Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => Тема начата: alsak от 01 Май 2011, 08:20

Название: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 01 Май 2011, 08:20
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

340 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19596.html#msg19596) 341 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19606.html#msg19606) 342 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19616.html#msg19616) 343 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19626.html#msg19626) 344 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19656.html#msg19656) 345 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19706.html#msg19706) 346 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg18046.html#msg18046) 347 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19786.html#msg19786) 348 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19796.html#msg19796) 349 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19906.html#msg19906)
350 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg18056.html#msg18056) 351 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg19946.html#msg19946) 352 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20046.html#msg20046) 353 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20076.html#msg20076) 354 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20106.html#msg20106) 355 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg40480.html#msg40480) 356 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg40481.html#msg40481) 357 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg40482.html#msg40482) 358 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg40483.html#msg40483) 359 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg18066.html#msg18066)
360 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20116.html#msg20116) 361 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20126.html#msg20126) 362 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20136.html#msg20136) 363 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20146.html#msg20146) 364 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20206.html#msg20206) 365 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20216.html#msg20216) 366 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20226.html#msg20226) 367 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20236.html#msg20236) 368 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20256.html#msg20256) 369 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20276.html#msg20276)
370 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20286.html#msg20286) 371 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20296.html#msg20296) 372 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20316.html#msg20316) 373 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg40484.html#msg40484) 374 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20326.html#msg20326) 375 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg27325.html#msg27325) 376 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20396.html#msg20396) 377 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20406.html#msg20406) 378 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg18086.html#msg18086) 379 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20446.html#msg20446)
380 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20476.html#msg20476) 381 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20596.html#msg20596) 382 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg20676.html#msg20676) 383 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4726.msg18096.html#msg18096)            
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 31 Май 2011, 13:00
346. Аквариум доверху наполнен водой. С какой средней силой давит вода на плоскую вертикальную стенку аквариума длиной l = 50 см и высотой h = 30 см? Плотность воды равна 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Средняя сила давления на стенку равна
 
\[ \left \langle F \right \rangle = \frac{p_{A} +p_{B}}{2} \cdot S, \]

где рА = 0 — гидростатическое давление на поверхности воды (в точке А), pB = ρ⋅g⋅h — гидростатическое давление жидкости на глубине h (в точке В) (рис. 1), S = l⋅h — площадь стенки. Тогда
 
\[ \left \langle F \right \rangle = \frac{p_{B}}{2} \cdot S = \frac{\rho \cdot g \cdot h}{2} \cdot l \cdot h = \frac{\rho \cdot g \cdot l \cdot h^{2}}{2}, \]

<F> = 225 Н.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 31 Май 2011, 13:07
350. Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, погрузившись ровно наполовину. Найти объем полости шара, если масса шара m = 5 кг. Плотность чугуна ρ1 = 7,8⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. Условие плавания шара (рис. 1):

FA = m⋅g,

где FA = ρ2g⋅Vp — архимедова сила, Vp = V/2 — объем погруженной части шара. Объем шара

V = V1 + V2,

где V1 = m1 — объем чугуна, V2 — объем полости. Тогда
 
\[ \rho _{2} \cdot g \cdot \frac{V}{2} = m \cdot g, \, \; \, V = \frac{2m}{\rho _{2}}, \; \; \; V_{2} = V-V_{1} = \frac{2m}{\rho _{2}} -\frac{m}{\rho _{1}} = m \cdot \left(\frac{2}{\rho _{2}} -\frac{1}{\rho _{1}} \right), \]

V2 = 9,4⋅10–3 м3.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 01 Июнь 2011, 17:49
359. Металлический брусок плавает в сосуде, в который налита ртуть, а поверх нее — вода. При этом в ртуть брусок погружен на α1 = 1/4 своей высоты, а в воду — на α2 = 1/2 высоты. Найти плотность металла. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. Условие плавания бруска:

FA1 + FA2 = m⋅g, (1)

где FA1 = ρ1g⋅V1 — архимедова сила со стороны ртути, FA2 = ρ2g⋅V2 — архимедова сила со стороны воды, m = ρ⋅V  — масса бруска.
Обозначим площадь основания бруска S, высоту — h (рис. 1). Тогда

V1 = S⋅h1 = α1S⋅hV2 = S⋅h2 = α2S⋅h,  V = S⋅h.

После подстановки в (1) получим

ρ1g⋅V1 + ρ2g⋅V2 = ρ⋅V⋅g,  ρ1V1 + ρ2V2 = ρ⋅V,

α1⋅ρ1h + α1⋅ρ2h = ρ⋅h,  ρ = α1⋅ρ1 + α2⋅ρ2,

ρ = 3,9⋅103 кг/м3.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 02 Июнь 2011, 17:36
378. Однородная прямая призма, площадь основания которой S = 1 м2 и высота h = 0,4 м, плавает на поверхности воды так, что в воде находится половина ее объема. Найти минимальную работу, необходимую для полного погружения призмы в воду. Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. При равномерном погружении призмы в воду будет увеличиваться архимедова сила, следовательно, должна изменяться и сила F, работу которой мы должны найти. Определим от каких параметров зависит эта сила F.
На призму действуют сила тяжести (m⋅g), архимедова сила (FA) и внешняя сила (F).
В начальный момент времени на призму еще не действует внешняя сила F (рис. 1):

m⋅g = FA1,

где FA1 = ρ⋅g⋅V1 = ρ⋅g⋅S⋅h1 = ρ⋅g⋅S⋅h/2. Тогда

m⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h/2. (1)

В конечный момент времени, когда призма полностью в воде, внешняя сила F достигает максимального значения F2 (рис. 2):

0 = –m⋅g – F2 + FA2,

где FA2 = ρ⋅g⋅V = ρ⋅g⋅S⋅h. Тогда с учетом уравнения (1) получаем

F2 = FA2m⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h – ρ⋅g⋅S⋅h/2 = ρ⋅g⋅S⋅h/2. (2)

Используя уравнение (2), построим график зависимости внешней силы F от глубины h (рис. 3). Работу этой силы можно найти графическим способом: работа силы F численно равна площади заштрихованной фигуры (треугольника)
 
\[ A = \frac{F_{2} \cdot \left(h-h_{1} \right)}{2} = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot g \cdot S \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{h}{2} = \rho \cdot g \cdot S \cdot \frac{h^{2}}{8}, \]

A = 2⋅102 Дж.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 03 Июнь 2011, 11:38
383. Резиновый мяч, масса которого m и радиус R, погружают под воду на глубину h и отпускают. На какую высоту, считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч? Плотность воды ρ. Сопротивление воды и воздуха при движении не учитывать.

Решение. Можно решать задачу, используя метод решения, предложенный в задаче 378 (http://www.web-physics.ru/smf/index.php/topic,4726.msg18086.html#msg18086), но будет математически сложно рассчитать работу архимедовой силы за промежуток времени, когда мяч начинает выходить из воды (объем, а значит и архимедова сила, не линейно изменяются от глубины погружения).
Поэтому воспользуемся другим методом: рассмотрим потенциальную энергию водяного шарика радиуса R, который заполнит то место, где был вначале мяч. То есть будет рассматривать энергию системы мяч-водяной шарик.
За нулевую высоту примем поверхность воды (рис. 1).
Полная механическая энергия системы в начальном состоянии

W0 = –m⋅g⋅h

(водяной шарик вначале был распределен по поверхности воды и его энергия равна нулю).

Полная механическая энергия системы в конечном состоянии

W = m⋅g⋅H – m2g⋅h,

где \[ m_{2} = \rho \cdot V = \frac{4}{3} \pi \cdot R^{3} \cdot \rho \]  — масса водяного шарика. Из закона сохранения механической энергии следует, что

m⋅g⋅h = m⋅g⋅H – m2g⋅h,

\[ H = \frac{\left(m_{2} -m\right) \cdot h}{m} = \left(\frac{m_{2} }{m} -1\right) \cdot h = \left(\frac{4\pi }{3m} \cdot R^{3} \cdot \rho -1 \right) \cdot h.
 \]
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 07 Июль 2011, 17:21
340. Длинная вертикальная трубка погружена одним концом в сосуд с ртутью. В трубку наливают m = 0,71 кг воды. Определить изменение уровня ртути в трубке. Диаметр трубки d = 0,06 м, плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3. Толщиной стенок трубки пренебречь.

Решение. Когда трубка была в ртути без воды, то уровень ртути внутри трубки равен уровню ртути снаружи (рис. 1, а). Под давления воды в трубке ртуть опускается вниз на Δh (рис. 1, б). Найдем эту высоту Δh.
Рассмотрим давление в точке A. Сверху в данной точке давит вода (pv) и атмосфера (pa), снизу — ртуть (pp) и атмосфера (pa). Так как жидкость не движется, то

pv + pa = pp +pa,

где  \[ p_{v} =\frac{m\cdot g}{S}, \; \; \; S=\frac{\pi \cdot d^{2} }{4}, \] pp = ρ⋅g⋅Δh. Тогда
 
\[ \frac{4m\cdot g}{\pi \cdot d^{2} } =\rho \cdot g\cdot \Delta h, \; \; \; \Delta h=\frac{4m}{\rho \cdot \pi \cdot d^{2} }, \]

Δh = 1,8⋅10–2 м.

Примечание. Данное решение верно только для случая, когда площадь поверхности сосуда во много раз больше площади поперечного сечения трубки, т.е. трубку считаем тонкой. Иначе пришлось бы учитывать изменение высоты ртути вне трубки (но для этого нужно знать площадь поперечного сечения сосуда).
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Июль 2011, 12:27
341. В подводной части судна образовалось отверстие, площадь которого S = 5,0 см2. Отверстие находится ниже уровня воды на h = 3,0 м. Какая минимальная сила требуется, чтобы удержать заплату, закрывающую отверстие с внутренней стороны судна? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Что бы удержать заплату, надо к ней приложить силу, не меньшую чем сила давления воды:

Fp⋅S,

где p = ρ⋅g⋅h — гидростатическое давление воды на глубине h. Тогда

Fmin = ρ⋅g⋅h⋅S,
Fmin = 15 Н.

Примечание. Так размеры отверстия во много раз меньше глубины погружения, то изменением давления на разных участках отверстия пренебрегаем.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 08 Июль 2011, 12:29
342. На какой глубине в открытом водоеме давление в n = 3,0 раза больше нормального атмосферного давления? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3, нормальное атмосферное давление p0 считать равным 1,0⋅105 Па.

Решение. На глубине открытого водоема давление равно

p = ρ⋅g⋅h + p0,

где p = n⋅p0 (по условию). Тогда
 
\[ n\cdot p_{0} =\rho \cdot g\cdot h+p_{0}, \; \; \; \rho \cdot g\cdot h=\left(n-1\right)\cdot p_{0}, \; \; \; h=\frac{\left(n-1\right)\cdot p_{0} }{\rho \cdot g}, \]

h = 20 м.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 09 Июль 2011, 12:35
343. В открытый цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода в равных по массе количествах. Общая высота двух слоев жидкостей h = 29,2 см. Определить давление жидкостей на дно сосуда. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,00⋅103 кг/м3.

Решение. Давление жидкостей на дно сосуда будет равно

p = p1 + p2, (1)

где p1 = ρ1g⋅h1 — давление ртути, p2 = ρ2g⋅h2 — давление воды.
Найдем высоту столбца каждой жидкости h1 и h2. Пусть S — площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда, тогда массы жидкостей будут равны

m1 = ρ1V = ρ1S⋅h1, m2 = ρ2S⋅h2.
По условию
m1 = m2 и h1 = h2.
Тогда
ρ1S⋅h1 = ρ2S⋅h2 или ρ1h1 = ρ2h2,

\[ h_{1} =\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \cdot h_{2}, \; \; \; h=\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \cdot h_{2} +h_{2} =\frac{\rho _{2} +\rho _{1} }{\rho _{1} } \cdot h_{2}, \]
\[ h_{1} =\frac{\rho _{2} }{\rho _{2} +\rho _{1} } \cdot h. \]

После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[ p=\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{\rho _{2} }{\rho _{2} +\rho _{1} } \cdot h+\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{\rho _{1} }{\rho _{2} +\rho _{1} } \cdot h=\frac{2\rho _{1} \cdot \rho _{2} }{\rho _{2} +\rho _{1} } \cdot g\cdot h, \]

p = 5,44⋅103 Па.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 10 Июль 2011, 10:35
344. Открытую с обеих сторон узкую цилиндрическую трубку длиной l = 80 см до половины погружают вертикально в ртуть. Затем закрывают верхнее отверстие в трубке и вынимают ее из ртути. При этом в трубке остается столбик ртути высотой h = 22 см. Чему равно атмосферное давление? Плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3.

Решение. На столбик ртуть высотой h в нижней точке трубки, которую вынули из сосуда с ртутью, действуют сила давления воздуха в трубке (Fv), сила давления столбика ртути (Fp) и сила атмосферного давления (Fa). Так как ртуть не выливается, то

Fa = Fv + Fp,

где Fa = pa⋅S, pa — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, Fv = pv⋅S, pv — давление воздуха в трубке, Fp = pp⋅S, pp = ρ⋅g⋅h —давление столбика ртути. Тогда

pa⋅S = pv⋅S + ρ⋅g⋅h⋅S или pa = pv + ρ⋅g⋅h. (1)

Найдем давление воздуха в трубке. Будем считать, что температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка открыта и вставлена в сосуд с ртутью) и для второго (трубку закрыли и вынули из сосуда с ртутью)  уравнение  изотермического процесса:

p1V1 = p2V2,

где p1 = pa — давление воздуха в первом случае, V1 = S⋅l1, l1 = l/2 (трубка до половины погружена в ртуть), p2 = pv, V2 = S⋅l2, l2 = l – h. Тогда
 
\[ p_{a} \cdot S\cdot \frac{l}{2} = p_{v} \cdot S\cdot \left(l-h\right), \; \; \; p_{v} =\frac{p_{a} \cdot l}{2\cdot \left(l-h\right)}.\;\;\; (2) \]

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 
\[ p_{a} =\frac{p_{a} \cdot l}{2\cdot \left(l-h\right)} +\rho \cdot g\cdot h, \; \; \; p_{a} \cdot \frac{l-2h}{2\cdot \left(l-h\right)} =\rho \cdot g\cdot h, \; \; \; p_{a} =\frac{2\rho \cdot g\cdot h}{l-2h} \cdot \left(l-h\right), \]

рa = 9,6⋅104 Па.

Примечание. В задаче необходимо указать, что температура в трубке не изменяется. Иначе не хватает данных для решения.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 11 Июль 2011, 08:18
345. Цилиндрическая трубка с запаянным верхним концом опускается вертикально в ртуть так, что запаянный конец совпадает с поверхностью ртути в сосуде. При этом высота воздушного столба в трубке равна h. Определить длину трубки. Атмосферное давление равно pa, плотность ртути ρ. Температуру считать постоянной.

Решение. В трубке в точке на границе воздух-ртуть действуют сила давления воздуха в трубке (Fv), сила давления ртути на глубине h (Fp) и сила атмосферного давления (это давление передается через ртуть) (Fa). Так как ртуть не движется, то

Fv = Fp + Fa,

где Fa = pa⋅S, pa — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, Fv = pv⋅S, pv — давление воздуха в трубке, Fp = pp⋅S, pp = ρ⋅g⋅h —давление ртути на глубине h. Тогда

pv⋅S = ρ⋅g⋅h⋅S + pa⋅S или pv = ρ⋅g⋅h + pa. (1)

По условию температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка в воздухе) и для второго (трубку вставили в сосуд с ртутью) уравнение  изотермического процесса:

p1V1 = p2V2,

где p1 = pa — давление воздуха в первом случае, V1 = S⋅l1, l1 = l (воздух заполняет всю трубку), p2 = pv, V2 = S⋅l2, l2 = h. Тогда

pa⋅S⋅l = pv⋅S⋅h, pa⋅l = pv⋅h. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 
\[ l=\frac{p_{v} \cdot h}{p_{a} } =\frac{\left(\rho \cdot g\cdot h+p_{a} \right)\cdot h}{p_{a} } =\frac{\rho \cdot g\cdot h^{2} }{p_{a} } +h. \]
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 13 Июль 2011, 08:14
347. Снаряд массой m = 8,0 кг вылетает из ствола орудия со скоростью υ = 700 м/с. Определить давление пороховых газов во время выстрела, считая движение снаряда внутри ствола равноускоренным. Сила сопротивления движению снаряда Fc = 16,2 кН, длина нарезной части ствола l = 3,0 м, диаметр d = 77 мм.

Решение. На снаряд действуют сила давления пороховых газов (Fd) и сила сопротивления движению снаряда (Fc) (рис. 1). Эти силы во много раз больше остальных сил (силы тяжести, силы реакции опоры), которыми мы пренебрегаем. Запишем проекцию второго закона Ньютона:

0X: m⋅a  = Fd – Fc, (1)

где Fd = p⋅S, S = π⋅d2/4.

Найдем ускорение снаряда через следующую формулу кинематики:
 
\[ \Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0x}^{2} }{2a_{x}}, \]

где Δrх = l (для снаряда длина орудия – это его перемещение), υx = υ (скорость вылета снаряда из ствола — это конечная скорость), υ0 = 0, ax = a (см. рис. 1). Тогда
 
\[ l=\frac{\upsilon ^{2} }{2a} ,\; \; \; a=\frac{\upsilon ^{2} }{2l}. \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1):
 
\[ m\cdot \frac{\upsilon _{}^{2} }{2l} =p\cdot \frac{\pi \cdot d^{2} }{4} -F_{c}, \; \; \; p=\left(m\cdot \frac{\upsilon _{}^{2} }{2l} +F_{c} \right)\cdot \frac{4}{\pi \cdot d^{2}}, \]

p = 1,4∙108 Па.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 13 Июль 2011, 08:57
348. Дубовый шар лежит на дне сосуда с водой, причем половина его находится в воде. С какой силой давит на дно сосуда шар, если в воздухе он весит Р = 5,9 Н? Плотность дуба ρ1 = 0,8⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.

Решение. Вес в воздухе неподвижного тела без учета выталкивающей силы равен

P = m⋅g. (1)

На шар в воде действуют сила тяжести (m⋅g), Архимедова сила (FA) и сила реакции опоры (N) (рис. 1). Так как шар неподвижен, то

N + FA = m⋅g,

где FA = ρ2g⋅Vp,  \[ V_p = \frac{V}{2} = \frac{m}{2\rho _{1}} \] — объем погруженной в воду части шара.
Сила Fd, с которой шар давит на дно, по третьему закону Ньютона, численно равна силе N, с которой дно давит на шар, т.е. Fd = N. С учетом уравнения (1) получаем:
 
\[ F_{d} = m\cdot g-F_{A} =m\cdot g-\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{2\rho _{1} } =P \cdot \left(1-\frac{\rho _{2} }{2\rho _{1} } \right), \]

Fd = 2 Н.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 14 Июль 2011, 16:35
349. В воздухе вес кипы хлопка Р = 1519 Н. Определить вес этой кипы в вакууме, если плотность хлопка в кипе ρ1 = 800,0 кг/м3, а плотность воздуха ρ2 = 1,225 кг/м3. Взвешивание производилось с помощью пружинных весов.

Решение. Вес неподвижного тела в вакууме равен

Pv = m⋅g,

вес тела на пружинных весах — P = Fy, где Fy — сила упругости пружины.
На кипу хлопка на весах в воздухе действуют сила тяжести (m⋅g), архимедова сила (FA) и сила упругости пружины (Fy) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
 
\[ \vec{F}_{A} +m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{y} =0, \]

0Y: FA – m⋅g + Fy = 0,

где FA = ρ2g⋅V, V = m1 — объем кипы хлопка. Тогда
 
\[ \rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1} } -m\cdot g+P=0, \; \; \; m\cdot g\cdot \frac{\rho _{1} -\rho _{2} }{\rho _{1}} =P, \; \; \; P_{v} =m\cdot g=\frac{\rho _{1} }{\rho _{1} -\rho _{2} } \cdot P, \]

Pv = 1521 Н.

Примечание. На мой взгляд, не совсем удачно подобраны значения в условии этой задачи. В школьном курсе физики архимедовой силой мы обычно пренебрегаем, если плотность тела во много раз больше плотности окружающей среды. А здесь, несмотря на то, что плотность хлопка в 650 раз больше плотности воздуха, мы вынуждены учитывать эту силу.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 15 Июль 2011, 09:09
351. В воздухе вес куска пробки Р1 = 0,15 Н, куска свинца Р2 = 1,1 Н. Если эти куски связать, подвесить к динамометру и опустить в керосин, то динамометр покажет Р3 = 0,6 Н. Определить плотность ρ1 пробки. Плотность свинца ρ2 = 11,3⋅103 кг/м3, керосина ρ3 = 0,8⋅103 кг/м3. Архимедовой силой в воздухе пренебречь.

Решение. Вес неподвижного тела в воздухе (без учета архимедовой силы) равен

P1 = m1g, P2 = m2g, (1)

показания динамометра — это сила упругости пружины динамометра, т.е.

P3 = Fy. (2)

На связанные тела, которые подвесили к динамометру и опустили в керосин, действуют силы тяжести (m1g и m2g), архимедовы сила (FA1 и FA2) и сила упругости пружины динамометра (Fy) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
\[ \vec{F}_{A1} +m_{1} \cdot \vec{g}+\vec{F}_{A2} +m_{2} \cdot \vec{g}+\vec{F}_{y} =0, \]

0Y: FA1m1g + FA2m2g + Fy = 0,

где FA1 = ρ3g⋅V1, FA2 = ρ3g⋅V2, V1 = m11, V2 = m22 — объемы пробки и свинца. Тогда с учетом уравнений (1) и (2) получаем
\[ \rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{1} }{\rho _{1} } -m_{1} \cdot g+\rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{2} }{\rho _{2} } -m_{2} \cdot g+F_{y} =0, \]
\[ \frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \cdot P_{1} -P_{1} +\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \cdot P_{2} -P_{2} +P_{3} =0, \]
\[ \frac{\rho _{3} \cdot P_{1} }{\rho _{1} } =P_{1} +P_{2} -P_{3} -\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \cdot P_{2} =\frac{1}{\rho _{2} } \cdot \left(\rho _{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} -P_{3} \right)-\rho _{3} \cdot P_{2} \right), \]
\[ \rho _{1} =\frac{\rho _{3} \cdot \rho _{2} \cdot P_{1} }{\rho _{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} -P_{3} \right)-\rho _{3} \cdot P_{2} }, \]

ρ1 = 210 кг/м3.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 16 Июль 2011, 12:19
352. Высота плоской льдины над уровнем океана h = 2,0 м. Определить толщину всей льдины, если плотность льда ρ1 = 0,90⋅103 кг/м3, океанской воды ρ2 = 1,03⋅103 кг/м3.

Решение. На льдину в воде действуют сила тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA) (рис. 1). Так как льдина плавает в воде, то

m⋅g = FA,

где m = ρ1V, FA = ρ2g⋅V1, V = S⋅H — объем всей льдины, V1 = S⋅(H – h) — объем льдины, погруженной в воду (см. рис. 1), S — площадь поперечного сечения льдины. Тогда

ρ1S⋅H⋅g = ρ2g⋅S⋅(H – h), ρ1H = ρ2⋅(H – h),
 
\[ H\cdot \left(\rho _{2} -\rho _{1} \right)=\rho _{2} \cdot h, \; \; \; H=\frac{\rho _{2} \cdot h}{\rho _{2} -\rho _{1}}, \]

H = 16 м.

Примечание. Необходимо учесть, что площади поперечного сечения льдины в воде и над водой равны.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 21 Июль 2011, 08:30
353. Найти минимальную массу груза, который нужно положить на плоскую льдину, чтобы она полностью погрузилась в воду. Площадь льдины S = 1 м2, ее толщина d = 20 см, плотность льда ρ1 = 0,92⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Пусть масса груза, при котором льдина полностью погрузилась в воду, но еще не тонет, будет равна m2 (это и будет минимальная масса, т.к. если массу груза увеличить, льдина начнет тонуть). На льдину в воде действуют сила тяжести льдины (m1g), архимедова сила (FA) и вес груза (m2g) (рис. 1). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
 
\[ \vec{F}_{A} +m_{1} \cdot \vec{g}+m_{2} \cdot \vec{g}=0  \]

или в проекции на вертикальную ось

FA – m1g – m2g = 0,

где m1 = ρ1V, FA = ρ2g⋅V, V = S⋅d — объем всей льдины. Тогда

ρ2g⋅S⋅d – ρ1S⋅d⋅gm2g = 0,

m2 = ρ2S⋅d – ρ1S⋅d = (ρ2 – ρ1)⋅S⋅d,
m2 = 16 кг.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 22 Июль 2011, 08:55
354. Каким должен быть минимальный объем полости Vn железного буя для того, чтобы он мог плавать на поверхности воды? Объем буя V, плотность железа ρ1, плотность воды ρ2.

Решение. На железный буй в воде действуют сила тяжести буя (m1g) и архимедова сила (FA) (силой тяжести воздуха в полости буя пренебрегаем). Так как FA = ρ2g⋅V2, где V2 — объем части буя, погруженной в воду. Так как плотность железа больше плотности воды, то без воздушной полости буй утонет. По мере увеличения воздушной полости внутри буя, будет увеличиваться общий объем буя, и будет увеличиваться архимедова сила. При некотором минимальном объеме полости Vn буй начнет всплывать и достигнет поверхности воды (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для этого момента
 
\[ \vec{F}_{A} +m_{1} \cdot \vec{g}=0 \]

или в проекции на вертикальную ось

FA – m1g = 0,

где m1 = ρ1V1, FA = ρ2g⋅V, V1 = V – Vn — объем железа. Тогда

ρ2g⋅V – ρ1⋅(V – Vn)⋅g = 0,

\[ V-V_{n} =\frac{\rho _{2} \cdot V}{\rho _{1}}, \; \; \; V_{n} =V\cdot \left(1-\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \right). \]

Примечание. Считаю, что в условии надо добавить, что полость воздушная, т.е. заполнена воздухом.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 23 Июль 2011, 08:46
360. Плавающее в ртути тело погружено в нее на n1 = 0,25 своего объема. Какая часть n2 объема тела будет погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий тело? Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. 1 случай: тело погружено только в ртуть. На тело действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA1) (рис. 1). Запишем условие плавания тела:

FA1 = m⋅g, (1)

где FA1 = ρ1g⋅V1, V1 = n1V, V1 — объем погруженной в ртуть части тела, V — объем всего тела.

2 случай: тело погружено в ртуть и воду. На тело действуют силы тяжести (m⋅g), архимедова сила со стороны ртути (FA2) и архимедова сила со стороны воды (FA3) (рис. 2). Запишем условие плавания тела:

FA2 + FA3 = m⋅g, (2)

где FA2 = ρ1g⋅V2, FA3 = ρ2g⋅V3, V2 = n2V, V2 — объем погруженной в ртуть части тела, V3 = V – V2 = V⋅(1 – n2) — объем погруженной в воду части тела.

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

FA1 = FA2 + FA3,  ρ1g⋅n1V = ρ1g⋅n2V + ρ2g⋅V⋅(1 – n2),

ρ1n1 = ρ1n2 + ρ2⋅(1 – n2),

\[ n_{2} \cdot \left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)=\rho _{1} \cdot n_{1} -\rho _{2}, \; \; \; n_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot n_{1} -\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

n2 = 0,19.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 23 Июль 2011, 17:47
361. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится ртуть. Отношение диаметров сосудов n = d1/d2 = 0,25. В узкий сосуд наливают воду; высота столба воды h = 80 см. На сколько опустится уровень ртути в узком сосуде и на сколько он поднимется в широком? Плотность воды ρ1 = 1,0⋅103 кг/м3, ртути ρ2 = 13,6⋅103 кг/м3.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = ρ2g⋅h2, pВ = ρ1g⋅h. Тогда

ρ2g⋅h2 = ρ1g⋅h или ρ1h = ρ2h2. (1)

Из рисунка 1 видно, что

h2 = Δh1 + Δh2, (2)

где Δh1 — высота, на которую опустится ртуть в узком сосуде, Δh2 — высота, на которую поднимется ртуть в широком сосуде.

Из условия не сжимаемости воды

ΔV1 = ΔV2S1⋅Δh1 = S2⋅Δh2,

где  \[ S_{1} = \frac{\pi \cdot d_{1}^{2} }{4}, \; \; \; S_{2} =\frac{\pi \cdot d_{2}^{2} }{4} \] — площади поперечного сечения сосудов, d1/d2 = n — по условию. Тогда
 
\[ \frac{\pi \cdot d_{1}^{2} }{4} \cdot \Delta h_{1} =\frac{\pi \cdot d_{2}^{2} }{4} \cdot \Delta h_{2}, \; \; \; \Delta h_{2} =\Delta h_{1} \cdot \left(\frac{d_{1} }{d_{2} } \right)^{2} =n^{2} \cdot \Delta h_{1}.
 \]

После подстановки в уравнение (2) получаем:

h2 = Δh1 + n2⋅Δh1 = Δh1⋅(1 + n2).

Подставим в уравнение (1)
 
\[ \rho _{1} \cdot h=\rho _{2} \cdot \Delta h_{1} \cdot \left(1+n^{2} \right), \; \; \; \Delta h_{1} =\frac{\rho _{1} \cdot h}{\rho _{2} \cdot \left(1+n^{2} \right)}, \; \; \; \Delta h_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot h \cdot n^{2} }{\rho _{2} \cdot \left(1+n^{2} \right)}, \]

Δh1 = 5,5⋅10–2 м, Δh2 = 3,5⋅10–3 м.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 24 Июль 2011, 08:40
362. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, поверх которой в один из сосудов налита вода. Разность уровней ртути Δh = 20 мм. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3. Найти высоту столба воды.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = ρ1g⋅Δh, pВ = ρ2g⋅h2. Тогда

ρ1g⋅Δh = ρ2g⋅h2 или ρ1⋅Δh = ρ2h2,
 
\[ h_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot \Delta h}{\rho _{2}}, \]

h2 = 0,27 м.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 24 Июль 2011, 11:37
363. В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковыми поперечными сечениями площадью S = 1⋅10–2 м2 находится ртуть. В одни из сосудов поверх ртути наливают воду массой m1 = 20 кг и опускают в нее плавать груз массой m2 = 7,2 кг. На сколько поднимется уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = ρ⋅g⋅h. Давление в точке В можно найти разными способами.
1 способ. Давление pВ = ρ1g⋅h3, где ρ1 — плотность воды, h3 = h1 + h2, h1 — высота столбца воды массой m1, h2 — высота столбца воды, вытесненная при погружении в воду тела массой m2 и т.п.
2 способ. Так как тело плавает в воде, то давление воды и плавающего тела в точке В
 
\[ p_{B} = \frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g}{S}. \]
Тогда
 
\[ \rho \cdot g \cdot h=\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g}{S}, \;\; \; \rho \cdot h=\frac{m_{1} +m_{2} }{S}.\;\;\; (1) \]


Из рисунка 1 видно, что

h = Δh1 + Δh2,

где Δh1 — высота, на которую поднимется ртуть, Δh2 — высота, на которую ртуть опустится.
Из условия не сжимаемости воды

ΔV1 = ΔV2S⋅Δh1 = S⋅Δh2,  Δh1 = Δh2.

В итоге получаем, с учетом уравнения (1):
 
\[ h=2\Delta h_{1} =\frac{m_{1} +m_{2} }{S\cdot \rho }, \; \; \; \Delta h_{1} =\frac{m_{1} +m_{2} }{2S\cdot \rho }, \]

Δh1 = 0,1 м.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Июль 2011, 18:27
364. Шарик массой m = 40 г плавает в одном из двух одинаковых цилиндрических сообщающихся сосудов, заполненных водой (рис. 1). Площадь поперечного сечения каждого сосуда S = 20 см2. На сколько изменится уровень воды, если вынуть шарик? Плотность воды ρ = 1,0 г/см3.

Решение. На шарик действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA). Запишем условие плавания тела:

FA = m⋅g,

где FA = ρ⋅g⋅Vn, Vn — объем части шарика, погруженного в воду. Тогда

ρ⋅g⋅Vn = m⋅g или ρ⋅Vn = m.

Если шарик вынуть из воды, то объем воды уменьшиться на Vn. Так как вода занимается два сообщающихся сосуда площадью S каждый, то уровень воды (высота столбца) уменьшиться на
 
\[ \Delta h=\frac{V_n}{2S}=\frac{m}{2\rho \cdot S}, \]

Δh = 1⋅10–2 м.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Июль 2011, 19:25
365. Два цилиндрических сосуда соединены у дна тонкой трубкой с краном (рис. 1). Один сосуд имеет площадь поперечного сечения S1 = 15 см2, второй — S2 = 5,0 см2. Сосуды заполнены водой: первый до высоты h1 = 20 см, второй до высоты h2 = 40 см. Каков будет уровень воды в сосудах, если открыть кран К в соединительной трубке?

Решение. Так как давление на дно сосуда больше в правом сосуде, то после открытия кран К вода будет перетекать с правого сосуда в левый. Пусть высота столбца жидкости в сосудах станет равной h3, уровень воды в сосуде площадью S1 увеличится на Δh1, в сосуде площадью S2 уменьшится на Δh2 (рис. 2). Из рисунка видно, что

Δh1 = h3h1, (1)

Δh2 = h2h3. (2)

Из условия не сжимаемости воды

ΔV1 = ΔV2S1⋅Δh1 = S2⋅Δh2. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

S1⋅(h3h1) = S2⋅(h2h3),  h3⋅(S1 + S2) = S1h1 + S2h2,
 
\[ h_{3} =\frac{S_{1} \cdot h_{1} +S_{2} \cdot h_{2} }{S_{1} +S_{2}}, \]

h3 = 0,25 м.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 27 Июль 2011, 09:42
366. Деталь отлита из сплава железа и никеля. Определить, сколько процентов по объему составляют железо и никель, а также объем всей детали, если в воздухе деталь весит Р1 = 33,52 Н, а в воде — Р2 = 29,60 Н. Плотность железа ρ1 = 7,9⋅103 кг/м3, никеля ρ2 = 8,9⋅103 кг/м3, воды ρ3 = 1,0⋅103 кг/м3. Архимедову силу в воздухе не учитывать.

Решение. Будем считать, что вес детали определяют при помощи динамометра. Тогда вес детали — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g) и сила упругости (Fy1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P1 = Fy1 = (m1 + m2)⋅g,

где m1 = ρ1V1 — масса железа в детали, V1 — объем железа, m2 = ρ2V2 — масса никеля в детали, V2 — объем никеля. Тогда

P1 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g. (1)

В воде на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g), сила упругости (Fy2) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P2 = Fy2 = (m1 + m2)⋅gFA,

где FA = ρ3g⋅V, V = V1 + V2 — объем всей детали. Тогда

P2 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g – ρ3g⋅(V1 + V2). (2)

Решим систему уравнений (1)-(2) и найдем V1, V2 и V. Например,
 
\[ P_{2} =P_{1} -\rho _{3} \cdot g\cdot \left(V_{1} +V_{2} \right), \; \; \; V=V_{1} +V_{2} =\frac{P_{1} -P_{2} }{\rho _{3} \cdot g}, \]
V = 4⋅10–4 м3.
V2 = V – V1, P1 = (ρ1V1 + ρ2⋅(VV1))⋅g,

1 – ρ2)⋅V1g = P1 – ρ2V⋅g,

\[ V_{1} =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} -\frac{\rho _{2} \cdot V}{\rho _{1} -\rho _{2} }, \; \; \; \frac{V_{1} }{V} =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} \cdot \frac{1}{V} -\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } = \]
 
\[ =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} \cdot \frac{\rho _{3} \cdot g}{P_{1} -P_{2} } -\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } =\left(\frac{P_{1} \cdot \rho _{3} }{P_{1} -P_{2} } -\rho _{2} \right)\cdot \frac{1}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

V1/V = 0,35  (35%),  V2/V = 1 – 0,35 = 0,65  (65%).
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 28 Июль 2011, 11:16
367. Браслет массой М = 80 г сделан из сплава золота и серебра. Вычислить массу золота, содержащегося в браслете, располагая следующими данными: плотность золота ρ1 = 19,3 г/см3, плотность серебра ρ2 = 10,5 г/см3; при погружении браслета в воду, находящуюся в сосуде с вертикальными стенками и площадью основания S = 25 см2, уровень воды поднимается на h = 2,0 мм.

Решение. Масса браслета равна

M = m1 + m2,

где m1 = ρ1V1 — масса золота в браслете, V1 — объем золота, m2 = ρ2V2 — масса серебра в браслете, V2 — объем серебра. Тогда

M = ρ1V1 + ρ2V2. (1)

При погружении в воду браслет вытесняет объем воды, равный объему тела, т.е.

V = S⋅h = V1 + V2. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

V2 = S⋅h – V1M = ρ1V1 + ρ2⋅(S⋅h – V1),

1 – ρ2)⋅V1 = M – ρ2S⋅h,

\[ V_{1} =\frac{M-\rho _{2} \cdot S\cdot h}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\rho _{1} \cdot \frac{M-\rho _{2} \cdot S\cdot h}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

m1 = 6,0⋅10–2 кг.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 29 Июль 2011, 09:07
368. Согласно желанию сиракузского властителя, Архимед должен был определить содержание золота в короне, состоящей из золотых и серебряных частей, не разрушая ее. Для этого Архимед взвесил корону в воздухе и получил вес P1 = 25,4 Н, а затем в воде, получив вес Р2 = 23,4 Н. Зная плотность золота, серебра и воды (соответственно ρ1 = 19,3 г/см3, ρ2 = 10,5 г/см3 и ρ3 = 1,00 г/см3), определить, как и Архимед, массу золота, содержащегося в этой короне. Ускорение свободного падения считать равным g = 10,0 м/с2.

Решение. Будем считать, что вес короны определяли при помощи динамометра. Тогда вес короны — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g) и сила упругости (Fy1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P1 = Fy1 = (m1 + m2)⋅g,

где m1 = ρ1V1 — масса золота в короне, V1 — объем золота, m2 = ρ2V2 — масса серебра в детали, V2 — объем серебра. Тогда

P1 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g. (1)

В воде на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g), сила упругости (Fy2) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P2 = Fy2 = (m1 + m2)⋅gFA,

где FA = ρ3g⋅V, V = V1 + V2 — объем всей короны. Тогда

P2 = (ρ1V1 + ρ2V2)⋅g – ρ3g⋅(V1 + V2). (2)


Решим систему уравнений (1)-(2), найдем V1 и m1. Например,

\[ P_{2} =P_{1} -\rho _{3} \cdot g\cdot \left(V_{1} +V_{2} \right), \; \; \; V=V_{1} +V_{2} =\frac{P_{1} -P_{2} }{\rho _{3} \cdot g}, \]

V2 = V – V1, P1 = (ρ1V1 + ρ2⋅(VV1))⋅g,

1 – ρ2)⋅V1g = P1 – ρ2V⋅g,

\[ V_{1} =\frac{P_{1} -\rho _{2} \cdot V\cdot g}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} =\frac{\rho _{3} \cdot P_{1} -\rho _{2} \cdot \left(P_{1} -P_{2} \right)}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot \rho _{3} \cdot g}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\rho _{1} \cdot \frac{\rho _{3} \cdot P_{1} -\rho _{2} \cdot \left(P_{1} -P_{2} \right)}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot \rho _{3} \cdot g} , \]

m1 = 0,965 кг.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 30 Июль 2011, 09:34
369. В цилиндрическом сосуде с не смешивающейся с водой жидкостью, плотность которой ρ = 1,2 г/см3, при температуре t = 0 °С плавает льдинка массой m = 1 кг. На сколько изменится уровень этой жидкости в сосуде, когда льдинка растает? Площадь основания сосуда S = 0,1 м2.

Решение. Пусть в сосуде без льдинки высота жидкости была h. После того как в жидкость опустили льдинку уровень жидкости поднялся на Δh1, а после того как льдинка растаяла — еще на Δh2 (рис. 1).
Найдем высоту Δh1. Воспользуемся условием плавания тела: вес вытесненной телом жидкости Pj равен весу тела P, т.е.

Pj = P,

где Pj = mj⋅g = ρ⋅Vj⋅g, Vj = S⋅Δh1 — объем вытесненной телом жидкости, P = m⋅g. Тогда
 
\[ \rho \cdot S\cdot \Delta h_{1} \cdot g=m\cdot g,\, \, \, \, \Delta h_{1} =\frac{m}{\rho \cdot S}.\;\;\; (1) \]


После того как льдинка растаяла, объем жидкости в сосуде увеличился на объем воды V, полученной из льдинки. Но плотность воды меньше плотности жидкости, поэтому вся вода окажется сверху, и уровень жидкости опустится до первоначальной высоты h.

Ответ. Уровень жидкости опустится на Δh1 = 8,3⋅10–3 м.

Примечание. Для сравнения плотностей воды и жидкости в условие нужно добавить плотность воды.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 31 Июль 2011, 13:19
370. Теплоход, войдя в гавань, выгрузил часть груза; при этом его осадка уменьшилась на h = 0,6 м. Найти массу груза, оставленного теплоходом в гавани, если площадь поперечного сечения теплохода на уровне ватерлинии S = 5400 м2. Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На теплоход с грузом действуют сила тяжести теплохода (m1g), архимедова сила (FA1) и вес груза (m2g) (рис. 1, а). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

FA1m1gm2g = 0,

где FA1 = ρ⋅g⋅V1, V1 = S⋅h1, h1 — глубина погружения теплохода с грузом. Тогда

ρ⋅g⋅S⋅h1m1gm2g = 0. (1)


На теплоход без груза действуют сила тяжести теплохода (m1g), архимедова сила (FA2) (рис. 1, б). В проекции на вертикальную ось получаем:

FA2m1g = 0,

где FA2 = ρ⋅g⋅V2, V2 = S⋅h2, h2 — глубина погружения теплохода без груза, h2 = h1h. Тогда

ρ⋅g⋅S⋅(h1h) – m1g = 0. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

ρ⋅g⋅S⋅h1m1g = m2g,  ρ⋅g⋅S⋅h1m1g – ρ⋅g⋅S⋅h = 0,

m2g = ρ⋅g⋅S⋅hm2 = ρ⋅S⋅h,

m2 = 3,2⋅106 кг.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 01 Август 2011, 07:57
371. Определить наименьшую площадь плоской льдины толщиной d = 40 см, способной удержать на воде человека массой m = 75 кг. Плотность льда ρ1 = 0,9⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На льдину в воде действуют сила тяжести льдины (m1g), архимедова сила (FA) и вес человека (m⋅g) (рис. 1). Площадь льдины, способная выдержать человека, будет наименьшей, если льдина почти полностью погрузится в воду. Льдина неподвижна, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

FAm1gm⋅g = 0,

где FA = ρ2g⋅V, m1 = ρ1V, V = S⋅d. Тогда

ρ2g⋅S⋅d – ρ1S⋅d g – m⋅g = 0,

\[ S=\frac{m}{\left(\rho _{2} -\rho _{1} \right) \cdot d}, \]

S = 2 м2.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 02 Август 2011, 16:32
372. На плоту, состоящем из n = 20 одинаковых бревен, можно перевозить груз максимальной массой m = 1800 кг. Определить плотность древесины, если объем каждого бревна V = 0,3 м3, а плотность воды ρ1 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На плот в воде действуют сила тяжести плота (m2g), архимедова сила (FA) и вес груза (m⋅g). При увеличении массы груза плот будет глубже опускаться в воду, и при некоторой максимальной массе m плот полностью погрузится в воду, но еще будет находиться у поверхности воды (рис. 1). Плот неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

FAm2gm⋅g = 0,

где FA = ρ1g⋅V0, m2 = ρ2V0, V0 = n⋅V. Тогда

ρ1g⋅n⋅V – ρ2n⋅V g – m⋅g = 0,

\[ \rho _{2} = \rho _{1} -\frac{m}{n \cdot V}, \]

ρ2 = 700 кг/м3.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 03 Август 2011, 08:56
374. Масса шара-зонда, включая массу газа в нем, m = 50 кг, а объем V = 110 м3. Шар связан с землей веревкой. Плотность воздуха ρ = 1,3 кг/м3. Каково натяжение веревки, когда она: находится в вертикальном положении; под действием ветра отклонилась на угол α = 30° от вертикали?

Решение. 1 случай: веревка в вертикальном положении. В этом случае на шар в воздухе действуют сила тяжести шара (m⋅g), архимедова сила (FA) и сила натяжения веревки (T1) (рис. 1). Шар неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

0Y: FAm⋅g – T1 = 0,

где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V – m⋅g – T1 = 0,  T1 = (ρ⋅V – m)⋅g,

T1 = 9,3⋅102 Н.

2 случай: веревка под действием ветра отклонилась на угол α от вертикали. В этом случае на шар в воздухе действуют сила тяжести шара (m⋅g), архимедова сила (FA), сила ветра (Fb) и сила натяжения веревки (T2) (рис. 2). Шар неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

0Y: FAm⋅g – T2⋅cos α = 0,

где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V – m⋅g – T2⋅cos α = 0,
 
\[ T_2=\frac{\left(\rho \cdot V-m\right)\cdot g}{\cos \alpha }, \]

T2 = 1,1⋅103 Н.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 04 Август 2011, 17:19
376. В озере на глубине h = 5,0 м находится тело массой m = 2,0 кг и объемом V = 1,0⋅103 см3. Какая работа должна быть совершена при его подъеме на высоту Н = 5,0 м над поверхностью воды? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = 0. (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h2,
где h2 = h + H. Тогда
W = m⋅g⋅(h + H). (2)

На тело действуют внешние силы: сила F, которая поднимает тело, и архимедова сила (FA) (в воде). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены в одну сторону (вверх), то работа архимедовой силы равна

AA = FA⋅h,
где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда
AA = ρ⋅g⋅V⋅h. (3)

Работа внешних сил равна:
A + AA = W – W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:

A + ρ⋅g⋅V⋅h = m⋅g⋅(h + H),      A = (m⋅(h + H) – ρ⋅V⋅h)⋅g,

A = 1,5⋅102 Дж.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Август 2011, 12:29
377. Со дна водоема глубиной h = 11 м подъемным краном равномерно поднимают бетонный куб массой m = 2200 кг. Определить механическую работу по подъему этого куба до касания его верхней грани поверхности воды. Плотность бетона ρ1 = 2,2⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность дна водоема (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = 0. (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h1,

где h1 = h – a, а — высота бетонного куба. Размеры куба найдем следующим способом:
 
\[ V=a^{3} =\frac{m}{\rho _{1}}, \;\;\; a=\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1}}}. \]
Тогда
 
\[ W=m \cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1}}} \right).\;\;\; (2) \]

На тело действуют внешние силы: сила тяги подъемного крана (F) и архимедова сила (FA). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены в одну сторону (вверх), то работа архимедовой силы равна

AA = FA⋅h1,
где FA = ρ2g⋅V, V = m1. Тогда
 
\[ A_{A} =\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1}} \cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right).\;\;\; (3) \]

Работа внешних сил равна:

A + AA = W – W0A = W – W0AA.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 
\[ A=m\cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)-\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1} } \cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)= \]

\[ =m\cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)\cdot \left(1-\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \right), \]

A = 1,2⋅105 Дж.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 06 Август 2011, 11:50
379. На какую глубину погрузится тело при падении в воду с высоты H и за какое время оно всплывет на поверхность? Трение тела о воздух и воду не учитывать. Плотность воды ρ1, плотность тела ρ2 < ρ1. Начальная скорость тела υ0 = 0.

Решение. Найдем глубину погружения h тела.
Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = m⋅g⋅h1,

где h1 = h + H, m — масса тела. Тогда

W0 = m⋅g⋅(h + H). (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0. (2)

На тело действует внешняя сила — архимедова сила (FA) (только в воде, трение тела о воздух и воду не учитывать). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

AA = –FA⋅h,

где FA = ρ1g⋅V, V = m2. Тогда
 
AA = –ρ1g⋅h⋅m2. (3)

Работа внешних сил равна:

AA = W – W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 
\[ -\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{2}} \cdot h=-m\cdot g\cdot \left(h+H\right), \;\;\; \frac{\rho _{1} -\rho _{2} }{\rho _{2}} \cdot h = H, \;\;\; h=\frac{H\cdot \rho _{2}}{\rho _{1} -\rho _{2}}.\;\;\; (4) \]


Найдем время, за которое тело всплывет на поверхность. В воде на тело действуют сила тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Так как ρ2 < ρ1, тело будет всплывать вверх. Запишем проекцию второго закона Ньютона на вертикальную ось:

0Y: m⋅a = FA – m⋅g или
 
\[ m\cdot a=\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{2} } -m\cdot g, \;\;\; a=\left(\frac{\rho _{1}}{\rho _{2} } -1\right)\cdot g = \frac{\rho _{1} -\rho _{2}}{\rho _{2} } \cdot g.\;\;\; (5) \]

Составим уравнение движения тела в воде:
 
\[ y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}, \]

где y0 = 0, υ0y = 0, ax = a. Пусть время t1 — это время, за которое тело достигнет поверхности воды (y = h2 = h). Тогда с учетом уравнений (4) и (5)
 
\[ h=\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2}, \;\;\; t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{a} } =\sqrt{\frac{2h\cdot \rho _{2} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} } = \frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } \cdot \sqrt{\frac{2H}{g} }. \]

Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 07 Август 2011, 09:09
380. С какой высоты падал шарик, если он погрузился в воду на глубину h = 0,1 м? Плотность шарика ρ1 = 0,4⋅103 кг/м3, его начальная скорость υ0 = 0, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3. Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = m⋅g⋅h1,

где h1 = h + H, m = ρ1V — масса тела, H — высота, с которой падало тело, V — объем тела. Тогда

W0 = ρ1V⋅g⋅(h + H). (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0. (2)

На тело действует внешняя сила — архимедова сила (FA) (только в воде), сопротивлением воздуха и воды пренебречь. Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

AA = –FA⋅h,

где FA = ρ2g⋅V. Тогда

AA = – ρ2g⋅V⋅h. (3)

Работа внешних сил равна:

AA = W – W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 
\[ -\rho _{2} \cdot g\cdot V\cdot h=-\rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot \left(h+H\right), \; \; \; h+H=\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \cdot h, \;\;\; H=\left(\frac{\rho _{2} }{\rho _{1}} -1\right)\cdot h,
 \]

H = 0,15 м.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 09 Август 2011, 16:23
381. Сплошной однородный стеклянный шарик объемом V = 0,5 см3 равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на h = 6 м? Плотность стекла ρ1 = 2,5⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой окажется шарик при перемещении на h. Пусть скорость равномерного падения шарика равна υ (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна
 
\[ W_{0} = m\cdot g\cdot h_{0} + \frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \]

где h0 = h, m = ρ1V — масса тела. Тогда
 
\[ W_{0} = \rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot h+\frac{\rho _{1} \cdot V \cdot \upsilon ^{2}}{2}.\;\;\; (1) \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 
\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} = \frac{\rho _{1} \cdot V \cdot \upsilon ^{2}}{2}.\;\;\; (2) \]


На тело действуют внешние сила — сила сопротивление (Fc) и архимедова сила (FA). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

AA = –FA⋅h,

где FA = ρ2g⋅V. Тогда

AA = – ρ2g⋅V⋅h. (3)

Количество теплоты Q, которое выделится при перемещение шарика в воде, будет численно равно работе сил сопротивления А, но с противоположным знаком (т.к. A < 0), т.е.

Q = – А. (4)

Работа всех внешних сил равна:

A + AA = W – W0
или
Q = – А = AA – W + W0.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(4), получаем:
 
\[ Q =-\rho _{2} \cdot g\cdot V\cdot h-\frac{\rho _{1} \cdot V\cdot \upsilon ^{2} }{2} + \rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot h+\frac{\rho _{1} \cdot V\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g\cdot V\cdot h, \]

Q = 4,5⋅10–2 Дж.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 11 Август 2011, 17:00
382. Сколько будет весить гиря массой m = 1,0 кг, взвешиваемая на пружинных весах в гондоле аэростата при его равноускоренном подъеме, если масса гондолы с оболочкой М = 500 кг? Оболочка имеет объем V = 1000 м3 и наполнена водородом, плотность которого ρ1 = 0,10 кг/м3. Плотность воздуха ρ2 = 1,3 кг/м3.

Решение. Предположим, что ускорение гондолы направлено вверх (ниже мы это определим). Тогда вес гири будет равен:

P = m⋅(g + a). (1)

Найдем ускорение гондолы. На гондолу с оболочкой действуют сила тяжести ((M + m + mv)⋅g) (mv — масса водорода)  и архимедова сила (FA) (рис. 1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:

0Y: (M + m + mv)⋅a = FA – (M + m + mv)⋅g,

где mv = ρ1V, FA = ρ2g⋅V. Тогда
\[ a=\frac{F_{A} }{M+m+m_{v} } -g=\frac{\rho _{2} \cdot g\cdot V}{M+m+\rho _{1} \cdot V} -g \]

(a > 0, т.е. ускорение направлено вверх).
После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[ P=m\cdot \frac{\rho _{2} \cdot g\cdot V}{M+m+\rho _{1} \cdot V}, \]

P = 22 Н.

Примечание. Силу тяжести гири, которая в 500 раз (?!) меньше силы тяжести гондолы, можно не учитывать.  Более точные расчеты дают такие ответы: с учетом силы тяжести гири — P = 21,63 Н, без учета — P = 21,67 Н. Расхождение 0,2 %.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Styx от 19 Октябрь 2011, 19:41
381. Сплошной однородный стеклянный шарик объемом V = 0,5 см3 равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на h = 6 м? Плотность стекла ρ1 = 2,5⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Задача решена неверно. W2-W1=Aнеконс силсопр. С другой стороны:
W2-W1=Q. => Q = Aсопр=Fсопр*h*cos 180 = -Fсопр*h.
 Т.к. ускорение а=0, то Fсопр=mg - FАрх.
=> Q = (p1*g*V - p2 *g*V)*h = (p1 - p2)*h*g*V.
Вопрос к alsak: что вы понимаете под внешними силами?????? Давно уже этими терминами не пользуются. Пользуются понятиями консерватив. и неконсервативн. сил. Почему на чертеже не  обознач. сила тяжести?????? На шарик действуют 3 силы.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 19 Октябрь 2011, 19:54
Задача решена неверно.

А по какому признаку вы определяете, решена задача правильно или нет? А не допускаете ли вы такой вариант, что задача решена другим способом, чем у вас?

Вопрос к alsak: что вы понимаете под внешними силами?????? Давно уже этими терминами не пользуются. Пользуются понятиями консерватив. и неконсервативн. сил.

Укажите, пожалуйста, источник, где сказано, что понятие "внешние силы" устарело и им пользоваться нельзя? 

Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 20 Октябрь 2011, 07:09
Вопрос к alsak: что вы понимаете под внешними силами?????? Давно уже этими терминами не пользуются. Пользуются понятиями консерватив. и неконсервативн. сил.

В спорных вопросах я чаще всего использую учебник для углубленного изучения физики Мякишева Г.Я. Данный автор использует понятия «внешних и внутренних сил» (например, см. С. 289-292, 338-340), и «консервативные силы» (например, «…когда в ней действуют силы, зависящие только от расстояния. Такие силы называются консервативными, т.е. сохраняющимися» [C. 329]). Ссылки даны по книге Мякишев Г.Я. Физика: Механика. 10 кл.: учебник для углубленного изучения физики. — М.: Дрофа, 2004. — 496 с. (http://www.alsak.ru/component/option,com_jdownloads/Itemid,273/task,view.download/cid,75885/)

В большой технической энциклопедии (http://www.bte1927.ru/node/1585) читаем: «В механике внешними силами по отношению к данной системе материальных точек (т. е. такой совокупности материальных точек, в которой движение каждой точки зависит от положений или движений всех остальных точек) называются те силы, к-рые представляют собою действие на эту систему других тел (других систем материальных точек), не включенных нами в состав данной системы. Внутренними силами являются силы взаимодействия между отдельными материальными точками данной системы.»

Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 27 Ноябрь 2011, 13:10
375. Тонкий однородный цилиндрический стержень верхним концом крепится к шарниру. Снизу под стержень подводится ванна с водой. Стержень наклоняется так, что в воде находится половина его длины (рис. 1). Определить плотность материала стержня. Плотность воды ρ1 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. На стержень действуют сила тяжести (m⋅g), Архимедова сила (FA) и сила упругости шарнира (момент этой силы относительно точки крепления О равен нулю, поэтому на рисунке не указана) (рис. 2).
Запишем условие равновесия для стержня относительно точки крепления О:

m⋅g⋅l1 = FA⋅l2,

где m = ρ⋅V, ρ — плотность стержня, V — объем стержня, FA = ρ1g⋅V/2 (учли, что стержень наполовину в воде). Найдем плечи, при этом учтем, что точка А — середина стержня, точка В — середина погруженной части стержня (т.е. середина половины стержня):

l1 = OC = OA⋅cos α = l/2⋅cos α,

l2 = OF = OB⋅cos α = 3l/4⋅cos α,

где l — длина стержня. Тогда
\[ \rho \cdot V\cdot g\cdot \frac{l}{2} \cdot \cos \alpha =\rho _{1} \cdot \frac{V}{2} \cdot g\cdot \frac{3l}{4} \cdot \cos \alpha, \; \; \; \rho =\frac{3}{4} \rho _{1}, \]
ρ = 750 кг/м3.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Май 2013, 10:38
355. На концах лёгкого стержня длиной l = 20 см помещены два шарика: первый из свинца, второй из алюминия. Стержень шарнирно закреплен посередине и опущен в воду, где он находится в равновесии, занимая горизонтальное положение. На сколько нужно передвинуть по стержню второй шарик, чтобы равновесие восстановилось в воздухе? Плотность свинца ρ1 = 11,3 ∙ 103 кг/м3, алюминия ρ2 = 2,7 ∙ 103 кг/м3,воды ρ3 = 1,0 ∙ 103 кг/м3.
Решение:
на шарики, погружённые в воду, действуют силы (см. рис.):
на свинцовый - m1g – сила тяжести, направленная вниз, m1 – масса свинцового шарика, F1 = ρ3g∙V1 - выталкивающая сила направленная вверх, V1 = m11 – объём свинцового шарика;
на алюминиевый m2g – сила тяжести, направленная вниз, m2 – масса шарика, F2 = ρ3g∙V2 - выталкивающая сила направленная вверх, V2 = m22 – объём алюминиевого шарика;
на шарики, расположенные в воздухе действуют силы (см. рис.):
на свинцовый - m1g – сила тяжести, направленная вниз;
на алюминиевыйm2g – сила тяжести, направленная вниз, при этом алюминиевый шарик передвинули на расстояние x к центру стержня (к шарнирному соединению)
   Т.к. стержень находится в равновесии, и, у него есть ось вращения (шарнирное соединение в центре). Условие равновесия для тела, имеющего ось вращения – правило моментов сил относительно оси вращения (сумма моментов равна нулю). Учтём, что момент силы находится как произведение модуля силы на плечо (расстояние от линии действия силы до оси вращения) и будем считать момент положительным, если он вызывает вращение системы по часовой стрелке (в противном случае – момент силы будем считать отрицательным). Запишем правило моментов для двух ситуаций.
Условие равновесия стержня, находящегося в воде:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} \cdot \frac{l}{2} -m_{1} g\cdot \frac{l}{2} +m_{2} g\cdot \frac{l}{2} -F_{2} \cdot \frac{l}{2} =0,} \\ {\rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{1} }{\rho _{1} } -m_{1} g+m_{2} g-\rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{2} }{\rho _{2} } =0,} \\ {m_{2} \cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \right)=m_{1} \cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right).} \end{array} \]
Условие равновесия стержня, находящегося в воздухе:
\[ \begin{array}{l} {-m_{1} g\cdot \frac{l}{2} +m_{2} g\cdot \left(\frac{l}{2} -x\right)=0,} \\ {m_{2} \cdot \left(\frac{l}{2} -x\right)=m_{1} \cdot \frac{l}{2}.} \end{array} \]
Разделим полученные уравнения дуг на друга (при этом сократятся неизвестные нам массы шариков) и выразим искомое расстояние x:
\[ \frac{1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } }{\frac{l}{2} -x} =\frac{1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } }{\frac{l}{2}}. \]
Из полученного уравнения выразим расстояние x, например
\[ \begin{array}{l} {\frac{l}{2} \cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \right)=\left(\frac{l}{2} -x\right)\cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right),} \\ {x\cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right)=\frac{l}{2} \cdot \left(\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } -\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right),} \\ {x=\frac{l\cdot \rho _{3} }{2\cdot \rho _{2} } \cdot \frac{\rho _{1} -\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{3} } .} \end{array} \]
Ответ: 3,1 ≈ 3 см.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Май 2013, 10:38
356. Сосуд с водой уравновешен на одной из чашек рычажных весов. В сосуд опускают подвешенный брусок массой m так, что он оказывается полностью погружённым в воду, но не касается стенок и дна сосуда. Груз какой массы и на какую чашку надо положить, чтобы восстановить равновесие? Плотность металла ρ1, воды ρ2.
Решение:на брусок со стороны воды действует сила Архимеданаправленная вертикально вверх и равная
\[ F_{a} =\rho _{2} \cdot g\cdot V=\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1} }, \]
здесь учли, что объём бруска можно определить, зная его массу и плотность: 
V = m1.

По третьему закону Ньютона на воду со стороны бруска (а соответственно и на сосуд с водой, стоящий на чашке весов) действует такая же сила, но направленная вниз. Значит, на другую чашку весов надо положить груз, вес которого равен по модулю силе Архимеда (P = m1g=Fa). В этом случае масса этого груза будет равна:
\[ m_{1} =\frac{F_{a} }{g} =m\cdot \frac{\rho _{2} }{\rho _{1}}. \]
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Май 2013, 10:39
357. На чашах погруженных в воду равноплечих весов находятся алюминиевый и железный шары, массы которых одинаковы и равны m. Определить массу сплошного шара из меди, который надо добавить для восстановления равновесия. Плотность алюминия ρ1 = 2,7 ∙ 103 кг/м3, железа ρ2 = 7,9 ∙ 103 кг/м3, меди ρ3 = 8,9 ∙ 103 кг/м3, воды ρ4 = 1,0 ∙ 103 кг/м3.
Решение: т.к. массы шаров одинаковы, то в воздухе равновесие весов нарушено не будет. При погружении в воду равновесие нарушится, т.к. плотность алюминия меньше плотности железа, то при одинаковых массах, объём алюминиевого шарика будет больше, и, как следствие, выталкивающая сила (сила Архимеда) на него будет больше, чем выталкивающая сила на железный шарик. Это приведёт к тому, что чаша, на которой находится алюминиевый шарик, приподнимется и для восстановления равновесия на неё нужно положить медный шарик.
  На шары, погружённые в воду, действуют силы (см. рис.):
на алюминиевый - mg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F1 = ρ4g∙V1 - выталкивающая сила направленная вверх, V1 = m1 – объём шарика;
на железныйmg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F2 = ρ4g∙V2 - выталкивающая сила направленная вверх, V2 = m2 – объём шарика;
на медный mxg – сила тяжести, направленная вниз, mx – масса шарика, F2 = ρ4g∙V - выталкивающая сила направленная вверх, V = mx3 – объём медного шарика;
Условие равновесия весов – правило моментов сил относительно оси вращения (сумма моментов равна нулю). Момент силы находится как произведение модуля силы на плечо (в нашем случае весы равноплечие, поэтому плечи у всех сил одинаковы и равны l), и будем считать момент положительным, если он вызывает вращение системы по часовой стрелке (в противном случае – момент силы будем считать отрицательным).
Запишем правило моментов для весов, находящихся в воде:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} \cdot l+F_{3} \cdot l+mg\cdot l-mg\cdot l-m_{x} g\cdot l-F_{2} \cdot l=0,} \\ {\rho _{4} \cdot \frac{m}{\rho _{1} } +\rho _{4} \cdot \frac{m_{x} }{\rho _{3} } -m_{x} -\rho _{4} \cdot \frac{m}{\rho _{2} } =0,} \\ {m_{x} \cdot \left(1-\frac{\rho _{4} }{\rho _{3} } \right)=m\cdot \rho _{4} \cdot \left(\frac{1}{\rho _{1} } -\frac{1}{\rho _{2} } \right),} \\ {m_{x} =m\cdot \frac{\left(\frac{1}{\rho _{1} } -\frac{1}{\rho _{2} } \right)}{\left(\frac{1}{\rho _{4} } -\frac{1}{\rho _{3} } \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 0,27∙m ≈ 0,3∙m.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Май 2013, 10:39
358. К коромыслу равноплечих весов подвешены два сплошных однородных шарика равной массы, сделанных из разных материалов. Если одновременно поместить один из шариков в жидкость плотностью ρ1 = 1 ∙ 103 кг/м3, а другой – в жидкость плотностью ρ2 = 0,8 ∙ 103 кг/м3, то равновесие сохранится. Считая, что плотности шариков больше плотностей жидкостей, найти отношение плотностей шариков.
Решение:
на шарики, погружённые в жидкости, действуют силы (см. рис.):
первый шарик: mg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F1 = ρ1g∙V1 - выталкивающая сила направленная вверх, V1 = m3 – объём первого шарика, ρ3 – плотность материала, из которого он сделан;
второй шарик: mg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F2 = ρ2g∙V2 – выталкивающая сила направленная вверх, V2 = m4 – объём шарика, ρ4 – плотность материала, из которого сделан второй шарик.
Условие равновесия весов – правило моментов сил относительно оси вращения (сумма моментов равна нулю). Момент силы находится как произведение модуля силы на плечо l весов. Будем считать момент положительным, если он вызывает вращение по часовой стрелке (в противном случае – момент будем считать отрицательным). Имеем:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} \cdot l-mg\cdot l+mg\cdot l-F_{2} \cdot l=0,} \\ {F_{1} =F_{2} ,} \\ {\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{3} } =\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{4} } ,} \\ {\frac{\rho _{1} }{\rho _{3} } =\frac{\rho _{2} }{\rho _{4} } ,} \\ {\frac{\rho _{3} }{\rho _{4} } =\frac{\rho _{1} }{\rho _{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1,25.
Название: Re: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Май 2013, 10:40
373. Для взятия пробы грунта на дно океана на стальном тросе опускают прибор. Найти предельную глубину погружения, если предел прочности на разрыв стали σ = 4,8 ∙ 108 Па. Массой прибора по сравнению с массой троса пренебречь. Плотность стали ρ1 = 7,8 ∙ 103 кг/м3, плотность океанской воды ρ2 = 1,03 ∙ 103 кг/м3.
Решение: рассмотрим силы, действующие на трос:  mg –сила тяжести, направленная вниз, где m – масса троса, Fa – выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вверх. Под действием этих сил трос испытывает натяжение. Пусть Fy – сила натяжения троса, которую определим как модуль разности силы тяжести и выталкивающей силы (т.к. они имеют противоположное направление) т.е.
Fy = mg – Fa.  (1)
Максимальную силу упругости определим, зная предел прочности
Fy = σ∙S.
Выталкивающая сила, по закону Архимеда
Fa = ρ2g∙V = ρ2g∙S∙h,
где V – объём троса, h – его длина, S – площадь поперечного сечения.
Масса троса
m = ρ1V = ρ1S∙h.
Таким образом, поле подстановки в формулу (1), получим
σ∙S = ρ1g∙S∙h – ρ2g∙S∙h.
Отсюда искомая длина троса (глубина)
\[ h=\frac{\sigma }{g\cdot \left(\rho _{{\rm 1}} - {\rm \; }\rho _{{\rm 2}} \right)}. \]
Ответ: 7,2 ∙ 103 м (g = 9,8 м/с2)