙
тогда искомый период колебаний получившегося пружинного маятника:
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{x}{g}} \]
T = 0,5 с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djeki от 29 Январь 2013, 19:43
743. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению
 \[ x=2\cos \left( \frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{4} \right) \]
в котором все величины заданы в единицах СИ. Найти период колебаний, амплитуду и начальную фазу.
Решение
Зависимость координаты гармонически колеблющейся точки от времени описывается уравнением
x = xmcos(ωt+φ0)
где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t, xm – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота, φ0 – начальная фаза.
Сопоставляя с ним заданное уравнение, находим, что амплитуда xm = 2 м, начальная фаза φ0 = π/4.
Циклическая частота
 \[ \omega =\frac{2\cdot \pi }{T} \]
Т = 2 с
Ответ: Т = 2 с; xm = 2 м; φ0 = π/4.

Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djeki от 29 Январь 2013, 19:44
747. Шарик, подвешенный на пружине, сместили на расстояние а = 0,01 м вниз от положения равновесия и отпустили. Какой путь пройдет шарик за t = 2 с, если частота колебаний этой системы v = 5 Гц? Затуханием пренебречь.
Решение.
За одно колебание шарик пройдет путь S0 = 4·а.
Частота колебаний – количество колебаний в единицу времени
 \[ \nu =\frac{N}{t};N=\nu \cdot t \]
Тогда пройденный путь
S = S0·N = 4·a·ν·t
Ответ S = 0,4 м
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djeki от 29 Январь 2013, 19:46
748. Груз массой m = 400 г, подвешенный на пружине жесткостью k = 250 Н/м, совершает колебания с амплитудой  хm = 15 см. Найти наибольшую скорость груза.
Решение.
При колебаниях груза на пружине происходит превращение потенциальной энергии деформированной пружины в кинетическую энергию движения груза.
\[ {{E}_{p\max }}={{E}_{k\max }};\frac{k\cdot x_{m}^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{m}^{2}}{2};\upsilon =x\sqrt{\frac{k}{m}} \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djeki от 03 Февраль 2013, 18:04
750. Найти циклические частоты колебаний маятников, изображенных на рис. 244. Известно, что жесткости пружин равны k1 и k2, масса груза m. Массами пружин пренебречь.
Решение.
Рассмотрим первый рисунок. Обозначим удлинение пружин х1 и х2, х – перемещение груза. Тогда
\[ {{x}_{1}}={{x}_{2}}=x;\vec{F}={{\vec{F}}_{1}}+{{\vec{F}}_{2}} \]
И две пружины можно заменить одной пружиной жесткостью k, удлинение которой х
По закону Гука
k·x = k1·x1 + k2·x2; k = k1 + k2
Рассмотрим колебания пружинного маятника жесткостью k (см.рис.2)
В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. Тогда согласно второму закону Ньютона получим
\[ m\cdot a=k\cdot \left| {{x}_{1}}+x \right|-m\cdot g \]
Определим х1 из соображений, что в момент равновесия маятника
\[ m\cdot g=k\cdot \left| {{x}_{1}} \right|;\left| {{x}_{1}} \right|=\frac{m\cdot g}{k} \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & m\cdot a=k\cdot \left| \frac{m\cdot g}{k}+x \right|-m\cdot g=k\cdot \left| x \right| \\
 & a=-\frac{k}{m}\cdot x \\
\end{align}
 \]
Сравнивая это уравнение с уравнением колебательного движения
a = - ω2·x
Видно, что
\[ \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}{m}} \]
Во втором случае
\[ \left| {\vec{F}} \right|=\left| {{{\vec{F}}}_{1}} \right|=\left| {{{\vec{F}}}_{2}} \right|;x={{x}_{1}}+{{x}_{2}} \]
Из закона Гука
\[ x=\frac{\left| F \right|}{k};\frac{\left| F \right|}{k}=\frac{\left| {{F}_{1}} \right|}{{{k}_{1}}}+\frac{\left| {{F}_{2}} \right|}{{{k}_{2}}} \]
При таком соединении пружин общая жесткость пружин
\[ \frac{1}{k}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}};k=\frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}} \]
\[ \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{m\cdot ({{k}_{1}}+{{k}_{2}})}}

 \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djeki от 03 Февраль 2013, 18:07
751. Два математических маятника одновременно начинают колебаться. За один и тот же промежуток времени первый совершает N1 = 20, а второй -  N2 = 10 колебаний. Определить отношение длин этих маятников.
Решение.
Период колебаний – время за которое происходит одно полное колебание. Если за промежуток времени сделано N полных колебаний то период определяется по формуле
\[ T=\frac{t}{N} \]
Тогда
\[ \frac{t}{{{N}_{1}}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}};\frac{t}{{{N}_{2}}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}} \]
Возведем эти уравнения в квадрат и разделим
\[ \frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=\frac{N_{2}^{2}}{N_{1}^{2}}=\frac{1}{4} \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djeki от 03 Февраль 2013, 18:09
753. Определить длину математического маятника, если известно, что при уменьшении длины нити на Δl = 5 см частота колебаний маятника увеличивается в n = 1,5 раза.
Решение
Частота колебаний математического маятника
\[ \nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sqrt{\frac{g}{l}} \]
Согласно условию задачи
l2 = l – Δl; n·ν1 = ν2
Тогда
\[ \begin{align}
  & {{\nu }_{1}}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sqrt{\frac{g}{l}};{{\nu }_{2}}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sqrt{\frac{g}{{{l}_{2}}}} \\
 & \frac{n}{2\cdot \pi }\cdot \sqrt{\frac{g}{l}}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sqrt{\frac{g}{l-\Delta l}} \\
 & l=\frac{{{n}^{2}}\cdot \Delta l}{{{n}^{2}}-1} \\
\end{align}
 \]
l = 9·10-2 м
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: djeki от 03 Февраль 2013, 18:13
752. Положительно заряженный шарик массой m = 30 г совершал гармонические колебания над положительно заряженной бесконечной горизонтальной плоскостью. При этом сила электрического взаимодействия шарика и плоскости F = 0,10 Н, а период его колебаний Т = 2,0 с. Затем шарик перезарядили так, что его заряд стал отрицательным, но по модулю равным первоначальному. Определить период гармонических колебаний шарика в новом состоянии.
Решение.
Рассмотрим первый случай, когда шарик имеет положительный заряд. На шарик действуют сила тяжести  mg, сила натяжения нити Q и сила со стороны положительно заряженной плоскости F(см. рис.). Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).
Направим ось ОХ перпендикулярно нити (по касательной к траектории шарика)
Согласно второму закону Ньютона
m·aτ = m·g·sinα - F·sinα (1)
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l то при малых углах отклонения
\[ \sin \alpha \approx tg\alpha =\frac{\left| x \right|}{l} \]
С учетом этого выразим из уравнения (1) ускорение
\[ {{a}_{\tau }}=\frac{m\cdot g-F}{m\cdot l}\cdot \left| x \right|=-\frac{m\cdot g-F}{m\cdot l}\cdot x \]
Сравним полученное выражение с уравнением гармонических колебаний а = - ω2·х. Видно, что
\[ \begin{align}
  & {{\omega }^{2}}=\frac{m\cdot g-F}{m\cdot l};T=\frac{2\cdot \pi }{\omega } \\
 & T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m\cdot l}{m\cdot g-F}}(2) \\
\end{align}
 \]
Проведя аналогичные рассуждения для случая, когда шарик имеет отрицательный заряд найдем период колебаний Т1
\[ {{T}_{1}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m\cdot l}{m\cdot g+F}}(3) \]
Решим совместно уравнения (2) и (3)
\[ {{T}_{1}}=T\cdot \sqrt{\frac{m\cdot g-F}{m\cdot g+F}} \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 13 Февраль 2013, 20:03
749. От груза, висящего на пружине жёсткостью k, отделяется его часть массой m. На какую максимальную высоту поднимется оставшаяся часть груза? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение: пусть под действием неподвижного груза, массой M деформация (удлинение) пружины была x0, а под действием уменьшенного груза, массой M – m, удлинение стало равным x1 (см. рис.). Т.к. грузы неподвижны, то сила тяжести, действующая на груз равна по модулю силе упругости, возникающей при деформации пружины. Воспользуемся законом Гука
\[ \begin{array}{l}{Mg=kx_{0},} \\ {\left(M-m\right)g=kx_{1}.} \end{array} \]
Выразим удлинение пружины
\[ \begin{array}{l}{x_{0}=\frac{Mg}{k},}\\{x_{1}=\frac{\left(M-m\right)g}{k} .}\end{array} \]
После отделение части груза, массой m оставшийся груз станет совершать гармонические колебания относительно нового положения равновесия (уровень cd) с амплитудой A = x0x1. Максимальная высота h, на которую при этом поднимется оставшийся груз относительно уровня ab (первоначального положения более тяжёлого груза), равна удвоенной амплитуде колебаний:
\[ \begin{array}{l}{h=2A=2\cdot\left(x_{0}-x_{1}\right)=2\cdot\left(\frac{Mg}{k}-\frac{\left(M-m\right)g}{k}\right),}\\{h=\frac{2\cdot mg}{k}.} \end{array} \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 13 Февраль 2013, 20:11
767. За время t = 120 с математический маятник совершил N1 = 120 колебаний. Когда длину маятника увеличили на Δl = 74,7 см, он за то же время совершил N2 = 60 колебаний. Найти начальную длину маятника, его конечную длину и ускорение свободного падения в месте проведения опыта.
Решение: период колебаний маятника  - время одного колебания, тогда
\[ \frac{t}{N_{1}} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}},\frac{t}{N_{2}}=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l+\Delta l}{g}}, \]
где l – первоначальная длина маятника, g – ускорение свободного падения. Для нахождения длины l, возведём оба уравнения в квадрат и поделим друг на друга
\[ \begin{array}{l} {\frac{t^{2} }{N_{1}^{2} } =\frac{4\pi ^{2} \cdot l}{g} ,\frac{t^{2} }{N_{2}^{2} } =\frac{4\pi ^{2} \cdot \left(l+\Delta l\right)}{g},} \\ {\frac{N_{2}^{2} }{N_{1}^{2} } =\frac{l}{l+\Delta l} ,} \\ {l=\Delta l\cdot \frac{N_{2}^{2}}{N_{1}^{2} -N_{2}^{2}}.} \end{array} \]
Тогда конечная длина
\[
\begin{array}{l} {\frac{t^{2} }{N_{1}^{2} } =\frac{4\pi ^{2} \cdot l}{g} ,\frac{t^{2} }{N_{2}^{2} } =\frac{4\pi ^{2} \cdot \left(l+\Delta l\right)}{g} ,} \\ {\frac{N_{2}^{2} }{N_{1}^{2} } =\frac{l}{l+\Delta l} ,} \\ {l=\Delta l\cdot \frac{N_{2}^{2} }{N_{1}^{2} -N_{2}^{2} } .} \end{array}
 \]
Подставляя полученное выражение для l в любое из уравнений периода колебаний, выразим ускорение свободного падения
\[ g=\frac{4\pi ^{2} \cdot N_{1}^{2} }{t^{2} } \cdot l=\frac{4\pi ^{2} \cdot N_{1}^{2} \cdot N_{2}^{2} \cdot \Delta l}{t^{2} \cdot \left(N_{1}^{2} -N_{2}^{2} \right)}. \]
Ответ: 24,9 см, 99,6 см, 9,82 м/с2.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 18 Февраль 2013, 10:01
766. Математический маятник, состоящий из стального шарика, диаметр которого d = 4 см, и нити длиной l = 2,43 м, совершает гармонические колебания с амплитудой  xm = 10 см. Определить скорость шарика при прохождении положения равновесия и наибольшее значение возвращающей силы. Плотность стали ρ = 7,8 ∙ 103 кг/м3.
Решение: запишем уравнение гармонических колебаний
\[ x=x_{m} \cdot \cos \left(\omega t+\phi _{0} \right), \]
где x – координата (смещение от положения равновесия) тела, φ0 – начальная фаза колебаний, ω = 2π/T – циклическая частота, T – период колебаний математического маятника.
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. \]
Взяв первую производную x по времени t, определим зависимость скорости колеблющегося тела от времени
\[ \upsilon _{x} =x'=-\omega \cdot x_{m} \cdot \sin \left(\omega t+\phi _{0} \right). \]
В момент прохождения положения равновесия смещение тела x = 0. Поэтому, из уравнения колебаний,  cos(ωt + φ0) = 0 , т.е. фаза колебаний в этот момент  (ωt + φ0) = π/2. Подставим в выражение для скорости тела и определим скорость шарика (по модулю)
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{x} =-\frac{2\pi }{T} \cdot x_{m} \cdot \sin \frac{\pi }{2},} \\ {\upsilon =\upsilon _{\max } =\omega \cdot x_{m} =x_{m} \cdot \sqrt{\frac{g}{l}}.} \end{array} \]
Т.е. в момент прохождения телом положения равновесия скорость принимает максимальное значение.
Взяв вторую производную x по времени t, определим зависимость ускорения колеблющегося тела от времени
\[ a_{x} =x''=\upsilon '_{x} =-\omega ^{2} \cdot x_{m} \cdot \cos \left(\omega t+\phi _{0} \right). \]
Для нахождения максимального значения возвращающей силы воспользуемся вторым законом Ньютона
\[ F_{\max } =m\cdot a_{\max }, \]
где m – масса шарика, которую определим, зная плотность стали
\[ m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{\pi d^{3}}{6}. \]
Т.к. косинус принимает значения от  (–1 до 1), то максимальное значение модуля ускорения тела при гармонических колебаниях
\[ a_{\max } =\omega ^{2} \cdot x_{m} =\frac{g\cdot x_{m}}{l}. \]
Тогда наибольшее значение возвращающей силы
\[ F_{\max } =\rho \cdot \frac{\pi d^{3} }{6} \cdot \frac{g\cdot x_{m} }{l} =\frac{\pi \cdot \rho \cdot d^{3} \cdot g\cdot x_{m}}{6\cdot l}. \]
Ответ: 0,2 м/с,  0,1 Н.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 18 Февраль 2013, 10:03
765. Масса колеблющейся частицы m = 0,01 г, частота колебаний ν = 500 Гц, амплитуда xm = 2 мм. Определить: кинетическую энергию частицы при прохождении положения равновесия; потенциальную энергию при смещении, равном амплитуде; полную энергию частицы.
Решение: полная механическая энергия колеблющегося тела остаётся постоянной при колебаниях (сохраняется) и равна: максимальной кинетической энергии тела, либо максимальной потенциальной энергии тела, либо сумме кинетической Ek и потенциальной Ep в любой момент времени. Т.е.
\[ E=E_{k}^{\max } =E_{p}^{\max } =E_{k} +E_{p}. \]
При этом, в момент прохождения телом положения равновесия, скорость тела максимальна (см. решение задачи 766), следовательно, в этот момент тело обладает максимальной кинетической энергией.
\[ \begin{array}{l} {\upsilon =\upsilon _{\max } =\omega \cdot x_{m} =2\pi \cdot \nu \cdot x_{m} ,} \\ {E_{k}^{\max } =\frac{m\cdot \upsilon _{\max }^{2} }{2} =\frac{m\cdot 4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot x_{m}^{2} }{2} =2\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot m\cdot x_{m}^{2}.} \end{array} \]
В момент максимального отклонения от положения равновесия скорость тела рана нулю и тело обладает максимальной потенциальной энергией. Тогда полная механическая энергия
\[ E=E_{k}^{\max } =E_{p}^{\max } =2\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot m\cdot x_{m}^{2}. \]
Ответ:2 ∙ 10–4 Дж.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 18 Февраль 2013, 10:05
764. Кабина лифта, к потолку которой подвешен математический маятник длиной l = 1 м, движется с ускорением a = 2,4 м/с2, направленным вниз. Определить период колебаний маятника. В каком направлении движется лифт – вверх или вниз?
Решение: математический маятник находится в неинерциальной системе отсчёта (лифт движется с ускорением). В этом случае период колебаний маятника определяется выражением
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g^{*}}}, \]
где g* - эффективное ускорение, которое определяется следующим образом
\[ \vec{g}^{*} =\vec{g}-\vec{a}, \]
здесь a – ускорение, с которым движется система (в данном случае - лифт).
Учитывая, что ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз и ускорение лифта a направлено тоже вниз, то модуль эффективного ускорения будет равен
g* = g – a.
Таким образом, период колебаний маятника будет равен
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g-a}}. \]
При этом лифт может двигаться с возрастающей скоростью вниз, либо с убывающей скоростью вверх.
Ответ: 2,3 с (g = 9,8 м/с2).
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 18 Февраль 2013, 10:09
763. Ракета поднимается вертикально вверх с ускорением a = 3g. Сколько полных колебаний совершит помещённый в ракете маятник длиной l = 1,0 м за время, в течение которого ракета поднимется на высоту h = 1480 м? Зависимостью ускорения свободного падения от высоты пренебречь.
Решение: математический маятник находится в неинерциальной системе отсчёта. В этом случае период колебаний маятника определяется выражением
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g^{*}}}, \]
где g* - эффективное ускорение, которое определяется следующим образом
\[ \vec{g}^{*} =\vec{g}-\vec{a}, \]
здесь a – ускорение, с которым движется система.
Учитывая, что ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз и ускорение ракеты a направлено вверх, то модуль эффективного ускорения
g* = g +a = 4g.
Таким образом, период колебаний маятника будет равен
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{4g}}. \]
Cдругой стороны, период колебаний можно определить как отношение времени t за которое они были совершены к числу колебаний N
T = t/N.
Время движения ракеты определим из кинематического уравнения проекции перемещения (пройденного пути, высоты) при равноускоренном движении. Учтём, что начальная скорость ракеты была равна нулю, тогда
\[ \begin{array}{l} {h=\frac{a\cdot t^{2} }{2} ,} \\ {t=\sqrt{\frac{2h}{a} } =\sqrt{\frac{2h}{3g}}.} \end{array} \]
Таким образом
\[ \begin{array}{l} {\sqrt{\frac{2h}{3g}} \cdot \frac{1}{N} =\frac{2\pi }{1} \cdot \sqrt{\frac{l}{4g}},} \\ {N=\frac{1}{\pi } \cdot \sqrt{\frac{2h}{3l}}.} \end{array} \]
Ответ: 10 колебаний.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 18 Февраль 2013, 10:11
761. В кабине лифта находится математический маятник. Когда лифт неподвижен, период колебаний маятника T0 = 1 с. Определить модуль и направление ускорения лифта, если период колебаний в движущемся лифте T = 0,9 с.
Решение: лифт неподвижен. Период колебаний маятника
\[ T_{0} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}, \]
Лифт движется, маятник находится в неинерциальной системе отсчёта. В этом случае период колебаний маятника определяется выражением
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g^{*}}}, \]
где g* - эффективное ускорение, которое определяется следующим образом
\[ \vec{g}^{*} =\vec{g}-\vec{a}, \]
здесь a – ускорение, с которым движется  лифт. Определим его
\[ \begin{array}{l} {\frac{T_{0} }{T} =\sqrt{\frac{l}{g} \cdot \frac{g^{*} }{l}},} \\ {g^{*} =g\cdot \left(\frac{T_{0} }{T} \right)^{2}.} \end{array} \]
Т.к. T0>T, то g*>g, т.е.
g* = g + a.

Анализируя формулу для расчёта эффективного ускорения (в векторном виде), можно сделать вывод, что лифт движется с ускорением, направленным вверх (т.к. g*>g) и равным по модулю
\[ a=g^{*} -g=g\cdot \left(\frac{T_{0}}{T^{2}} ^{2} -1\right). \]
Ответ: 2,3 м/с2, направлено вверх (g = 9,81 м/с2)
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 18 Февраль 2013, 10:14
762. Период колебаний математического маятника на уровне моря T0 = 2 с. На сколько изменится период колебаний этого маятника. Если его поднять на высоту h = 10 км над уровнем моря? Радиус Земли R = 6370 км.
Решение: пусть g0 – ускорение свободного падения на уровне моря, g – ускорение свободного падения на высоте h. Их можно определить, зная радиус планеты R, массу планеты M, высоту h:
\[ \begin{array}{l} {g_{0} =G\cdot \frac{M}{R^{2} } ,g=G\cdot \frac{M}{\left(R+h\right)^{2}},} \\ {g=G\cdot \frac{M}{\left(R+h\right)^{2}} \cdot \frac{R^{2} }{R^{2} } =g_{0} \cdot \frac{R^{2} }{\left(R+h\right)^{2}},} \end{array} \]
Здесь G – гравитационная постоянная. Период колебаний маятника
\[ T_{0} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g_{0}}} ,T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}  \]
Разделим уравнения друг на друга и подставим выражение для ускорения свободного падения g
\[ \begin{array}{l} {\frac{T}{T_{0}} =\sqrt{\frac{g_{0}}{g}} =\sqrt{\frac{g_{0} \cdot \left(R+h\right)^{2} }{g_{0} \cdot R^{2} } } =\frac{R+h}{R},} \\ {T=T_{0} \cdot \frac{R+h}{R}.} \end{array} \]
Тогда искомое изменение периода колебаний
\[ \begin{array}{l} {\Delta T=T-T_{0} =T_{0} \cdot \left(\frac{R+h}{R} -1\right),} \\ {\Delta T=T_{0} \cdot \frac{h}{R}.} \end{array} \]
Ответ: 3 ∙ 10–3 с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 18 Февраль 2013, 10:17
769. Математический маятник длиной l = 1 м установлен в лифте, который поднимается с ускорением a = 2,5 м/с2, направленным вверх. Определить период колебаний маятника.
Решение: маятник находится в неинерциальной системе отсчёта. В этом случае период колебаний маятника определяется выражением
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g^{*}}}, \]
где g* - эффективное ускорение, которое определяется следующим образом
\[ \vec{g}^{*} =\vec{g}+\left(-\vec{a}\right), \]
здесь a – ускорение, с которым движется  лифт, g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения. Т.к. ускорение a направлено вверх, то модуль эффективного ускорения будет равен
g* = g + a.
Тогда период колебаний маятника
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g+a}}. \]
Ответ: 1,8 с ≈ 2 с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 19 Февраль 2013, 19:59
771. На гладком горизонтальном столе покоится брусок массой M = 20 г, прикреплённый к пружине жёсткостью k = 50 Н/м к стене (рис. 247). В брусок ударяется шарик массой m = 10 г, движущейся по столу со скоростью υ0 = 30 м/с, направленной вдоль пружины. Считая соударение шарика и бруска абсолютно упругим, найти амплитуду колебаний бруска после удара. Время удара пренебрежимо мало по сравнению с периодом колебаний.
Решение: после удара брусок начнёт двигаться с максимальной скоростью, возникнут гармонические колебания. При этом энергия колебаний будет равна кинетической энергии бруска сразу после удара.  Полная механическая энергия колеблющегося тела остаётся постоянной при колебаниях (сохраняется) и равна: максимальной кинетической энергии тела, либо максимальной потенциальной энергии тела, либо сумме кинетической Ek и потенциальной Ep в любой момент времени. Т.е.
\[ E=E_{k}^{\max } =E_{p}^{\max } =E_{k} +E_{p}. \]
Максимальная деформация пружины равна амплитуде колебаний A, тогда
\[ \begin{array}{l} {\frac{M\cdot \upsilon _{m}^{2} }{2} =\frac{k\cdot A^{2} }{2},} \\ {A=\upsilon _{m} \cdot \sqrt{\frac{M}{k}}.} \end{array} \]
Скорость движения бруска υm  сразу после столкновения сможем определить, воспользовавшись законом сохранения импульса системы «шарик - брусок», которую можно считать замкнутой (вообще-то это не так, поскольку на шарик и брусок действуют силы тяжести, реакции опоры, на брусок при столкновении начинает действовать сила упругости со стороны пружины, но считая время столкновения малым, импульсом этих сил можно пренебречь.). По закону сохранения импульса импульс шарика до попадания в брусок m∙υ0 равен суммарному импульсу бруска M∙υm и шарика  m∙υ, который отскочил от бруска в обратном направлении при упругом соударении (импульс бруска до удара равнялся нулю). В проекции на направление первоначального движения шара, закон сохранения импульса примет вид
\[ m\cdot \upsilon _{0} =M\cdot \upsilon _{m} -m\cdot \upsilon. \]
Удар упругий, поэтому потерь механической энергии нет. Воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы «шар - брусок». Т.к. удар происходит в горизонтальной плоскости, выберем этот уровень за ноль отсчета высоты тогда полная энергия системы – это кинетическая энергия шара до столкновения и кинетические энергии шара и бруска после столкновения
\[ \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} =\frac{M\cdot \upsilon _{m}^{2} }{2} +\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}. \]
Составим систему уравнений на основании законов сохранения
\[ \left\{\begin{array}{l} {m\cdot \upsilon =M\cdot \upsilon _{m} -m\cdot \upsilon _{0} ;} \\ {m\cdot \upsilon ^{2} =m\cdot \upsilon _{0}^{2} -M\cdot \upsilon _{m}^{2}.} \end{array}\right.  \]
Решим систему относительно скорости бруска υm, например, возведя первое уравнение в квадрат и разделим на второе (избавимся от скорости υ шарика после столкновения)
\[ \frac{m}{1} =\frac{\left(M\cdot \upsilon _{m} -m\cdot \upsilon _{0} \right)^{2}}{m\cdot \upsilon _{0}^{2} -M\cdot \upsilon _{m}^{2}}. \]
Раскрыв квадрат разности, и сделав математические преобразования
\[ \upsilon _{m} =\frac{2m\cdot \upsilon _{0}}{M+m} \].
Подставим в выражение для амплитуды (полученное ранее)
\[ A=\frac{2m\cdot \upsilon _{0} }{M+m} \cdot \sqrt{\frac{M}{k}}. \]
Ответ: 0,4 м.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 19 Февраль 2013, 20:09
772. В U – образную трубку, площадь поперечного сечения которой S = 10 см2, налита вода массой m = 200 г. Если воду вывести из положения равновесия (рис. 248), то она будет колебаться. Найти частоту колебаний. Плотность воды ρ = 1 ∙ 103 кг/м3.
Решение: из рисунка видно, что уровень воды в левом колене выше. Пусть разность уровней равна h. В результате под действием дополнительной силы тяжести Δmg  в левом колене (где уровень выше), вода станет совершать колебания с ускорением a. По второму закону Ньютона
\[ \Delta m\cdot g=m\cdot a, \]
здесь Δm = ρ∙ΔV – разность масс воды в обоих коленах в момент начала колебаний, ΔV = S∙h – разность объёмов. С учётом этого
\[ \Delta m=\rho \cdot S\cdot h. \]
Вода будет совершать колебания с амплитудой A = h/2 (около положения равновесия, которое находится посередине между уровнями воды в коленах). В начальный момент ускорение будет максимальным. Модуль ускорения a тела связан со смещением от положения равновесия x (в нашем случае – амплитудой колебаний A) при гармонических колебаниях следующим образом
\[ a=\omega ^{2} \cdot x=\omega ^{2} \cdot A, \]
где ω = 2π∙ν – циклическая частота, ν – искомая частота колебаний. Тогда второй закон Ньютона примет вид
\[ \begin{array}{l} {\rho \cdot S\cdot h\cdot g=m\cdot \omega ^{2} \cdot A,} \\ {\rho \cdot S\cdot g\cdot h=m\cdot 4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot \frac{h}{2} ,} \\ {\nu =\frac{1}{2\pi } \sqrt{\frac{2\rho \cdot S\cdot g}{m}}.} \end{array} \]
Ответ: 1,6 Гц ≈ 2 Гц.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 19 Февраль 2013, 20:14
773. Однородный сплошной деревянный цилиндр плавает в воде в вертикальном положении. Если цилиндр притопить и отпустить, то он будет совершать колебания, период которых T = 1 с. Определить высоту цилиндра. Плотность воды ρ1 = 1 ∙ 103 кг/м3, плотность дерева ρ2 = 0,8 ∙ 103 кг/м3. Силу трения не учитывать.
Решение:  цилиндр плавает в воде, что означает равенство сил тяжести и силы Архимеда. Если цилиндр притопить, увеличивается объём погружённой части, что приводит к увеличению выталкивающей силы на величину ΔFA. За счёт этой дополнительной силы маятник (цилиндр) приобретает максимальное ускорение am. По второму закону Ньютона
\[ \Delta F_{A} =m\cdot a_{m}, \]
здесь ΔFA = ρ1g∙ΔV – дополнительная сила Архимеда, ΔV = S∙Δh – изменение объёма погружённой части цилиндра, S – площадь сечения цилиндра, Δh – дополнительная глубина погружения, равная амплитуде колебаний A. Массу цилиндра m определим зная его плотность. Пусть h – высота цилиндра, тогда
\[ m=\rho _{2} \cdot V=\rho _{2} \cdot S\cdot h, \]
здесь учли, что объём цилиндра V = S∙h.
Модуль максимального ускорения am при гармонических колебаниях
\[ a=\omega ^{2} \cdot A=\omega ^{2} \cdot \Delta h, \]
где ω = 2π / T – циклическая частота, T – период колебаний.
Тогда второй закон Ньютона примет вид
\[ \begin{array}{l} {\rho _{1} \cdot g\cdot S\cdot \Delta h=\rho _{2} \cdot S\cdot h\cdot \frac{4\pi }{T^{2}} ^{2} \cdot \Delta h,} \\ {\rho _{1} \cdot g=\rho _{2} \cdot h\cdot \frac{4\pi ^{2}}{T^{2}},} \\ {h=\frac{\rho _{1} \cdot g\cdot T^{2}}{4\pi ^{2} \cdot \rho _{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 0,3 м.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Февраль 2013, 10:59
760. Математический маятник колеблется по закону
\[ x=x_{m} \cos (2\pi t+\phi _{0}). \]
Какова длина маятника? Величины в уравнении выражены в единицах СИ.
Решение: запишем уравнение гармонических колебаний
\[ x=x_{m} \cdot \cos \left(\omega t+\phi _{0} \right), \]
где x – координата (смещение от положения равновесия) тела, φ0 – начальная фаза колебаний, ω = 2π/T – циклическая частота, T – период колебаний математического маятника.
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. \]
Сопоставим формулу, данную в условии с уравнением колебаний в общем виде. Коэффициент перед t – циклическая частота, тогда
\[ \begin{array}{l} {\omega =2\pi ,\frac{2\pi }{T} =2\pi ,} \\ {2\pi \sqrt{\frac{l}{g} } =1,} \\ {l=\frac{g}{4\pi ^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 0,25 м.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Февраль 2013, 11:01
759. При какой скорости поезда математический маятник длиной l = 11 см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если длина рельсов L = 12,5 м?
Решение: явление резонанса, т.е. особенно сильное раскачивание маятника, при котором амплитуда его колебаний станет максимальной, наступит тогда, когда частота толчков, испытываемых поездом на стыках рельсов (вместе с поездом испытывает толчки и маятник), станет равна собственной частоте колебаний маятника. Т.к. частота – это величина, обратная периоду колебаний, то резонанс наступит в случае, когда промежуток времени от одного толчка до другого будет равен периоду собственных колебаний маятника. Время движения поезда между стыками определим зная пройденный путь L и считая движение поезда равномерным, со скоростью υ
\[ t=\frac{L}{\upsilon }. \]
Период собственных колебаний математического маятника
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. \]
Тогда при резонансе
\[ \begin{array}{l} {t=T,\frac{L}{\upsilon } =2\pi \sqrt{\frac{l}{g}},} \\ {\upsilon =\frac{L}{2\pi } \sqrt{\frac{g}{l}}.} \end{array} \]
Ответ:19 м/с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Февраль 2013, 11:04
758. Математический маятник состоит из шарика массой m = 50 г, подвешенного на нити длиной l = 1 м. Определить наименьшую силу натяжения нити, если шарик проходит через положение равновесия со скоростью υ = 1,4 м/с.
Решение: пусть максимальный угол отклонения шарика при колебаниях равен α. При этом шарик поднимется на высоту h, относительно нижней точки (положения равновесия). Как видно из рисунка, высота равна
\[ h=l-l\cdot \cos \alpha. \]
Воспользуемся законом сохранения механической энергии (за нулевой уровень возьмём положение равновесия), тогда в нижней точке – только кинетическая энергия, в верхней – только потенциальная в поле тяжести, т.е.
\[ \begin{array}{l} {E_{k} =E_{p} ,\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} =m\cdot g\cdot h,} \\ {\upsilon ^{2} =2\cdot g\cdot h=2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha ),} \\ {\cos \alpha =1-\frac{\upsilon ^{2} }{2\cdot g\cdot l}.} \end{array} \]
Для нахождения силы натяжения нити F, выберем систему отсчёта: координатную ось 0X направим вдоль нити (см. рис.). Ускорение шарика направлено по касательной к траектории (как и скорость, хотя в верхней точке скорость равна нулю). В выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось 0X равна нулю (ax = 0), следовательно, и равна нулю сумма проекций сил на данную координатную ось (из второго закона Ньютона). Проекция силы тяжести на ось равна mgx = mg∙cosα, силы натяжения равна: –F  (см. рис.). Тогда
\[ \begin{array}{l} {mg\cdot \cos \alpha -F=0,} \\ {F=mg\cdot \cos \alpha ,} \\ {F=mg\cdot \left(1-\frac{\upsilon ^{2} }{2\cdot g\cdot l} \right).} \end{array} \]
Ответ: 0,44 Н ≈ 4 ∙ 10-1Н.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Февраль 2013, 11:10
757. Шарик, имеющий массу m = 10 г и заряд q = 2 ∙ 10–4 Кл, подвешен на невесомой и нерастяжимой нити длиной l = 25 см в электрическом поле плоского горизонтального конденсатора. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 120 В, расстояние между ними d = 30 см. Чему равен период колебаний шарика на нити?
Решение: шарик на нити будем считать математическим маятником. Период колебаний такого маятника определяется по формуле Гюйгенса
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, \]
здесь g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения. Когда заряженный шарик поместили в электрическое поле конденсатора, на него помимо силы тяжести mg (направлена вертикально вниз) стала действовать сила F со стороны электрического поля. Поэтому шарик, кроме ускорения свободного падения g, приобрёл ещё и дополнительное ускорение a. Это дополнительное ускорение обусловлено силой F, действующей на заряженный шарик. По второму закону Ньютона ускорение a равно отношению силы F к массе шарика m:
\[ a=\frac{F}{m}. \]
Силу F, действующую на шарик со стороны поля плоского конденсатора, определим как произведение заряда шарика q и напряжённости E поля конденсатора
\[ F=q\cdot E. \]
Поскольку поле конденсатора однородное, то его напряжённость E связана с напряжением на обкладках U зависимостью
\[ E=\frac{U}{d}. \]
С учётом этого, ускорение будет равно
\[ a=\frac{q\cdot E}{m} =\frac{q\cdot U}{m\cdot d}. \]
Возможны две ситуации.
Ситуация 1: нижняя обкладка конденсатора заряжена отрицательно (разноимённо с шариком), тогда напряжённость поля конденсатора направлена вниз, сила F будет также направлена вниз (сонаправлена с силой тяжести) и дополнительное ускорение a в этом случае также будет направлено вниз. Тогда период колебаний шарика
\[ \begin{array}{l} {T_{1} =2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}},} \\ {T_{1} =2\pi \sqrt{\frac{l}{g+\frac{q\cdot U}{m\cdot d}}}.} \end{array} \]
Ситуация 2: нижняя обкладка конденсатора заряжена положительно (одноимённо с шариком), тогда напряжённость поля конденсатора направлена вверх, сила F будет также направлена вверх (против  силы тяжести) и дополнительное ускорение a в этом случае также будет направлено вверх. Тогда период колебаний шарика
\[ \begin{array}{l} {T_{2} =2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}},} \\ {T_{2} =2\pi \sqrt{\frac{l}{g-\frac{q\cdot U}{m\cdot d}}}.} \end{array}  \]
Ответ:T1 = 0,7 с, T2 = 2,3 с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Февраль 2013, 11:12
756. Шарик плотностью ρ1 подвешен на невесомой и нерастяжимой нити длиной l в жидкой среде, плотность которой равна ρ2. Определить период колебаний шарика. Трением пренебречь.
Решение: шарик на нити будем считать математическим маятником. Период колебаний такого маятника определяется по формуле Гюйгенса
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, \]
здесь g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения. Когда шарик поместили в жидкую среду, на него помимо силы тяжести mg, направленной вертикально вниз, стала действовать выталкивающая сила F (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Поэтому шарик, кроме ускорения свободного падения g, приобрёл ещё и дополнительное ускорение a, обусловленное силой F. По второму закону Ньютона ускорение a равно отношению силы F к массе шарика m:
\[ a=\frac{F}{m}. \]
Массу шарика определим, зная плотность материала ρ1, из которого он изготовлен. Пусть V – объём шарика, тогда
\[ m=\rho _{1} \cdot V. \]
Выталкивающую силу F определим по закону Архимеда
\[ F=\rho _{2} \cdot g\cdot V. \]
С учётом этого, дополнительное ускорение будет равно
\[ a=\frac{\rho _{2} \cdot g\cdot V}{\rho _{1} \cdot V} =g\cdot \frac{\rho _{2} }{\rho _{1}}. \]
Выталкивающая сила F направлена вверх (против  силы тяжести), дополнительное ускорение a в этом случае также будет направлено вверх. Тогда период колебаний шарика
\[ \begin{array}{l} {T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}},} \\ {T_{2} =2\pi \sqrt{\frac{l}{g\cdot \left(1-\frac{\rho _{2}}{\rho _{1}} \right)}}.} \end{array} \]
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Февраль 2013, 11:14
755. Два математических маятника с периодами колебаний T1 = 6 с и T2 = 5 с соответственно одновременно начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое наименьшее время фазы этих колебаний снова будут одинаковыми.
Решение: уравнение гармонических колебаний имеет вид
\[ x=x_{m} \cdot \cos \left(\omega t+\varphi _{0} \right), \]
где x – координата (смещение от положения равновесия) тела, xm - амплитуда колебаний, φ0 – начальная фаза колебаний, ω = 2π/T – циклическая частота, T – период колебаний математического маятника. Аргумент косинуса:  ωt + φ0 = φ – фаза колебаний в момент времени t.
Пусть в некоторый момент времени t1 фазы колебаний маятников снова будут одинаковыми, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\varphi _{1} =\varphi _{2} ,\omega _{1} \cdot t_{1} +\varphi _{01} =\omega _{2} \cdot t_{1} +\varphi _{02},} \\ {\left(\frac{2\pi }{T_{2}} -\frac{2\pi }{T_{1}} \right)\cdot t_{1} =\varphi _{01} -\varphi _{02} ,} \\ {t_{1} =\frac{\left(\varphi _{01} -\varphi _{02} \right)}{2\pi } \cdot \frac{T_{1} \cdot T_{2}}{T_{1} -T_{2}}.} \end{array} \]
Начальные фазы колебаний маятников φ01 и φ02 определим из условия, что в начальный момент времени (t0 = 0)маятники начинают колебания в одинаковых фазах, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\cos \left(\omega _{1} \cdot t_{0} +\varphi _{01} \right)=\cos \left(\omega _{2} \cdot t_{0} +\varphi _{02} \right),} \\ {\cos \left(\varphi _{01} \right)=\cos \left(\varphi _{02} \right),} \\ {\varphi _{01} =\varphi _{02} +2\pi \cdot k,} \\ {\varphi _{01} -\varphi _{02} =2\pi \cdot k.} \end{array} \]
Подставим полученное выражение в уравнение для t1, учтём, что ми-нимальное время будет при k = 1, тогда
\[ \begin{array}{l} {t_{1} =\frac{2\pi \cdot k}{2\pi } \cdot \frac{T_{1} \cdot T_{2} }{T_{1} -T_{2}},} \\ {t_{1} =\frac{T_{1} \cdot T_{2} }{T_{1} -T_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 30 с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 22 Февраль 2013, 11:16
754. Часы с маятником длиной l = 1 м за сутки (t = 24 ч) отстают на Δt = 1 ч. На сколько нужно изменить длину  маятника, чтобы часы показывали точное время.
Решение: показания часов пропорциональны числу колебаний маятника. Число колебаний, в свою очередь, пропорционально периоду колебаний.  Поэтому отставание часов Δt так относится ко всему времени колебаний маятника t, как разница между периодами колебаний маятников часов идущих неточно T и точно T0 (после коррекции), к периоду колебаний скорректированного маятника часов T0:
\[ \frac{\Delta t}{t} =\frac{T-T_{0} }{T_{0}}. \]
Часы отстают, поэтому длину маятника часов нужно уменьшить на величину Δl, в этом случае период колебаний уменьшится, и за время t маятник совершит больше колебаний (показания часов пропорциональны числу колебаний). Воспользуемся формулой Гюйгенса
\[ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} ,T_{0} =2\pi \sqrt{\frac{l-\Delta l}{g}} . \]
Подставим периоды колебаний в связь между периодами колебаний и показаниями часов, и решим полученное уравнение относительно Δl:
\[ \begin{array}{l} {\frac{\Delta t}{t} =\frac{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} -2\pi \sqrt{\frac{l-\Delta l}{g} } }{2\pi \sqrt{\frac{l-\Delta l}{g}}} =\sqrt{\frac{l}{l-\Delta l}} -1,} \\ {\left(\frac{\Delta t}{t} +1\right)^{2} =\frac{l}{l-\Delta l} ,} \\ {\Delta l=l\left(1-\frac{t^{2} }{\left(t+\Delta t\right)^{2}} \right).} \end{array} \]
Ответ: 7,84 см ≈ 8 ∙10–2 м.

Другой ответ см. здесь (http://web-physics.ru/smf/index.php/topic,5096.msg41092.html#msg41092).
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 26 Февраль 2013, 20:16
774. Скорость волны вдоль резинового шнура υ = 3 м/с при частоте ν = 2 Гц. Какова разность фаз между точками, отстоящими друг от друга на l = 75 см?
Решение: запишем уравнение бегущей волны
\[ x=A\cdot \cos \left(\omega \cdot t-k\cdot r+\phi _{0} \right), \]
здесь x – смещение от положения равновесия точки, отстоящей на расстоянии r от источника колебаний, A – амплитуда колебаний, ω = 2πν - циклическая частота, k– волновое число, φ0 – начальная фаза. Аргумент косинуса – фаза колебаний точки в момент времени t, т.е.
\[ \phi =\omega \cdot t-k\cdot r+\phi _{0}. \]
Пусть фаза колебаний первой точки φ1, второй – φ2, тогда разность фаз
\[ \Delta \phi =\phi _{1} -\phi _{2} =k\cdot \left(r_{2} -r_{1} \right)=k\cdot \Delta r. \]
Волновое число k показывает, сколько длин волн укладывается в 2π единиц длины, т.е.
\[ k=\frac{2\pi }{\lambda } =\frac{2\pi \cdot \nu }{\upsilon }, \]
здесь учли, что длина волны λ связана с частотой колебаний ν и скоростью волны υ. Тогда разность фаз колебаний двух точек волны будет равна
\[ \Delta \phi =\frac{2\pi }{\lambda } \cdot \Delta r=\frac{2\pi \cdot \nu }{\upsilon } \cdot \Delta r. \]
В нашем случае Δr = l. Получаем ответ
\[ \Delta \phi =\frac{2\pi \cdot \nu \cdot l}{\upsilon }. \]
Ответ: π рад.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 26 Февраль 2013, 20:18
775. Длина волны λ = 60 см. На каком расстоянии друг от друга находятся точки волны с противоположными фазами колебаний? На каком расстоянии находятся точки с разностью фаз Δφ = π/4?
Решение: разность фаз колебаний двух точек волны определяется выражением (см. решение задачи 774)
\[ \Delta \phi =\frac{2\pi }{\lambda } \cdot \Delta r. \]
Откуда расстояние между точками
\[ \Delta r=\frac{\Delta \phi \cdot \lambda }{2\pi}. \]
Если точки колеблются  в противофазе, это означает, что разность фаз
Δφ = π.
Тогда, после подстановки получим ответ
\[ \Delta r_{1} =\frac{\lambda }{2} ,\Delta r_{2} =\frac{\Delta \phi \cdot \lambda }{2\pi}. \]
Ответ:30 см, 7,5 см.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 26 Февраль 2013, 20:20
776. В некоторой среде распространяется волна. За время, в течение которого частица среды совершает N = 140 колебаний, волна распространяется  на расстояние l = 112 м. Найти длину волны.
Решение: пусть N колебаний совершено за время Δt, тогда период колебаний равен
\[ T=\frac{\Delta t}{N}. \]
Зная расстояние l на которое распространилась волна за время Δt, определим скорость распространения волны υ
\[ \upsilon =\frac{l}{\Delta t}. \]
Тогда длина волны λ будет равна
\[ \lambda =\upsilon \cdot T=\frac{l}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta t}{N} =\frac{l}{N}. \]
Ответ: 0,8 м.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 26 Февраль 2013, 20:21
777. Звуковая волна распространилась из воздуха в воду. Длина этой волны в воздухе λ1 = 1 м. Каковадлина звуковой волны в воде? Скорость звука в воздухе υ1 = 0,34 ∙ 103 м/с, в воде – υ2 = 1,36 ∙ 103 м/с.
Решение: при переходе волны из одной среды в другую изменяется длина волны, т.к. изменяется скорость распространения воны в среде, но частота колебаний (период) остаётся неизменной. Воспользуемся связью между длиной волны λ, скоростью волны υ и частотой ν
\[ \lambda =\frac{\upsilon }{\nu } ,\nu =\frac{\upsilon }{\lambda }. \]
Тогда для воздуха и воды, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{\upsilon _{1} }{\lambda _{1} } =\frac{\upsilon _{2} }{\lambda _{2} } ,} \\ {\lambda _{2} =\lambda _{1} \cdot \frac{\upsilon _{2} }{\upsilon _{1}}.} \end{array} \]
Ответ:4 м.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 26 Февраль 2013, 20:23
778. Имеются два когерентных источника звука. В точке, отстоящей от первого источника на l1 = 2,3 м, а от второго на l2 = 2,48 м, звук не слышен. Минимальная частота колебаний, при которой это возможно, ν = 1 кГц. Найти скорость звука.
Решение: если две когерентные волны приходят в одну точку пространства, то произойдёт сложение волн(явление интерференции), в результате которого произойдёт усиление или ослабление звука. По условию, звук не слышен. Запишем условие минимума интерференции: разность хода волн равна нечётному числу полуволн, т.е.
\[ l_{2} -l_{1} =\left(2k+1\right)\cdot \frac{\lambda }{2}, \]
здесь k – натуральное число (по условию частота минимальная, поэтому k = 0), λ – длина звуковой волны, которая связана со скоростью волны υ и частотой ν следующим образом
\[ \lambda =\frac{\upsilon }{\nu }. \]
Тогда из условия минимума получим
\[ \begin{array}{l} {l_{2} -l_{1} =\left(2k+1\right)\cdot \frac{\upsilon }{2\nu },} \\ {\upsilon =\frac{2\nu \cdot \left(l_{2} -l_{1} \right)}{\left(2k+1\right)} =2\nu \cdot \left(l_{2} -l_{1} \right).} \end{array} \]
Ответ: 360 м/с.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 26 Февраль 2013, 20:24
779. Дорожный мастер, приложив ухо к рельсу, услышал звук начавшегося движения поезда, а через t = 2 сдо него донёсся гудок локомотива при отправлении. На каком расстоянии от станции отправления находился мастер? Скорости звуковых волн в воздухе и стали принять равными υ1 = 330 м/с и υ2 = 5000 м/с соответственно.
Решение: пусть расстояние до станции равно l, а время распространения звука в стали Δt, тогда в воздухе Δt + t, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\Delta t+t=\frac{l}{\upsilon _{1} } ,\Delta t=\frac{l}{\upsilon _{2} } ,} \\ {\frac{l}{\upsilon _{2} } +t=\frac{l}{\upsilon _{1} } ,t=l\cdot \left(\frac{1}{\upsilon _{1} } -\frac{1}{\upsilon _{2} } \right),} \\ {l=t\cdot \frac{\upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} }{\upsilon _{2} -\upsilon _{1}}.} \end{array} \]
Ответ:706 м.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 26 Февраль 2013, 20:26
780. Из пункта A в пункт В дважды был послан звуковой сигнал, частота которого ν = 50 Гц, причём в первый раз скорость звука была υ1 = 330 м/с. Во второй раз температура воздуха была выше, поэтому скорость звука повысилась и стала равной υ2 = 340 м/с. Число волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, во второй раз оказалось, как и в первый, целым, но на две волны меньше. Определить расстояние между пунктами.
Решение: длина звуковой волны λ, связана со скоростью волны υ и частотой ν следующим образом
\[ \lambda =\frac{\upsilon }{\nu }. \]
Число волн определим из следующих соображений: т.к. это число целое, то разделив расстояние l между пунктами (его необходимо найти) на длину звуковой волны мы найдём число волн. Разность числа волн в первом и втором случае равна двум, тогда
\[ \begin{array}{l} {\frac{l}{\lambda _{1} } -\frac{l}{\lambda _{2} } =2,} \\ {l\cdot \nu \left(\frac{1}{\upsilon _{1} } -\frac{1}{\upsilon _{2} } \right)=2,} \\ {l=\frac{2\cdot \upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} }{\nu \cdot \left(\upsilon _{2} -\upsilon _{1} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 448,8 ≈ 4,5 ∙ 102 м.
Название: Re: Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 01 Январь 2014, 18:11
754. ...
Решение: показания часов пропорциональны числу колебаний маятника. Число колебаний, в свою очередь, пропорционально периоду колебаний.

Здесь ошибка. Число колебаний обратно пропорционально периоду колебаний. Но что интересно, с неправильным решением получен такой же ответ, как и в книге.

Мой ответ:
\[\Delta l=l \cdot \left(1-\left(1-\frac{\Delta t}{t} \right)^{2} \right)=\frac{\Delta t}{t} \cdot l \cdot \left(2-\frac{\Delta t}{t} \right),\]
Δl = 8,2∙10–2 м.