Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => : alsak 30 April 2011, 20:50

: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 30 April 2011, 20:50

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

	521 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39374.html#msg39374)	522 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg23865.html#msg23865)	523 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg23875.html#msg23875)	524 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg38605.html#msg38605)	525 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39375.html#msg39375)	526 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39376.html#msg39376)	527 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39386.html#msg39386)	528 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39389.html#msg39389)	529 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39388.html#msg39388)
530 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39387.html#msg39387)	531 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39390.html#msg39390)	532 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg37549.html#msg37549)	533 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39378.html#msg39378)	534 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39379.html#msg39379)	535 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39383.html#msg39383)	536 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39384.html#msg39384)	537 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39392.html#msg39392)	538 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39393.html#msg39393)	539 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg24635.html#msg24635)
540 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39396.html#msg39396)	541 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39397.html#msg39397)	542 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39411.html#msg39411)	543 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39404.html#msg39404)	544 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39405.html#msg39405)	545 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg25155.html#msg25155)	546 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39402.html#msg39402)	547 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39403.html#msg39403)	548 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg40561.html#msg40561)	549 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39685.html#msg39685)
550 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg36809.html#msg36809)	551 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg36819.html#msg36819)	552 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg24045.html#msg24045)	553 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg24055.html#msg24055)	554 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39408.html#msg39408)	555 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39410.html#msg39410)	556 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39417.html#msg39417)	557 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39418.html#msg39418)	558 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg23895.html#msg23895)	559 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39419.html#msg39419)
560 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg37569.html#msg37569)	561 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg23885.html#msg23885)	562 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg16976.html#msg16976)	563 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39428.html#msg39428)	564 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg17766.html#msg17766)	565 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg24245.html#msg24245)	566 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39432.html#msg39432)	567 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg24285.html#msg24285)	568 (http://www.alsak.ru/smf/index.php?topic=4676.msg39548#msg39548)	569 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39416.html#msg39416)
570 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg39414.html#msg39414)	571 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg38209.html#msg38209)	572 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg38389.html#msg38389)	573 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4676.msg38409.html#msg38409)

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Sneggh 07 May 2011, 23:01

Здравствуйте!
Меня интересует задача № 562.
Вроде бы рассматриваем движение тела, брошенного под углом к горизонту?
Ускорение легко находится из 2-го з-на Ньютона.
А вот зачем дан угол бетта? Спасибо.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 08 May 2011, 09:34

562. Частица, масса которой m = 1⋅10^–4 кг и заряд q = 1⋅10^–8 Кл, влетает в область однородного электростатического поля шириной b = 0,1 м под углом α = 45°, а вылетает под углом β = 60° (рис. 1). Определить начальную скорость частицы, если напряженность однородного поля Е = 1⋅10⁶ В/м. Траектория частицы лежит в плоскости чертежа.

Решение. Совместим начало координат с точкой, в которой находился заряд в начальный момент времени, ось 0Х направим горизонтально, ось 0Y — вертикально вниз. На заряд действует со стороны электрического поля сила F и сила тяжести m⋅g (рис. 2). Вдоль оси 0Х сил нет.
Запишем второй закон Ньютона:

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{F}+ m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m⋅a = F +m⋅g, (1)

где F = q⋅E.
Запишем проекции уравнений координаты х и скорости:

\[ x = x_0 + \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}, \;\;\; \upsilon_y = \upsilon_{0y} + a_y \cdot t, \]

где x₀ = 0, υ_0x = υ₀⋅cos α, a_x = 0, υ_0y = –υ₀⋅sin α, a_y = a (см. рис. 2). Тогда

x = υ₀⋅cos α⋅t,  υ_y = –υ₀⋅sin α + a⋅t.

Пусть заряд движется в электрическом поле в течение промежутка времени t₁. В момент времени t₁

x = b = υ₀⋅cos α⋅t₁, (2)

υ_y = –υ₀⋅sin α + a⋅t₁ = υ_x⋅tg β = υ₀⋅cos α⋅tg β. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

\[ a = \frac{F+m \cdot g}{m} = \frac{q \cdot E+ m \cdot g}{m}, \; \; \; t_{1} = \frac{b}{\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha}, \]
 
\[ -\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha + a \cdot \frac{b}{\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha } = \upsilon _{0} \cdot \cos \alpha \cdot tg \beta, \; \; \; \upsilon _{0}^{2} \cdot \cos \alpha \cdot \left(\cos \alpha \cdot tg \beta + \sin \alpha \right) = a \cdot b, \]
 
\[ \upsilon _{0} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{\cos \alpha \cdot \left(\cos \alpha \cdot tg \beta + \sin \alpha \right)}} = \sqrt{\frac{\left(q \cdot E+ m \cdot g \right) \cdot b}{m \cdot \cos \alpha \cdot \left(\cos \alpha \cdot tg \beta + \sin \alpha \right)}}, \]

υ₀ = 3 м/с.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: kimklimov 26 May 2011, 19:26

Интересует задача №564. Очень надо, ничего не понятно...

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 27 May 2011, 16:47

564. Электрон влетает в однородное электростатическое поле напряженностью E = 148 В/м (рис. 1). В некоторый момент времени скорость электрона υ направлена под углом α = 60° к силовым линиям поля и модуль ее υ = 2⋅10⁶ м/с. Найти угол β, под которым будет направлена скорость электрона через промежуток времени Δt = 3⋅10^–8 с. Заряд электрона e = 1,6⋅10^–19 Кл, масса электрона m_e = 9,1⋅10^–31 кг. Силой тяжести электрона пренебречь.

Решение. Совместим начало координат с точкой, в которой находился заряд в начальный момент времени, ось 0Х направим горизонтально, ось 0Y — вертикально вверх. На заряд действует со стороны электрического поля сила F (по условию, силой тяжести пренебречь) (рис. 2). Так как электрон имеет отрицательный заряд, то сила F направлена против напряженности E электрического поля. Вдоль оси 0Х сил нет. Запишем второй закон Ньютона:
 

\[ m_e \cdot \vec{a} = \vec{F}, \]

0Y: m_e⋅a = F, (1)

где F = q⋅E, q = e.
Отсчет времени начнем в тот момент, когда скорость электрона была равна υ. Запишем проекции скорости электрона:

υ_x = υ_0x + a_x⋅t, υ_y = υ_0y + a_y⋅t,

где υ_0x = υ⋅sin α, a_x = 0, υ_0y = υ⋅cos α, a_y = a (см. рис. 2). Тогда

υ_0x = υ⋅sin α, υ_y = υ⋅cos α + a⋅t. (2)

Через промежуток времени t₁ = Δt уравнения (2) примут вид

υ_1x = υ⋅sin α, υ_1y = υ⋅cos α + a⋅t₁.

Так как (см. рис. 2)

υ_1x = υ_1y⋅tg β,

то

υ⋅sin α = (υ⋅cos α + a⋅t₁)⋅tg β,

где ускорение a найдем из уравнения (1). Тогда
 

\[ a = \frac{F}{m_e} = \frac{e \cdot E}{m_e}, \]
 
\[ tg\beta = \frac{\upsilon \cdot \sin \alpha }{\upsilon \cdot \cos \alpha + a \cdot \Delta t} = \frac{\upsilon \cdot \sin \alpha }{\upsilon \cdot \cos \alpha +e \cdot E \cdot \Delta t/m_{e}}, \; \; \; \beta = arctg\frac{\upsilon \cdot \sin \alpha }{\upsilon \cdot \cos \alpha +e \cdot E \cdot \Delta t/m_{e}}, \]

β = 45°.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 17 October 2011, 19:12

522. Два одинаковых точечных заряда q₁ = q₂ = 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии r = 15 см друг от друга. С какой силой они действуют на заряд q₃ = 6 нКл, находящийся на таком же расстоянии от каждого из них?

Решение. На заряд q₃ со стороны заряда q₁ действует кулоновская сила отталкивания F_CA, а со стороны заряда q₂ — сила притяжения F_CB. Эти силы одинаковы по модулю (т.к. AC = CB и |q₁| = |q₂|), направлены вдоль прямых линий, на которых располагаются взаимодействующие заряды (рис. 1), и равны
\[ F_{CB} =F_{CA} =k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{r^{2} }, \]
где r = CA = CB.
Ось 0Х направим параллельно АВ, ось 0Y — перпендикулярно АВ. Результирующая сила F_C, действующая на заряд q₃, равна
\[ \vec{F}_{C} =\vec{F}_{CB} +\vec{F}_{CA} \]
или

0X: F_Cx = –F_CB⋅sin α + F_CA⋅sin β,

0Y: F_Cy = –F_CB⋅cos α – F_CA⋅cos β.

Так как треугольник ABC равносторонний, то CD — это и высота, и биссектриса, и α = β = 30°. Тогда

F_Cx = 0,   F_Cy = –2F_CB⋅cos α,

\[ F_{C} =\left|F_{Cx} \right|=2F_{CB} \cdot \cos \alpha =2k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{r^{2} } \cdot \cos \alpha, \]
F_C = 8,3⋅10^–6 Н. Так как F_Cx = 0, F_Cy < 0, то сила F_С, действующая на заряд q₃, направлена против оси 0Y.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 17 October 2011, 19:26

523. Два заряженных шарика, находящихся на расстоянии r = 60 см друг от друга в вакууме, притягиваются с силой F = 0,3 Н. Суммарный заряд шариков Q = 4 мкКл. Определить заряд каждого шарика. Электрическая постоянная ε₀ = 1/(4π⋅9⋅10⁹) Ф/м.

Решение. Так как заряды точечные (по умолчанию), то сила электростатического взаимодействия
\[ F = k \cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2} } =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2}}. \;\;\; (1) \]
Шарики притягиваются, следовательно, они разноименные. Пусть |q₁| > |q₂|, тогда

|q₁| – |q₂| = Q. (2)

Решим систему уравнений. Например,
\[ \left|q_{1} \right|=Q+\left|q_{2} \right|, \;\;\; F=k\cdot \frac{\left(Q+\left|q_{2} \right|\right)\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2}}, \;\;\; \left|q_{2} \right|^{2} +Q\cdot \left|q_{2} \right|-\frac{F\cdot r^{2} }{k} =0. \]
Корни квадратного уравнения равны (учтем, что модуль заряда всегда положителен):
\[ \left|q_{2} \right|=-\frac{Q}{2} +\sqrt{\frac{Q^{2} }{4} +\frac{F\cdot r^{2} }{k} } =-\frac{Q}{2} +\sqrt{\frac{Q^{2} }{4} +4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot F\cdot r^{2} }, \]
|q₂| = 2⋅10^–6 Кл, q₂ = ±2⋅10^–6 Кл,
|q₁| = 6⋅10^–6 Кл, q₂ = ±6⋅10^–6 Кл.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 18 October 2011, 18:50

561. Какой путь по силовой линий проходит α-частица до полной остановки в однородном тормозящем электростатическом поле напряженностью Е = 2000 В/м, если начальная скорость ее υ = 2⋅10⁷ м/с. Заряд α-частицы положительный, q = 3,2⋅10^–19 Кл, ее масса m = 6,67⋅10^–27 кг.

Решение. Скорость α-частицы изменяется под действием электростатического поля. Работа поля идет на изменение кинетической энергии электрона, т.е.

A = ΔW = W_k – W_k0,

где
\[ W_{k0} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \; \; \; W_{k} =0, \]
т.к. электрон останавливается.

Работа однородного электростатического поля при перемещении заряда на расстояние s вдоль силовой линии равна

A = –q⋅E⋅s

(знак «–», так как, по условию, поле тормозит движение частицы, т.е. сила, с которой поле действует на частицу, направлена против скорости). Тогда
\[ -q\cdot E\cdot s=-\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \;\;\; s=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2q\cdot E}, \]
s = 2,1⋅10³ м.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 19 October 2011, 07:50

558. Электрон влетел в однородное электростатическое поле напряженностью Е = 1⋅10⁴ В/м со скоростью υ₀ = 8 Мм/с перпендикулярно силовым линиям. Вычислить модуль и направление скорости электрона в момент времени t₁ = 2 нc. Масса электрона m = 9,1⋅10^–31 кг, заряд e = 1,6⋅10^–19 Кл.

Решение. Так как сила F, с которой электростатическое поле действует на электрон, во много раз больше силы тяжести, то последней силой можно пренебречь. Пусть вектор напряженности направлен вверх, а электрон летит горизонтально. Совместим начало координат с точкой, в которой находился электрон в начальный момент времени, ось 0Х направим горизонтально, ось 0Y — вертикально вниз. На заряд действует со стороны электрического поля сила F = e⋅E (рис. 1), вдоль оси 0Х сил нет. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось 0Y:

0Y: m⋅a = e⋅E или

\[ a=\frac{e\cdot E}{m}. \; \; \; (1) \]

Запишем уравнения проекций скорости на выбранные оси.
 

На ось 0Х: т.к. a_x = 0, то υ_х = υ_0х = υ₀,

На оси 0Y: υ_y = υ_0y + a_y⋅t, где υ_0y = 0, a_y = a.

Тогда

υ_y = a⋅t.

Обозначим υ₁ — скорость электрона в момент времени t₁ = 2 нc. Тогда
\[ \upsilon _{1} =\sqrt{\upsilon _{1E}^{2} +\upsilon _{1C}^{2}}, \]
где υ_1x = υ₀, υ_1y = a⋅t₁. С учетом уравнения (1) получаем:
\[ \upsilon _{1} =\sqrt{\upsilon _{0}^{2} +\left(a\cdot t_{1} \right)^{2} } =\sqrt{\upsilon _{0}^{2} +\left(\frac{e\cdot E}{m} \cdot t_{1} \right)^{2}}, \]
υ₁ = 8,7⋅10⁶ м/с.

Найдем угол α (угол между направлениями начальной скорости υ₀ и скорости υ₁)
\[ {\rm tg}\alpha =\frac{\upsilon _{1y} }{\upsilon _{1x} } =\frac{a\cdot t_{1} }{\upsilon _{0} } =\frac{e\cdot E\cdot t_{1} }{m\cdot \upsilon _{0}}, \;\;\; \alpha ={\rm arctg}\frac{e\cdot E\cdot t_{1} }{m\cdot \upsilon _{0}}, \]
α = 25 °.
Угол α можно было найти и через другие уравнения, например:
\[ {\rm sin\; }\alpha =\frac{\upsilon _{1y} }{\upsilon _{1}}, \;\;\; {\rm cos\; }\alpha =\frac{\upsilon _{1x} }{\upsilon _{1}}. \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 22 October 2011, 19:34

552. Между пластинами плоского конденсатора, расположенного горизонтально, на расстоянии l = 0,8 см от нижней пластины «висит» заряженный шарик. Разность потенциалов между пластинами U₁ = 300 В. Через сколько секунд шарик упадет на нижнюю пластину, если разность потенциалов мгновенно уменьшится до U₂ = 240 В?

Решение. На каплю действуют две силы: сила тяжести (m⋅g) и сила (F), с которой электростатическое поле пластин конденсатора действует на заряженную каплю. При напряжении U₁ капля неподвижна (поэтому сила F должна компенсировать силу тяжести, следовательно, направлена вверх) (рис. 1), при напряжении U₂ падает вниз (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для каждого случая:
\[ 0=\vec{F}_{1} +m\cdot \vec{g}, \; \; \; m\cdot \vec{a}=\vec{F}_{2} +m\cdot \vec{g}, \]

0Y: 0 = F₁ – m⋅g,    –m⋅a = F₂ – m⋅g. (1)

Если обозначим q — заряд частицы, d — расстояние между пластинами конденсатора, то
\[ F_{1} =q\cdot E_{1} =q\cdot \frac{U_{1} }{d}, \; \; \; F_{2} =q\cdot \frac{U_{2} }{d}. \]
После подстановки в уравнения (1) получаем
\[ q\cdot \frac{U_{1} }{d} -m\cdot g=0, \; \; \; \frac{q}{d} =\frac{m\cdot g}{U_{1}}, \]
\[ -m\cdot a=q\cdot \frac{U_{2} }{d} -m\cdot g=\frac{m\cdot g}{U_{1} } \cdot U_{2} -m\cdot g, \; \; \; a=\frac{U_{1} -U_{2} }{U_{1} } \cdot g. \; \; \; (2) \]

Найдем время падения t₁. Совместим начало координат с нижней пластиной, ось 0Y направим вертикально вверх. Запишем уравнение движения капли вдоль оси 0Y (см. рис. 2):
\[ y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2} =l-\frac{a\cdot t^{2} }{2}. \]
Через время t = t₁ капля достигнет нижней пластины, и координата ее станет равной нулю, т.е. y = 0. С учетом уравнения (2) получаем
\[ 0=l-\frac{a\cdot t^{2} }{2}, \; \; \; t=\sqrt{\frac{2l}{a} } =\sqrt{\frac{2l\cdot U_{1} }{\left(U_{1} -U_{2} \right)\cdot g}}, \]
t = 8,9⋅10^–2 с.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 23 October 2011, 08:12

553. В вакууме между пластинами заряженного плоского конденсатора находится в состоянии равновесия заряженный шарик. Найти ускорение, с которым будет двигаться этот шарик после увеличения расстояния между пластинами на 10%. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Решение. На шарик действуют две силы: сила тяжести (m⋅g) и сила (F), с которой электростатическое поле пластин конденсатора действует на заряженное тело. При расстоянии d₁ между пластин шарик неподвижен (поэтому сила F должна компенсировать силу тяжести, следовательно, направлена вверх) (рис. 1), при расстоянии d₂ двигается с ускорением (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для каждого случая:
\[ 0=\vec{F}_{1} +m\cdot \vec{g}, \; \; \; m\cdot \vec{a}=\vec{F}_{2} +m\cdot \vec{g}, \]

0Y: 0 = F₁ – m⋅g,    m⋅a_y = F₂ – m⋅g. (1)

Пусть q — заряд частицы. Тогда (см. примечание)
\[ F_{1} =q\cdot E_{1} =q\cdot \frac{U}{d_{1}}, \;\;\; F_{2} =q\cdot \frac{U}{d_{2}}, \]
где d₂ = 1,1d₁ (по условию, расстояние между пластинами увеличилось на 10%). После подстановки в уравнения (1) получаем
\[ q\cdot \frac{U_{1} }{d} -m\cdot g=0, \; \; \; q\cdot U=m\cdot g\cdot d_{1}, \]
\[ m\cdot a_{y} =q\cdot U\cdot \frac{1}{d_{2} } -m\cdot g=\frac{m\cdot g\cdot d_{1} }{d_{2}} -m\cdot g, \]
\[ a_{y} =\left(\frac{d_{1} }{d_{2} } -1\right)\cdot g=\left(\frac{d_{1} }{1,1d_{1} } -1\right)\cdot g=-\frac{g}{11}, \]
a_y = –0,91 м/с². Знак «–» указывает, что ускорение направлено против оси 0Y, т.е. вниз.

Примечание. В условии задачи не указано подключен ли конденсатор к источнику тока или нет. Если не подключен, то изменение расстояний между пластинами не изменит напряженность поля между ними (у отключенного конденсатора заряд пластин не изменяется, а напряженность поля пластин не зависит от расстояния), и шарик останется в равновесии. Если подключен, то постоянным остается напряжение на пластинах, но изменяется напряженность поля, и сила, действующая на шарик.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 24 October 2011, 19:25

565. Шарик массой m = 2 г, имеющий положительный заряд q, начинает скользить без начальной скорости из точки А по сферической поверхности радиуса R = 10 см (рис. 1). Потенциальная энергия взаимодействия заряда q и неподвижного отрицательного заряда Q в начальный момент W_A = –2∙10^–3 Дж. Определить потенциальную энергию взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В, если в этом случае результирующая сил реакции со стороны сферической поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенная к шарику, F = 0,1 Н. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с². Трением между шариком и сферической поверхностью пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится точка В (рис. 2).
Полная энергия системы шарик-заряд Q в начальном состоянии

W₀ = m⋅g⋅h₀ + W_A,

где h₀ = R.
Полная энергия системы шарик-заряд Q в конечном состоянии
\[ W=\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} +W_{B}, \]
где υ — скорость шарика в точке В, W_B — потенциальная энергия взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В. Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения энергии:
\[ m\cdot g\cdot R+W_{A} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +W_{B}, \; \; \; W_{B} =m\cdot g\cdot R-\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +W_{A}. \; \; \; (1)  \]

На шарик действуют сила тяжести (m⋅g), сила кулоновского взаимодействия (F_k) и сила реакции опоры (N) (см. рис. 2). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось 0Y:

m⋅a_c = N – m⋅g – F_k,

где a_c = υ²/R, N – F_k = F (по условию «результирующая сил реакции со стороны сферической поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенная к шарику, F»). Тогда
\[ m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} =F-m\cdot g, \; \; \; m\cdot \upsilon ^{2} =R\cdot \left(F-m\cdot g\right).  \]

После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[ W_{B} =m\cdot g\cdot R-\frac{R\cdot \left(F-m\cdot g\right)}{2} +W_{A} =\frac{3m\cdot g-F}{2} \cdot R+W_{A}, \]
W_B = –4⋅10^–3 Дж.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 26 October 2011, 07:50

567. Атом неона ионизируется при столкновении с электроном, если энергия электрона W = 21,6 эВ (энергия ионизации). Длина свободного пробега электрона в неоновой лампе между двумя последовательными соударениями l = 1 мм. Расстояние между плоскими электродами лампы d = 1 см. Определить напряжение, при котором зажигается неоновая лампа (будет происходить процесс ионизации). Считать, что при ударе электрон полностью передает энергию атому неона. Заряд электрона e = 1,6⋅10^–19 Кл, 1 эВ = 1,6⋅10^–19 Дж.

Решение. Работа электростатического поля по перемещению электрона вдоль силовой линии равна

A = q⋅E⋅Δx,

где q = –e — заряд электрона, Δx = –l — электрон перемещается в противоположную сторону силой линии, E = U/d. Тогда
\[ A=e\cdot \frac{U}{d} \cdot l. \; \; \; (1) \]
Работа поля идет на изменение кинетической энергии электрона

A = ΔW = W_k – W_k0 = W_k,   (2)

так как при ударе электрон полностью передает энергию, т.е. останавливается, и электрическое поле дальше разгоняет электрон с нулевой скорости.
Неоновая лампа начнет светиться (будет происходить процесс ионизации), если электрическое поле в лампе сообщит электрону энергию не меньше W, т.е.

W_k ≥ W.

С учетом уравнения (1) получаем
\[ e\cdot \frac{U}{d} \cdot l\ge W, \; \; \; U\ge \frac{W\cdot d}{e\cdot l}, \]
U ≥ 216 В.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 31 October 2011, 19:36

539. Какой электрический заряд пройдет по проводам, соединяющим обкладки плоского конденсатора с зажимами аккумулятора, при погружении конденсатора в керосин? Площадь пластины конденсатора S = 150 см², расстояние между пластинами d = 5,0 мм, ЭДС аккумулятора E = 9,42 В, диэлектрическая проницаемость керосина ε₂ = 2,1.

Решение. Погружение конденсатора в керосин приведет к изменению диэлектрика конденсатора и, следовательно, к изменению его электроемкости. Запишем уравнения для электроемкости плоского конденсатора с воздухом (ε₁ = 1) и с керосином (ε₂):
\[ C_{1} \; =\frac{\varepsilon _{1} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} ,\; \; \; C_{2} \; =\frac{\varepsilon _{2} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \;\;\; (1) \]
(остальные параметры конденсатора не изменились).

Заряды на конденсаторе будут равны:

q₁ = C₁⋅U,   q₂ = C₂⋅U,   (2)

где напряжение на конденсаторах не изменилось, т.к. конденсатор подключен к зажимам аккумулятора, и U = E (сопротивлением аккумулятора, по умолчанию, пренебрегаем). Так как электроемкость конденсатора увеличилась, то увеличится и заряд на нем. Этот заряд конденсатор получит от аккумулятора, и он будет равен

Δq = q₂ – q₁.

С учетом уравнений (1)-(2) получаем
\[ \Delta q=\frac{\varepsilon _{2} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E-\frac{\varepsilon _{1} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E=\left(\varepsilon _{2} -\varepsilon _{1} \right)\cdot \frac{{\rm \; }\varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E, \]
Δq = 2,5⋅10^–10 Кл.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 05 November 2011, 09:35

545. На рис. 1 показана электрическая цепь, в которой напряжение источника U = 10 В, а конденсаторы С₁ и С₂ имеют одинаковую емкость: С₁ = С₂ = С = 10 мкФ. Какой заряд пройдет через источник после замыкания ключа К? Каким станет при этом заряд конденсатора С₁?

Решение. До замыкания ключа два конденсатора соединены последовательно (рис. 2), поэтому общая электроемкость цепи C₀₁ будет равна
\[ \frac{1}{C_{01} } =\frac{1}{C_{1} } +\frac{1}{C_{2} }, \; \; \; C_{01} =\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2}}. \]
Их общий заряд
\[ q_{01} =C_{01} \cdot U=\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2} } \cdot U.  \]

После замыкания ключа конденсатор C₁ будет закорочен (обкладки конденсатора замкнуты проводом с нулевым сопротивлением), поэтому напряжение и заряд на нем равны нулю. Общая электроемкость цепи C₀₂ (рис. 3) и общий заряд q₀₂ равны

C₀₂ = C₂, q₀₂ = C₂⋅U.

Тогда через источник тока пройдет заряд
\[ \Delta q=\left|q_{02} -q_{01} \right|=\left|C_{2} -\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2} } \right|\cdot U=\frac{C_{2}^{2} \cdot U}{C_{1} +C_{2}}, \]
Δq = 5,0⋅10^–5 Кл, q₁ = 0.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 09 February 2012, 06:30

533. В вершинах квадрата со стороной a расположены четыре заряда: два из них положительные и два отрицательные, модули зарядов одинаковы и равны q. Определить напряженность электростатического поля в точке пересечения диагоналей квадрата. Рассмотреть все возможные случаи.

Из геометрии. 1) Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.
2) Точка пересечения диагоналей O лежит на одинаковом расстоянии b от вершин квадрата.

Решение. В точке O электрическое поле создано несколькими зарядами q₁, q₂, q₃, q₄. Результирующая напряженность полей в точке О будет равна
\[ \vec{E}_{O} =\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} +\vec{E}_{3} +\vec{E}_{4}, \]
где
\[ b=\frac{a\sqrt{2}}{2}, \;\;\; E_{1} =E_{2} =E_{3} =E_{4} =\frac{k\cdot q}{b^{2}} = \frac{2k\cdot q}{a^{2}} \; \; \; (1) \]
(так как модули всех зарядов одинаковы и находятся на одном и том же расстоянии от точки О).

1 случай. Пусть заряды расположены так, как показано на рис. 1. Вектора E₁ и E₄ равны по величине, противоположны по направлению, следовательно, их векторная сумма равна нулю. Аналогично для векторов E₂ и E₃. Тогда

E_O = 0.

2 случай. Пусть заряды расположены так, как показано на рис. 2. Вектора E₁ и E₄ равны по величине, и направлены в одну сторону, следовательно, их сумма равна 2E₁. Аналогично получаем, что сумма E₂ и E₃ равна 2E₂ (рис. 3). Тогда E_O — это диагональ квадрата OBCA и ее значение равно (с учетом уравнения (1) 2E₂ = 2E₁)
\[ E_{O} =\sqrt{\left(2E_{1} \right)^{2} +\left(2E_{2} \right)^{2}} =2E_{1} \cdot \sqrt{2} = \frac{4k\cdot q\cdot \sqrt{2} }{a^{2}}. \]

Все остальные расположения зарядов будут аналогичны или случаю 1, или случаю 2.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: andrey 27 February 2012, 14:27

Интересует решение номера 550,551

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 02 March 2012, 06:54

550. Шар, диаметр которого d = 1 см и заряд q = 1∙10^–6 Кл, помещен в масло плотностью ρ₁ = 0,8∙10³ кг/м³. Плотность материала шара ρ₂ = 8,6∙10³ кг/м³. Определить направленную вертикально вверх напряженность электростатического поля, в которое надо поместить шар, чтобы он плавал в масле.

Решение. На шар действуют сила тяжести (m∙g), кулоновская сила (F_k), Архимедова сила (F_A). Запишем второй закон Ньютона для плавающего тела (рис. 1):
\[0=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{k} +\vec{F}_{A} ,\]

0Y: 0 = –m∙g + F_k + F_A,

где m = ρ₂∙V, F_A = ρ₁∙g∙V (считаем, что шар полностью в масле), F_k = q∙E, V = 4/3π∙R³ = 1/6π∙d³.

0 = –ρ₂∙V∙g + ρ₁∙g∙V + q∙E,

\[E=\frac{\rho _{2} -\rho _{1}}{q} \cdot g\cdot V=\frac{1}{6} \pi \cdot \frac{\rho _{2} -\rho _{1}}{q} \cdot g\cdot d^{3},\]
E = 4,1∙10⁴ В/м.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 02 March 2012, 06:58

551. Как изменится ускорение падающего шарика массой m = 4,0 г, если ему сообщить заряд q = 3,2∙10^–8 Кл? Напряженность электрического поля Земли Е = 120 В/м и направлена вертикально вниз.

Решение. Когда шарик был без заряда, на него действовала только сила тяжести (m∙g), и ускорение шарика равнялось g (ускорение направленно вниз). В электрическом поле на шарик действуют сила тяжести (m∙g) и кулоновская сила, которая направлена вниз (т.к. напряженность направлена вниз, а заряд положительный) (F_k). Запишем второй закон Ньютона для шарика (считаем, что ускорение будет направлено вниз) (рис. 1):
\[m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{k} ,\]

0Y: m∙a = m∙g + F_k,

где F_k = q∙E. Изменение ускорение

Δa = a – g

или
\[\Delta a=a-g=\frac{m\cdot g+q\cdot E}{m} -g=\frac{q\cdot E}{m} ,\]
Δa = 9,6∙10^–4 м/с². Увеличится.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: andrey 03 March 2012, 17:43

Если можно решение задач 532,560. Спасибо.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 06 March 2012, 16:55

532. Два разноименных заряда, модули которых   одинаковы и равны 1,8∙10^–8 Кл, расположены в двух вершинах правильного треугольника со стороной a = 2,0 м. Определить напряженность и потенциал электростатического поля в третьей вершине треугольника. Окружающая среда — воздух (ε = 1).

Решение. В правильном треугольнике все стороны равны a, а углы при вершине α = 60°. Пусть q₁ = q, q₂ = –q (два разноименных заряда, модули которых   одинаковы).
В третьей вершине треугольника (точке С) электрическое поле создано двумя зарядами q₁ и q₂, расположенных в точках A и B (рис. 1). Потенциал электрического поля в точке С найдем по принципу суперпозиции:
\[\varphi =\varphi _{1} +\varphi _{2} =\frac{k\cdot q_{1} }{a} +\frac{k\cdot q_{2} }{a} =\frac{k\cdot q}{a} -\frac{k\cdot q}{a} =0,\]
где φ₁ и φ₂ — потенциалы электростатического поля в точке С, созданные зарядами q₁ и q₂.

Результирующая напряженность полей в точке С (см. рис. 1) найдем так же по принципу суперпозиции
\[\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} ,\; \; \; E_{1} =k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|}{a^{2} } =k\cdot \frac{q}{a^{2} } ,\; \; \; E_{2} =k\cdot \frac{\left|q_{2} \right|}{a^{2} } =k\cdot \frac{q}{a^{2} } ,\; \; \; E_{1} =E_{2} ,\]
где Е₁ и Е₂ — напряженности полей в точке С, созданные зарядами q₁ и q₂.
Значение вектора Е найдем из ΔCDF по теореме косинусов (учтем, что угол α = 60°):
\[E=\sqrt{E_{1}^{2} +E_{2}^{2} -2E_{1} \cdot E_{2} \cdot \cos \alpha } =\sqrt{2E_{1}^{2} -2E_{1}^{2} \cdot \frac{1}{2} } =E_{1} =\frac{k\cdot q}{a^{2} },\]
E = 40,5 В/м.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 06 March 2012, 17:18

560. Электрон, двигаясь в вакууме по силовой линии электрического поля, полностью теряет свою скорость между точками с разностью потенциалов U = 400 В. Определить, какой была скорость электрона, когда он попал в электрическое поле. Заряд электрона e = 1,6∙10^–19 Кл, масса электрона m_е = 9,1∙10^–31 кг.

Решение. Скорость электрона уменьшается под действием электростатического поля. Работа поля идет на изменение кинетической энергии электрона, т.е.

A = ΔW_k = W_k – W_k0,

где W_k = 0, т.к. электрон останавливается,  \( W_{k0} =\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2}. \)

Работа электростатического поля при перемещении заряда q от одной точки к другой связана с разностью потенциалов U между этими точках соотношением

A = q∙U,

где q = –e. Тогда
\[-e\cdot U=-\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{0} =\sqrt{\frac{2e\cdot U}{m_{e}}},\]
υ₀ = 1,2∙10⁷ м/с.
Примечание. Эта скорость составляет 1/25 часть скорости света, поэтому релятивистские эффекты не будем учитывать.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: andrey 11 March 2012, 12:33

571.572.573 Спасибо

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 11 March 2012, 17:34

571. На плоский воздушный конденсатор подается напряжение U₁ = 2,0 кВ. Площадь каждой пластины S = 0,24 м², расстояние между ними d₁ = 50 мм. После зарядки конденсатор отключают от источника и затем раздвигают его обкладки так, что расстояние d₂ между ними становится равным 1,5 см. Определить работу, совершенную при раздвигании обкладок конденсатора.

Решение. Так как при раздвигании обкладок конденсатор отключают от источника, то на конденсаторе не изменяется электрический заряд. Исходя из этого найдем напряжение U₂:

q = C₁∙U₁ = C₂∙U₂,

\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d}, \; \; \; U_{2} =\frac{C_{1} }{C_{2} } \cdot U_{1} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{1} } \cdot \frac{d_{2} }{\varepsilon _{0} \cdot S} \cdot U_{1} =\frac{d_{2} }{d_{1} } \cdot U_{1}, \;\;\; (1) \]
где ε = 1 (конденсатор воздушный).
Работа по раздвиганию обкладок конденсатора — это работа внешних сил. Она равна изменению энергии конденсатора при раздвигании:

А = ΔW = W₂ – W₁,

где (с учетом уравнения (1))
\[W_{1} =\frac{C_{1} \cdot U_{1}^{2} }{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{1} } \cdot \frac{U_{1}^{2} }{2} ,\; \; \; W_{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{2} } \cdot \frac{U_{2}^{2} }{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot d_{2} \cdot U_{1}^{2} }{2d_{1}^{2} } .\]
Тогда
\[A=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot d_{2} \cdot U_{1}^{2} }{2d_{1}^{2} } -\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{1} } \cdot \frac{U_{1}^{2} }{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot U_{1}^{2} }{2d_{1} } \cdot \left(\frac{d_{2} }{d_{1} } -1\right),\]
A = 1,7∙10^–3 Дж.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 12 March 2012, 19:36

572. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, соединили параллельно с таким же незаряженным конденсатором. Определить изменение энергии системы после соединения.

Решение. Определим энергию двух конденсаторов до соединения:
\[W_{1} =\frac{C\cdot U^{2} }{2} +0=\frac{C\cdot U^{2} }{2} \; \; \; (1)\]
(второй конденсатор был не заряжен).

Определим энергию двух конденсаторов после соединения.
При соединении конденсаторов выполняется закон сохранения электрического заряда (конденсаторы отключены от источника тока), т.е.

q₁ + q₂ = q,

где q₁ = C∙U, q₂ = 0 —заряды на конденсаторах до соединения, q — суммарный заряд на конденсаторах после соединения. Тогда

q = q₁ = C∙U.   (2)

При параллельном соединении двух конденсаторов емкости С получим батарею емкостью С₀ = 2C. Тогда энергия двух конденсаторов после соединения (с учетом уравнения (2)) равна:
\[W_{2} =\frac{C_{0} \cdot U_{0}^{2} }{2} =\frac{q^{2} }{2C_{0} } =\frac{\left(C\cdot U\right)^{2} }{4C} =\frac{C\cdot U^{2}}{4}. \; \; \; (3)\]

С учетом уравнений (1) и (3) получаем, что изменение энергии системы после соединения равно:
\[\Delta W=W_{2} -W_{1} =\frac{C\cdot U^{2} }{4} -\frac{C\cdot U^{2} }{2} =-\frac{C\cdot U^{2}}{4}.\]
Знак «–» указывает на то, что энергия системы уменьшилась.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 13 March 2012, 17:43

573. Конденсатор емкость С = 100 мкФ заряжают постоянным током через резистор, сопротивление которого R = 100 кОм. Через какое время после начала зарядки энергия, запасенная в конденсаторе, станет равной энергии, выделенной в резисторе?

Решение. Пусть Δt₁ — это промежуток времени, за которое энергия, запасенная в конденсаторе, станет равной энергии, выделенной в резисторе; Δq₁ — это заряд конденсатора через Δt₁.
Так как конденсатор заряжают постоянным током I (см. примечание), то

Δq₁ = I∙Δt₁.

Конденсатор и резистор соединены последовательно (рис. 1), поэтому такой же ток I пройдет через резистор. Тогда энергия конденсатора W_k и энергия W_r, выделенная на резисторе, будут равны:
\[\begin{array}{r} {W_{k} =\frac{\Delta q_{1}^{2} }{2C} =\frac{\left(I\cdot \Delta t_{1} \right)^{2} }{2C},\; \; \; W_{r} =I^{2} \cdot R\cdot \Delta t_{1} ,} \\ {\frac{\left(I\cdot \Delta t_{1} \right)^{2} }{2C} =I^{2} \cdot R\cdot \Delta t_{1}, \; \; \; \Delta t_{1} =2C\cdot R,} \end{array}\]
Δt₁  = 20 с.
Примечание. Словосочетание «заряжают постоянным током» можно понимать по разному:
1) заряжают током с постоянной силой тока I. Решение задачи основано на этом понимании;
2) заряжают от источника не переменного тока. В этом случае сила тока в цепи будет изменяться и решение задачи будет другое. Но для решения понадобятся еще параметры источника тока (ЭДС, внутреннее сопротивление).

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: iliya 04 April 2012, 20:39

ПОЖАЛУЙСТА!!!!
 помогите решить задачу №524 .

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 06 April 2012, 21:31

524. В каждой вершине квадрата находится положительный заряд q. Какой заряд следует поместить в центре квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии?
Решение: система зарядов в равновесии означает, что сумма сил, действующих на каждый заряд со стороны других должна быть равна нулю. На заряд, помещённый в центр, какой бы он ни был, сумма сил всегда будет равна нулю (все заряды в вершинах одинаковые, расстояние от них, до центра квадрата одинаково, поэтому силы кулоновского взаимодействия равны и попарно противоположно направлены – они скомпенсируют друг друга). Т.к. все вершины равноправны, достаточно проверить условие равновесия только для одной. Заряды в вершинах – положительные, между ними действуют кулоновские силы отталкивания, тогда в цент квадрата нужно поместить отрицательный заряд такой, чтобы сумма сил, действовавших на заряд в вершине,  стала равной нулю. Пусть это будет заряд q₀. Сделаем рисунок.
 На заряд в первой вершине действуют силы: F₂, F₃ , F₄  – силы со стороны зарядов, расположенных в остальных вершинах, F₀ – сила со стороны заряда, расположенного в центре квадрата. Сложим силы F₂, и F₄  (вектора под прямы углом, сумму F_2,4 можно определить по теореме Пифагора):
\[ F_{2,4} =\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2}}. \]
Вектор F3 направлен так же, как и вектор F2,4, тогда их сумма:
\[ F_{3} +F_{2,4} =F_{3} +\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2}}. \]
Вектор F0 должен быть равен по модулю (противоположен по направлению) этой сумме, тогда:
\[ F_{0} =F_{3} +\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2}}. \]
Распишем силы по закону Кулона:
\[ F=\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}. \]
 q₁ и q₂  -взаимодействующие заряды, r – расстояние между ними. Учтём, что сторона квадрата равна a, расстояние от центра квадрата до вершины r = a√2/2, тогда:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q_{0} \cdot q}{r^{2} } =\frac{k\cdot q\cdot q}{\left(2r\right)^{2} } +\sqrt{\left(\frac{k\cdot q\cdot q}{0^{2} } \right)^{2} +\left(\frac{k\cdot q\cdot q}{0^{2} } \right)^{2} } ,} \\ {\frac{2\cdot k\cdot q_{0} \cdot q}{a^{2} } =\frac{k\cdot q\cdot q}{2a^{2} } +\sqrt{2} \cdot \frac{k\cdot q\cdot q}{0^{2} } ,} \\ {q_{0} =\frac{1+2\sqrt{2} }{4} \cdot q.} \end{array} \]
Ответ: q₀ < 0, и \( q_{0} =\frac{1+2\sqrt{2} }{4} \cdot q \).

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: iliya 09 April 2012, 18:58

спасибо.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 13 August 2012, 21:24

521. В воздухе на тонкой непроводящей нити подвешен шарик массой m = 2,0 г, имеющий заряд q₁ = 20 нКл. Снизу на расстоянии r = 50 мм по вертикали от него укреплен одноименный заряд q₂ = 120 нКл. Точка подвеса, заряд и шарик находятся на одной прямой. Определить силу натяжения нити.
Решение.
На шарик действуют сила тяжести mg, кулоновская сила (одноименные заряды отталкиваются), сила натяжения нити. В результате действия всех сил, шарик находится в равновесии. Рассмотрим проекции сил на ось OY.

F_k + T - m·g = 0
T = m·g - F_k

Учитывая, что
\[ {{F}_{k}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}^{2}}} \]
Тогда с учетом этого перепишем
\[ T=m\cdot g-\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}^{2}}} \]
Ответ:1.1·10^-2 Н

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 13 August 2012, 21:32

525. Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые заряды q = 3,3·10^-6 Кл,
подвешены на одной высоте на тонких невесомых нитях равной длины. На одинаковом расстоянии от этих шариков и на h = 20 см ниже их расположен заряд Q. Определить этот заряд, если известно, что нити висят вертикально, а расстояние между ними d = 30 см.
Решение.
Одноименные заряды q₁ и q₂ (q₁ = q₂ = q) отталкиваются. Поскольку нити висят вертикально, то заряд Q должен быть отрицательным, чтобы компенсировать силу отталкивания между одноименными зарядами.
На заряд q₂ действуют силы F₁ - взаимодействия между зарядами q₁ и q₂ и F₂ – взаимодействия между Q и q₂
Под действием этих сил шарик находится в равновесии. Направим ось ОХ по направлению действия силы F₁ и рассмотрим проекции сил на эту ось.
F₁ = F₂·cosα.
Силы F₁ и F₂ определим из закона Кулона
\[ {{F}_{1}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{d}^{2}}};{{F}_{2}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Q\cdot q}{A{{C}^{2}}} \]
Расстояние АС и cosα найдем из прямоугольного треугольника АВС
\[ \begin{align}
  & AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{d}^{2}}}{4}} \\
 & \cos \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{\frac{d}{2}}{\sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{d}^{2}}}{4}}}=\frac{d}{\sqrt{4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}}}} \\
\end{align}
 \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & \frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{d}^{2}}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| Q \right|\cdot \left| q \right|}{\frac{4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}}}{4}}\cdot \frac{d}{\sqrt{4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}}}} \\
 & \frac{{{q}^{2}}}{4\cdot {{d}^{2}}}=\frac{\left| Q \right|\cdot \left| q \right|\cdot d}{\sqrt{{{\left( 4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}^{3}}}} \\
 & Q=-\frac{q}{4\cdot {{d}^{3}}}\cdot \sqrt{{{\left( 4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}^{3}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ:-3.8·10^-6 Кл

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 13 August 2012, 21:37

526. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной а = 30 см находятся заряды q = 2·10^-7 Кл. Найти напряженность электростатического поля в двух других вершинах квадрата.
Решение.
Модуль напряженности поля, созданного точечным зарядом q на расстоянии r от него равен
 \[ E=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}} \]
Если поле создано системой точечных зарядов, то имеет место принцип суперпозиции полей: напряженность поля в любой точке пространства равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами. Поскольку q₁ = q₂, то Е₁ = Е₂ = Е. Тогда
 \[ \begin{align}
  & {{E}_{0}}=\sqrt{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}}=\sqrt{2\cdot {{E}^{2}}}=\sqrt{2}\cdot E \\
 & {{E}_{0}}=\frac{\sqrt{2}\cdot q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{a}^{2}}} \\
\end{align}
 \]

Напряженность поля в другой вершине рассчитывается аналогично
Ответ: 3·10⁴ В/м

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 14 August 2012, 21:04

533. В вершинах квадрата со стороной a расположены четыре заряда: два из них положительные и два отрицательные, модули зарядов одинаковы и равны q. Определить напряжённость электростатического поля в точке пересечения диагоналей квадрата. Рассмотреть все возможные случаи.
Решение: возможны два случая, на концах диагонали квадрата находятся одноимённые заряды, либо на концах диагонали разноимённые. Оба варианта изображены на рисунке.
Напряжённость электростатического поля точечного заряда:
\[ E=\frac{k\cdot q}{r^{2}}. \]
Здесь k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл² – коэффициент пропорциональности, q – заряд, создающий поле, r – расстояние от заряда до точки, в которой рассчитывается напряжённость поля (в нашем случае половина диагонали квадрата) т.е.
\[ r=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Напряжённость электростатического поля системы зарядов подчиняется принципу суперпозиции:
\[ \vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} +\vec{E}_{3} +\vec{E}_{4}. \]
Все заряды равны по модулю, расстояние от них до центра одинаковое, поэтому напряжённости равны по модулю.
\[ E_{1} =E_{2} =E_{3} =E_{4} =\frac{2\cdot k\cdot q}{a^{2}}. \]
Ситуация 1. Положительные заряды создают поле, напряжённость которого направлена «от них», отрицательные – «к ним» (см. рис.). Вектора напряжённости попарно компенсируют друг друга, и суммарная напряжённость в центре квадрата будет равна нулю.
Ситуация 2. Векторы напряженности E₁ и E₃ совпадают по направлению, тогда их сумма равна:
\[ E_{13} =E_{1} +E_{3} =2\cdot \frac{2\cdot k\cdot q}{a^{2}}. \]
Тоже самое и вектора напряжённости E₂ и E₄, и их сумма равна:
\[ E_{24} =E_{2} +E_{4} =2\cdot \frac{2\cdot k\cdot q}{a^{2}}. \]
Искомую напряжённость в центре определим по теореме Пифагора:
\[ E=\sqrt{E_{13}^{2} +E_{24}^{2} } =\frac{4\cdot k\cdot q}{a^{2} } \cdot \sqrt{2} \].
Ответ: E = 0, если в диагонально противоположных вершинах находятся одноимённые заряды и \( E=\frac{4\cdot k\cdot q}{a^{2}} \cdot \sqrt{2} \), если разноимённые.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 14 August 2012, 21:10

534. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда q = 2∙10^-8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r = 1 см от поверхности проводящего шара радиуса R  = 1 см  с поверхностной плотностью заряда σ = 1∙10^-9 Кл/см²?
Решение: система зарядов (точечного и заряженного шара) не замкнута т.к. в системе есть внешняя сила, которая движет заряды. Работа внешней силы равна изменению энергии системы. В нашем случае – изменению потенциальной энергии электростатического взаимодействия зарядов.

A = ΔW_p = W₂ – W₁.

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия
\[ W_{p} =\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2}}{r}. \]
Здесь k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл² – коэффициент пропорциональности, q₁ = q   - точечный заряд, q₂  - заряд проводящего шара, r – расстояние между зарядами.
В нашем случае:
расстояние r₁ = ∞, т.е потенциальная энергия W₁ = 0, 
расстояние r₂ = R + r. 
Заряд проводящего шара найдём через поверхностную плотность заряда и площадь поверхности шара
\[ q_{2} =\sigma \cdot S=\sigma \cdot 4\pi \cdot R^{2}. \]
Тогда искомая работа
\[ A=\frac{k\cdot q\cdot \sigma \cdot 4\pi \cdot R^{2} }{R+r} =\frac{q\cdot \sigma \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \left(R+r\right)}. \]
Вторя запись ответа  - подставлено выражение для коэффициента пропорциональности
\[ k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} =9\cdot 10^{9}. \]
Ответ: 1,1∙10^-8 Дж

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 15 August 2012, 10:36

535. Металлический шар радиуса R₁ = 5,0 см заряжен до потенциала φ = 150 В. Чему равна напряжённость поля в точке, находящейся на расстоянии r = 10 см от поверхности шара? Какова будет напряжённость поля в этой точке, если данный шар соединить тонкой проволокой с незаряженным шаром, радиус которого R₂ = 10 см, а затем второй шар убрать?
Решение: напряжённость электростатического поля равномерно заряженной сферы (шара) определяется следующим образом:
\[ E=\frac{\left|q\right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot a^{2} } =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \left(R_{1} +r\right)^{2}}. \]
Здесь a =  R₁ + r – расстояние от центра шара до точки, в которой рассчитывается напряжённость поля, ε = 1 – диэлектрическая проницаемость окружающей среды (нет оговорок в условии, поэтому будем считать, что шар находится в вакууме), ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м  - электрическая постоянная, q – заряд шара, который определим, зная его потенциал:
\[ \begin{array}{l} {\phi =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot R_{1} } ,} \\ {q=\phi \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1}} \end{array} \]
Тогда напряжённость поля заряженного шара равна
\[ E_{1} =\frac{\phi \cdot R_{1} }{\left(R_{1} +r\right)^{2}}. \]
Ситуация вторая, шар соединили тонкой проволокой с другим шаром. В этом случае потенциалы шаров станут одинаковыми, и суммарный заряд системы останется без изменений (система двух шаров замкнута). Воспользуемся законом сохранения заряда.
\[ q=q_{1} +q_{2}. \]
Здесь q – заряд первого шара до соединения (мы его уже определили выше, воспользовавшись определением потенциала), q₁ – заряд первого шара после соединения со вторым, q₂ – заряд второго шара, который он приобрёл, после соединения с первым. Пусть потенциал шаров после соединения станет равным φ₁, тогда, снова воспользовавшись определением потенциала шара, перепишем закон сохранения заряда
\[ \begin{array}{l} {\phi \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1} =\phi _{1} \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1} +\phi _{1} \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2} ,} \\ {\phi \cdot R_{1} =\phi _{1} \cdot \left(R_{1} +R_{2} \right),} \\ {\phi _{1} =\frac{\phi \cdot R_{1} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)}.} \end{array} \]
Зная потенциал первого шара после соединения, найдём его заряд
\[ q_{1} =\phi _{1} \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1} =\frac{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \phi \cdot R_{1}^{2} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)}. \]
Тогда напряжённость поля шара в точке после соединения и удаления второго шара, равна:
\[ E_{2} =\frac{\phi \cdot R_{1}^{2} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)\cdot \left(R_{1} +r\right)^{2}}. \]
Ответ: 3,3∙10² В/м, 1,1∙10² В/м.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 15 August 2012, 10:39

536. Какую работу требуется совершить для того, чтобы два одноимённых заряда q₁ = 2 мкКл и q₂ = 3 мкКл, находящихся в воздухе (ε = 1) на расстоянии r₁ = 60 см друг от друга, сблизить до расстояния r₂ = 30 см?
Решение: работа по сближению зарядов будет равна работе электростатического поля, взятой с противоположным знаком (внешняя сила совершает работу против сил электростатического отталкивания одноимённых зарядов при сближении). Будем считать, что двигаем первый заряд в электростатическом поле, созданным вторым зарядом, из точки с потенциалом φ₁ на расстоянии r₁ от второго заряда в точку с потенциалом φ₂ на расстоянии r₂ от второго заряда, тогда:
\[ A=-A_{ep} =-q_{1} \cdot \left(\phi _{1} -\phi _{2} \right)=q_{1} \cdot \left(\phi _{2} -\phi _{1} \right). \]
Потенциал поля точечного заряда
\[ \phi =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot r}. \]
Здесь r – расстояние до точки, в которой рассчитывается потенциал поля, ε  – диэлектрическая проницаемость окружающей среды (ε = 1 по условию), ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м  - электрическая постоянная, q – заряд, создающий поле. Тогда искомая работа
\[ A=q_{1} \cdot \left(\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot r_{2} } -\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot r_{1} } \right)=\frac{q_{1} \cdot q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon } \cdot \left(\frac{1}{r_{2} } -\frac{1}{r_{1}} \right). \]
Ответ: 9∙10^-2 Дж.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 15 August 2012, 17:47

527. Расстояние между зарядами диполя l = 2 мкм, а напряженность поля в точке, удаленной от каждого заряда на расстояние d = 1 см, Е = 2 В/м. Вычислить модуль зарядов диполя.
Решение.
Электрический диполь – система двух равных по величине зарядов +q и –q, находящихся на расстоянии друг от друга. Согласно принципа суперпозиции полей, в рассматриваемой точке напряженность поля равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами +q и –q. Е₊ = Е_- = E_+/-, так как расстояния от зарядов до рассматриваемой точки равны и сами заряды равны по модулю. Воспользуемся теоремой косинусов
\[ \begin{align}
  & {{E}^{2}}=E_{+}^{2}+E_{-}^{2}-2\cdot {{E}_{+}}\cdot {{E}_{-}}\cdot \cos \alpha  \\
 & {{E}^{2}}=2\cdot E_{+/-}^{2}\cdot \left( 1-\cos \alpha  \right)(1) \\
\end{align}
 \]
Запишем теорему косинусов для «большого» треугольника

l² = d² + d² - 2·d·d·cosα
l² = 2·d² ·(1 – cosα) (2)

Выразим из уравнения (2) (1 – cosα) и подставим в (1).
\[ {{E}^{2}}=2\cdot E_{+/-}^{2}\cdot \frac{{{l}^{2}}}{2\cdot {{d}^{2}}}=\frac{E_{+/-}^{2}\cdot {{l}^{2}}}{{{d}^{2}}} \]
Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии d от него равен
\[ {{E}_{+/-}}=k\cdot \frac{q}{{{d}^{2}}} \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & {{E}^{2}}=\frac{{{k}^{2}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{d}^{4}}}\cdot {{l}^{2}}}{{{d}^{2}}}=\frac{{{k}^{2}}\cdot {{q}^{2}}\cdot {{l}^{2}}}{{{d}^{6}}} \\
 & {{q}^{2}}=\frac{{{d}^{6}}\cdot {{E}^{2}}}{{{k}^{2}}\cdot {{l}^{2}}};q=\frac{{{d}^{3}}\cdot E}{k\cdot l} \\
\end{align}
 \]
С учетом того, что
\[ \begin{align}
  & k=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}} \\
 & q=\frac{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{d}^{3}}\cdot E}{l} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 1·10-10 Кл

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 15 August 2012, 17:52

530. Шарик массой m = 0,1 г, имеющий заряд q = 9,8 нКл, подвешен на нити в однородном электростатическом поле, напряженность которого направлена горизонтально, а ее модуль Е = 1·10⁵ В/м. Найти угол отклонения нити от
вертикали.
Решение.
На шарик действуют: сила F с которой поле действует на заряд, сила тяжести mg и сила натяжения нити Т. Шарик находится в равновесии, поэтому
\[ \begin{align}
  & \overset{\to }{\mathop{F}}\,+m\overset{\to }{\mathop{g+}}\,\overset{\to }{\mathop{T}}\,=0 \\
 & OX:F-T\cdot \sin \alpha =0;F=T\cdot \sin \alpha (1) \\
 & OY:T\cdot \cos \alpha -mg=0;mg=T\cdot \cos \alpha (2) \\
\end{align}
 \]
Разделим первое уравнение на второе и учтем, что

F = q·E

\[ \begin{align}
  & tg\alpha =\frac{q\cdot E}{m\cdot g} \\
 & \alpha =arctg\frac{q\cdot E}{m\cdot g}={{45}^{\circ }} \\
\end{align}
 \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 15 August 2012, 17:55

529. По поверхности проводящего шара равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ. Найти напряженность поля в точке, находящейся от поверхности шара на расстоянии, равном его диаметру. Электрическая постоянная равна ε₀.
Решение.
Модуль напряженности поля, созданного равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R и зарядом q на расстоянии r от центра сферы равен
\[ E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}:r>R \]
По условию задачи r = 3R. Заряд определим используя поверхностную плотность
\[ \begin{align}
  & \sigma =\frac{q}{S};q=\sigma \cdot S \\
 & q=\sigma \cdot 4\cdot \pi \cdot {{R}^{2}} \\
\end{align}
 \]
Здесь мы учли, что площадь сферы S = 4·π·R².
Тогда
\[ E=\frac{\sigma \cdot 4\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot 9\cdot {{R}^{2}}}=\frac{\sigma }{9\cdot {{\varepsilon }_{0}}} \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 15 August 2012, 18:00

528. Две бесконечные одноименно и равномерно заряженные плоскости пересекаются под прямым углом. Найти напряженность электростатического поля в точке А, расположенной вблизи линии пересечения. Поверхностная плотность заряда σ = 1,0 ·10^-9 Кл/м² и одинакова для обеих плоскостей. Плоскости находятся в воздухе (ε = 1). Электрическая постоянная ε₀ = 8,85 ·10^-12 Ф/м.
Решение
Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке
\[ E=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}} \]
Горизонтальная плоскость создает в точке А поле напряженностью Е1. Вертикальная плоскость создает в точке А поле напряженностью Е2. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке А равна геометрической сумме напряженностей Е1 и Е2. Так как векторы Е1 и Е2 взаимно перпендикулярны и равны по модулю, то
\[ E=\sqrt{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}}=\sqrt{2}\cdot E=\frac{\sqrt{2}\cdot \sigma }{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon } \]
Результирующая напряженность  направлена под углом 45 градусов к горизонту.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 15 August 2012, 18:06

531. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые заряды q₁ = q₂ = q = 4 мкКл. Какой точечный заряд необходимо поместить в середину стороны, соединяющей заряды q₁ и q₂, чтобы напряженность электростатического поля в третьей вершине треугольника оказалась равной нулю?
Решение.
Одинаковые заряды q₁ и q₂ создают в третей вершине треугольника соответствующие напряженности
\[ {{E}_{1}}={{E}_{2}}=E=k\cdot \frac{q}{{{a}^{2}}} \]
Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность Е₀ в этой вершине равна геометрической сумме  напряженностей Е₁ и Е₂. Для того, чтобы напряженность в третей вершине треугольника была равна нулю, в средину стороны, соединяющей заряды q₁ и q₂ следует поместить отрицательный заряд (см. рисунок), который создаст напряженность Е₃, равную по модулю и противоположную по направлению Е₀
Для нахождения Е₀ применим теорему косинусов к треугольнику напряженностей  и учтем, что углы равностороннего треугольника равны 60 градусов. а – сторона треугольника
\[ \begin{align}
  & E_{0}^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos 60 \\
 & {{E}_{0}}=\sqrt{3\cdot {{E}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot q}{{{a}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Для нахождения расстояния r₃ от заряда q₃ к третей вершине треугольника применим теорему косинусов к треугольнику АВС
\[ r_{3}^{2}=\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}-2\cdot \frac{a}{2}\cdot a\cdot \cos 60=\frac{3\cdot {{a}^{2}}}{4} \]
Приравняем Е0 и Е3
\[ \begin{align}
  & \frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot q}{{{a}^{2}}}=k\cdot \frac{\left| {{q}_{3}} \right|}{\frac{3\cdot {{a}^{2}}}{4}} \\
 & {{q}_{3}}=-\frac{3\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot q \\
\end{align}
 \]
Ответ: -5 мкКл

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 16 August 2012, 08:53

537. В цепи, показанной на рис. 170, разность потенциалов между точками A и В U = 250 В. Ёмкости конденсаторов C₁ = 1,5 мкФ, С₂ = 3,0 мкФ, С₃ = 4,0 мкФ. Найти суммарный заряд на обкладках конденсаторов С1, С2 и С3.
Решение: как видно из рисунка, между точками А и В включено три конденсатора: конденсаторы С1 и С2 последовательно, а конденсатор С3 параллельно к ним. Найдём общую ёмкость батареи конденсаторов, используя формулы для расчёта общей ёмкости при последовательном и параллельном соединениях  конденсаторов:
\[ C=\left(\frac{1}{C_{1}} +\frac{1}{C_{2}} \right)^{-1} +C_{3} =\frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} +C_{2}} +C_{3}. \]
Теперь воспользуемся понятием электрической ёмкости и определим суммарный заряд, запасённый батареей конденсаторов
\[ \begin{array}{l}{C=\frac{q}{U},} \\ {q=U\cdot \left(\frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} +C_{2}} +C_{3} \right).} \end{array} \]
Ответ: 1,25∙10^-3 = 1,3∙10^-3 Кл.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 16 August 2012, 08:58

538. Найти ёмкость батареи, состоящей из двух последовательно соединённых конденсаторов (рис. 171), если известны площадь S каждой обкладки конденсатора, расстояние d между обкладками каждого их конденсаторов, диэлектрическая проницаемость ε изолятора, заполняющего половину конденсатора (краевые эффекты во внимание не принимать).
Решение: конденсатор, наполовину заполненный диэлектриком (по условию), можно рассмотреть как систему двух конденсаторов: один с диэлектриком, а другой без него.
Рассмотрим первый конденсатор (см. рис. 171). Его можно представить как два параллельно соединённых конденсатора, ёмкостью C₁ и С₂,  с площадью пластин S/2, расстоянием между пластинами d, причём один пустой, а второй полностью заполнен диэлектриком. Рассмотрим второй конденсатор. Его можно представить  как два последовательно соединённых конденсатора ёмкостью C₃ и С₄, с площадью пластин S каждый, расстоянием между пластинами d/2, причём один пустой, а второй полностью заполнен диэлектриком. Поэтому перерисуем соединение с учётом вышесказанного (см. рис.). Ёмкость плоского конденсатора можно определить, зная площадь пластин, расстояние между ними, электрическую постоянную ε₀ = 8,85∙10-12 Ф/м, и диэлектрическую проницаемость ε изолятора:
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}. \]
Применим эту формулу для расчёта ёмкости каждого из четырёх конденсаторов с учётом вышесказанного:
\[ C_{1} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d\cdot 2},C_{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d\cdot 2},C_{3} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot 2}{d},C_{4} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S\cdot 2}{d}. \]
Найдём ёмкость батареи конденсаторов, используя формулы для расчёта общей ёмкости при последовательном и параллельном соединениях  конденсаторов:
\[ C=C_{1}+C_{2}+\left(\frac{1}{C_{3}}+\frac{1}{C_{4}}\right)^{-1} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d\cdot 2} +\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d\cdot 2} +\left(\frac{d}{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot 2} +\frac{d}{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S\cdot 2} \right)^{-1}. \]
После преобразований, получим ответ:
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot \left(\left(1+\varepsilon \right)^{2} +4\varepsilon \right)}{2\cdot d\cdot \left(1+\varepsilon \right)}.  \]
Примечание: полученный ответ не сходится с ответом в сборнике. В решении ошибку не нашёл

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 16 August 2012, 16:58

540. Конденсатор емкостью С₁ = 2 мкФ заряжают до напряжения U₁ = 110 В. Затем, отключив от источника тока, замыкают этот конденсатор на конденсатор неизвестной емкости, который при этом заряжается до напряжения U₂ = 44 В. Определить емкость второго конденсатора.
Решение.
При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи:
C = C₁ +C₂
При параллельном соединении конденсаторов на их обкладках установится одинаковое напряжение, а общий заряд равен сумме зарядов

Q = q₁ + q₂= C₁·U₂ + C₂·U₂

Так как второй конденсатор не был заряжен, то общий заряд равен заряду первого конденсатора:

Q = C₁·U₁

Из этого следует, что

C₁·U₁ = C₁·U₂ + C₂·U₂

\[ {{C}_{2}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot \left( {{U}_{1}}-{{U}_{2}} \right)}{{{U}_{2}}} \]
Ответ: 3 мкФ

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 16 August 2012, 17:26

541. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между обкладками которого d₁ = 1 см, зарядили до разности потенциалов U₁ = 100 В, а затем отключили от источника напряжения и раздвинули обкладки до расстояния d₂ = 2 см. Определить разность потенциалов между обкладками после того, как их раздвинули.
Решение.
Емкость конденсатора в первом и втором случае равны соответственно
\[ {{C}_{1}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}};{{C}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}} \]
Конденсатор воздушный, поэтому ε = 1.
Под емкостью конденсатора понимают физическую величину, численно равную отношению заряда конденсатора q к разности потенциалов между его обкладками. Поскольку при отключении конденсатора от источника напряжения заряд на нем не изменяется, то
\[ \frac{q}{{{U}_{1}}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}};\frac{q}{{{U}_{2}}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}} \]
Решив систему уравнений, получим
\[ {{U}_{2}}=\frac{{{U}_{1}}\cdot {{d}_{2}}}{{{d}_{1}}}  \]
Ответ: 200 В

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 17 August 2012, 21:37

546. Между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора подвешен на тонкой шёлковой нити маленький шарик, несущий заряд q₀ = 3,0 нКл. Какой заряд надо сообщить конденсатору, чтобы нить составила с вертикалью угол α = 45º? Масса шарика m = 4,0 г, площадь каждой пластины конденсатора S = 314 см².
Решение: если сообщить заряд конденсатору, между его обкладками возникнет электрическое поле, которое будет действовать силой на заряженный шарик, и он отклонится от вертикали. На шарик действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити, F – сила со стороны электростатического поля конденсатора (см. рис). Шарик находится в равновесии, это означает, что сумма всех сил, действующих на него равна нулю
\[ \vec{T}+m\vec{g}+\vec{F}=0. \]
Спроецируем условие равновесия на выбранную систему координат, учтём, что сила, действующая на заряд со стороны поля, равна

F = q₀∙E,

где E – напряжённость электростатического поля, созданного заряженным конденсатором.
\[ \begin{array}{l} {x:-T\cdot \sin \alpha +q_{0} \cdot E=0,T\cdot \sin \alpha =q_{0} \cdot E,} \\ {y:T\cdot \cos \alpha -mg=0,T\cdot \cos \alpha =mg.} \end{array} \]
Разделив уравнения, выразим напряжённость поля:
\[ \begin{array}{l} {\frac{T\cdot \sin \alpha }{T\cdot \cos \alpha } =\frac{q_{0} \cdot E}{mg} ,} \\ {E=\frac{mg\cdot tg\alpha }{q_{0} } .} \end{array} \]
С другой стороны электроёмкость конденсатора по определению:
\[ C=\frac{q}{U}. \]
Здесь q – заряд конденсатора, U – напряжение между обкладками, которое связано с напряжённостью

U = E∙d

Где d – расстояние между пластинами. Ёмкость плоского конденсатора можно также определить, зная площадь пластин, расстояние между ними, электрическую постоянную ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м, и диэлектрическую проницаемость ε изолятора (в нашем случае воздух, ε = 1):
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d}. \]
Тогда получим для напряжённости
\[ \begin{array}{l} {\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d} =\frac{q}{E\cdot d}} \\ {E=\frac{q}{\varepsilon _{0} \cdot S}.} \end{array} \]
Приравняв полученные выражения для напряжённости, найдём заряд
\[ q=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot mg}{q_{0}} \cdot tg\alpha. \]
Ответ: 3,6∙10^-6 Кл.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 17 August 2012, 21:41

547. В электростатическом поле плоского воздушного конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, находится во взвешенном состоянии капелька масла, несущая заряд, равный заряду электрона. Определить радиус капельки, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 5∙10³ В, расстояние между пластинами d = 5∙10^-4 м, плотность масла ρ = 900 кг/м³. Заряд электрона e = 1,6∙10^-19 Кл.
Решение: на капельку, находящуюся в электростатическом поле конденсатора действует две силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F - сила со стороны электростатического поля конденсатора

F = q∙E = e∙E.

где E – напряжённость электростатического поля (см. рис). Капелька находится в равновесии, это означает, что сумма всех сил, действующих на неё равна нулю, а т.к. сил только две, то эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Условие равновесия в проекции на ось y:
\[ \begin{array}{l} {F-mg=0,} \\ {e\cdot E=mg.} \end{array} \]
Напряжённость поля конденсатора определим, зная  напряжение между обкладками U  и расстояние между пластинами d:
\[ E=\frac{U}{d}. \]
Массу капельки определим, зная плотность масла и считая её шаром
\[ m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^{3}. \]
Подставив значения E и m в условие равновесия, получим
\[ \begin{array}{l} {e\cdot \frac{U}{d} =\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^{3} \cdot g,} \\ {r=\sqrt[{3}]{\frac{3\cdot e\cdot U}{4\pi \cdot d\cdot \rho \cdot g}}.} \end{array} \]
Ответ: 3,51∙10^-6 = 4∙10^-6 м

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 18 August 2012, 17:27

543. На дне широкого сосуда с жидким диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого ε, закреплена пластина конденсатора. Другая пластина, имеющая вид бруска высотой Н, плавает над ней в диэлектрике. Площади пластин одинаковы и равны S. На каком расстоянии от поверхности жидкости будет находиться нижняя плоскость бруска, если на пластины подать одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды q? Плотность жидкости ρ₁, плотность бруска ρ (ρ₁ > ρ₂). Поле между пластинами считать однородным.
Решение.
На пластину конденсатора, которая плавает в диэлектрике, действуют силы: mg – сила тяжести, выталкивающая архимедова сила F_A, F – сила со стороны электрического поля, созданного другой пластиной. Под действием этих сил, пластина находится в равновесии (плавает).
\[ \begin{align}
  & \overset{\to }{\mathop{F}}\,+{{\overset{\to }{\mathop{F}}\,}_{A}}+m\cdot \overset{\to }{\mathop{g}}\,=0 \\
 & OX:{{F}_{A}}=m\cdot g+F(1) \\
\end{align}
 \]
Сила Архимеда равна

F_A = ρ₁·g·V₁ = ρ₁·g·S·h (2)

где ρ₁ – плотность диэлектрика, V₁ объём погруженной в диэлектрик части пластины в виде бруска, S – площадь пластины, h – искомая высота погруженной части пластины. Произведение площади пластины на высоту погруженной части даст нам объем погруженной части бруска.
Масса бруска

m = ρ₂·V = ρ₂·S·H: m·g = ρ₂·S·H·g (3)

где ρ2 – плотность бруска, V – объем бруска, S – площадь пластины, H – высота бруска.
Лежащая на дне пластина, имеющая заряд q, создает электрическое поле, которое действует с силой F = q·E на другою пластину. Напряженность электрического поля плоской пластины
\[ \begin{align}
  & E=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}};\sigma =\frac{q}{S} \\
 & F=q\cdot E=\frac{{{q}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}(4) \\
\end{align}
 \]
Где σ – поверхностная плотность электрического заряда.
Подставим уравнения (2), (3), (4) в уравнение (1)
\[ \begin{align}
  & {{\rho }_{1}}\cdot g\cdot S\cdot h={{\rho }_{2}}\cdot g\cdot S\cdot H+\frac{{{q}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S} \\
 & h=H\cdot \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}+\frac{{{q}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{S}^{2}}\cdot {{\rho }_{1}}\cdot g} \\
\end{align}
 \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 19 August 2012, 13:33

544. Два одинаковых конденсатора соединили параллельно, зарядили до напряжения U₁ и отключили от источника. Каким стало напряжение на конденсаторах, когда в один из них ввели пластину с диэлектрической проницаемостью ε, заполняющую весь объем конденсатора?
Решение.
При параллельном соединении конденсаторов напряжение на всех обкладках одинаковое, емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, заряд на батарее равен алгебраической сумме зарядов отдельных конденсаторов

С = С₁ + С₂

\[ {{C}_{1}}={{C}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d} \]

Q = q₁ + q₂

\[ {{U}_{1}}=\frac{Q}{C}=\frac{Q}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}+\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}}=\frac{Q\cdot d}{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}(1) \]
Поскольку конденсаторы отключены от источника, то общий заряд батареи конденсаторов останется неизменным. А при введении диэлектрика с диэлектрической проницаемость ε между пластинами одного из конденсаторов, емкость этого конденсатора изменится. Тогда для этого случая

С = С₁ + С₂

\[ {{C}_{1}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon \cdot S}{d};{{C}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d} \]

Q = q₁ + q₂

\[ {{U}_{2}}=\frac{Q}{C}=\frac{Q}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon \cdot S}{d}+\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}}=\frac{Q\cdot d}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot \left( \varepsilon +1 \right)}(2) \]
Решив совместно уравнения (1) и (2) получим результат
\[ {{U}_{2}}=\frac{2\cdot {{U}_{1}}}{\varepsilon +1} \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 20 August 2012, 22:52

554. В горизонтально расположенном плоском воздушном конденсаторе, заряженном до разности потенциалов U = 1 кВ, от положительно заряженной верхней пластины по направлению поля двигалась без начальной скорости
частица с зарядом q = 0,1 нКл. Когда она прошла некоторое расстояние, полярность пластин была мгновенно изменена на противоположную. Когда частица все же достигла нижней пластины, она обладала кинетической энергией W_k = 6·10^-8 Дж. Расстояние между пластинами d = 2 см. Какое расстояние прошла частица к моменту изменения полярности пластин? Силой тяжести, действующей на частицу, пренебречь.
Решение.
Рассмотрим первый случай, когда частица движется по направлению поля без начальной скорости. На частицу действует сила F = q·E, со стороны электростатического поля, которая сообщает частице ускорение а.
\[ F=m\cdot a;a=\frac{F}{m}=\frac{q\cdot E}{m} \]
Определим скорость частицы в момент смены полярности пластин. Направим ось OX вдоль траектории движения. Начало координат совместим с точкой начала движения и время будем отсчитывать с этого момента. Тогда уравнения скорости в проекциях на ось ОХ и координаты тела в любой момент времени примут вид
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0x}}+{{a}_{x}}\cdot t(1) \\
 & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
Выражая из уравнения (1) время t и подставляя его в уравнение (2), получим
\[ \begin{align}
  & \upsilon _{x}^{2}=\upsilon _{0x}^{2}+2\cdot {{a}_{x}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)(3) \\
 & \upsilon _{x}^{2}-\upsilon _{0x}^{2}=2\cdot {{a}_{x}}\cdot l \\
 & \upsilon _{x}^{2}=2\cdot {{a}_{x}}\cdot l \\
\end{align}
 \]
здесь мы учли, что тело движется без начальной скорости (υ_0х = 0) и пройденный путь равен изменению
координаты
Рассмотрим второй случай, когда полярность пластин изменилась. Изменилось направление действия силы на противоположное, следовательно, изменилось направление ускорения частицы, и частица имеет начальную скорость, равную скорости, которую она приобрела до момента смены полярности пластин
Воспользуемся соотношением (3) в проекциях на ось ОХ с учетом того, что пройденный путь s = d – l, начальная скорость равна скорости на момент смены полярности пластин и конечную скорость определим полагаясь на то, что нам известна кинетическая энергия возле нижней пластины
 \begin{align}
  & \upsilon _{x}^{2}=\upsilon _{0x}^{2}-2\cdot {{a}_{x}}\cdot s \\
 & \upsilon _{x}^{2}-\upsilon _{0x}^{2}=-2\cdot {{a}_{x}}\cdot (d-l) \\
 & \upsilon _{x}^{2}=\frac{2\cdot {{W}_{k}}}{m};\upsilon _{0x}^{2}=2\cdot a\cdot l;a=\frac{q\cdot E}{m} \\
 & \frac{2\cdot {{W}_{k}}}{m}-2\cdot \frac{q\cdot E}{m}\cdot l=-2\cdot \frac{q\cdot E}{m}\cdot (d-l) \\
\end{align}
Решив это уравнение, получим
\[ l=\frac{{{W}_{k}}}{2\cdot q\cdot E}+\frac{d}{2} \]
Учитывая связь между напряженностью Е и напряжением U
\[ \begin{align}
  & l=\frac{{{W}_{k}}}{2\cdot q\cdot \frac{U}{d}}+\frac{d}{2} \\
 & l=\frac{d}{2}\cdot \left( \frac{{{W}_{k}}}{q\cdot U}+1 \right) \\
\end{align}
 \]
Ответ:1.6 см

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 21 August 2012, 20:18

555. Анодное напряжение двухэлектродной электронной лампы (диода) U = 180 В. С какой скоростью электрон подлетает к аноду, если начальная скорость электрона (вблизи катода) равна нулю? Заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, масса электрона m_е = 9,1·10^-31 кг.
Решение.
Напряжение U равно отношению работы электрического поля по перемещению заряда к величине перемещаемого заряда.
\[ U=\frac{A}{e};A=e\cdot U \]
С другой стороны, на электрон действует сила, со стороны электрического поля и работа этой силы равна  изменению кинетической энергии (теорема о кинетической энергии). Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ, то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:
\[ \begin{align}
  & A={{E}_{k2}}-{{E}_{k1}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-0=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \\
 & e\cdot U=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \\
 & \upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}} \\
\end{align}
 \]
Ответ:Ответ: 8·10⁶ м/с

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 21 August 2012, 20:27

542. Конденсатор ёмкостью C1 = 3 мкФ заряжен до разности потенциалов U₁ = 300 В. Конденсатор ёмкостью C₂ = 2 мкФ заряжен до разности потенциалов U₂ = 200 В. Разноимённо заряженные обкладки конденсаторов соединили попарно. Определить среднюю силу тока, возникающего при соединении конденсаторов, если длительность его прохождения τ = 1 с.
Решение: при соединении разноимённых обкладок конденсаторов алгебраическая сумма зарядов на них остаётся неизменной. Пусть положительно заряженную обкладку первого конденсатора соединили с отрицательно заряженной обкладкой второго, тогда
\[ q_{1} -q_{2} =q_{3} +q_{4}. \]
Здесь q₁ и q₂ заряды конденсаторов до соединения, q₃ и q₄ после соединения соответственно. Для нахождения зарядов, воспользуемся формулой ёмкости конденсатора, учтём, что после соединения мы получаем два параллельно соединённых конденсатора, напряжение на которых будет одинаковым и равным U, тогда
\[ \begin{array}{l} {C_{1} \cdot U_{1} -C_{2} \cdot U_{2} =\left(C_{1} +C_{2} \right)\cdot U,} \\ {U=\frac{C_{1} \cdot U_{1} -C_{2} \cdot U_{2} }{C_{1} +C_{2}} \cdot} \end{array} \]
Тогда заряд на первом конденсаторе станет равным
\[ q_{3} =C_{1} \cdot U=\frac{C_{1}^{2} \cdot U_{1} -C_{1} \cdot C_{2} \cdot U_{2} }{C_{1} +C_{2}} \cdot  \]
Силу тока, возникающую в момент перераспределения заряда после соединения конденсаторов, найдём из следующих соображений: до соединения заряд первого конденсатора q₁, после соединения он равен q₃, тогда по соединительному проводу прошёл заряд равный их разности, т.е.

Δq = q₁ - q₃.

Сила тока, по определению, равна отношению заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени прохождения. Имеем
\[ \begin{array}{l} {I=\frac{\Delta q}{\tau } =\frac{q_{1} -q_{3} }{\tau } =\frac{C_{1} \cdot U_{1} }{\tau } -\frac{\left(C_{1}^{2} \cdot U_{1} -C_{1} \cdot C_{2} \cdot U_{2} \right)}{\tau \cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)} ,} \\ {I=\frac{C_{1} \cdot C_{2} \cdot \left(U_{1} +U_{2} \right)}{\tau \cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 6∙10^-4 А

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 21 August 2012, 21:20

570. Определить количество электрической энергии, перешедшей в теплоту при соединении одноимённо заряженных обкладок конденсаторов ёмкостями C₁ = 2 мкФ и C₂ = 0,5 мкФ, заряженных до напряжений U₁ = 100 В и U₂ = 50 В соответственно.
Решение: при соединении одноимённо заряженных обкладок конденсаторов алгебраическая сумма зарядов на них остаётся неизменной
\[ q_{1} +q_{2} =q_{3} +q_{4}. \]
Здесь q₁ и q₂ заряды конденсаторов до соединения, q₃ и q₄ после соединения соответственно. Для нахождения зарядов, воспользуемся формулой ёмкости конденсатора, учтём, что после соединения мы получаем два параллельно соединённых конденсатора, напряжение на которых будет одинаковым и равным U, тогда
\[ \begin{array}{l} {C_{1} \cdot U_{1} +C_{2} \cdot U_{2} =\left(C_{1} +C_{2} \right)\cdot U,} \\ {U=\frac{C_{1} \cdot U_{1} -C_{2} \cdot U_{2} }{C_{1} +C_{2}} \cdot} \end{array} \]
Количество электрической энергии, перешедшей в теплоту при соединении конденсаторов (выделившаяся энергия) будет равна разности энергий конденсаторов до и после соединения. Энергия конденсаторов до соединения
\[ W_{1} =\frac{C_{1} \cdot U_{1}^{2} }{2} +\frac{C_{2} \cdot U_{2}^{2}}{2}. \]
Энергия конденсаторов после соединения
\[ W_{2} =\frac{\left(C_{1} +C_{2} \right)\cdot U^{2} }{2} =\frac{\left(C_{1} \cdot U_{1} +C_{2} \cdot U_{2} \right)^{2} }{2\cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)}. \]
Тогда искомое количество теплоты
\[ \begin{array}{l} {Q=W_{1} -W_{2} =\frac{C_{1} \cdot U_{1}^{2} }{2} +\frac{C_{2} \cdot U_{2}^{2} }{2} -\frac{\left(C_{1} \cdot U_{1} +C_{2} \cdot U_{2} \right)^{2} }{2\cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)} ,} \\ {Q=\frac{C_{1} \cdot C_{2} \left(U_{1} -U_{2} \right)^{2} }{2\cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)}.}\end{array} \]
Ответ: 5∙10^-4 Дж.

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 22 August 2012, 16:27

569. Напряжённость электростатического поля плоского воздушного конденсатора ёмкостью C = 4 мкФ E = 10 В/см. Расстояние между обкладками d = 1 мм. Определить энергию электростатического поля конденсатора и её плотность.
Решение: энергия заряженного конденсатора
\[ W=\frac{C\cdot U^{2}}{2}. \]
Здесь U – напряжение на конденсаторе, которое можно определить, используя связь между напряжённостью электростатического поля E и разностью потенциалов (напряжением)

U = E∙d.

Тогда энергия конденсатора
\[ W=\frac{C\cdot E^{2}\cdot d^{2}}{2}. \]
Объёмная плотность энергии, по определению
\[ \omega =\frac{W}{V}. \]
здесь V = S∙d – объём конденсатора, S – площадь пластин. Электроемкость плоского конденсатора находится по формуле
\[ C=\frac{\varepsilon\cdot\varepsilon _{0}\cdot S}{d}. \]
Здесь ε – диэлектрическая проницаемость изолятора (ε = 1 – воздух), ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная. Тогда объёмная плотность
\[ \begin{array}{l}{\omega =\frac{\frac{C\cdot E^{2}\cdot d^{2}}{2}}{S\cdot d} =\frac{\varepsilon \cdot \varepsilon _{0} \cdot S\cdot E^{2} \cdot d^{2}}{2\cdot S\cdot d^{2}},} \\ {\omega =\frac{\varepsilon \cdot \varepsilon _{0}\cdot E^{2}}{2}.} \end{array} \]
Ответ: 2∙10^-6 Дж, 4∙10^-6 Дж/м³

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 22 August 2012, 21:15

556. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость υ = 1·10⁷ м/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами d = 2 см, длина каждой пластины l = 2 см. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? Заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, его масса m_е = 9,1·10^-31 кг.
Решение.
Совместим начало координат с точкой, в которой находился электрон в момент влета в конденсатор, ось ОХ направим горизонтально, ось OY – вертикально вниз (см. рис). В этой системе координат движение электрона можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения со скоростью^→ υ_х = ^→υ₀ в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением ^→а вдоль оси OY. Наличие ускорения вдоль оси OY объясняется тем, что на электрон в этом направлении действует электрическая сила F = e·E. (силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем по сравнению с силой F).
Проекцию ускорения на ось OY найдем по второму закону Ньютона:
\[ e\cdot E={{m}_{e}}\cdot a;a=\frac{e\cdot E}{{{m}_{e}}}=\frac{e\cdot U}{d\cdot {{m}_{e}}} \]
Здесь мы учли соотношение между напряженностью Е и напряжением U.
По условию задачи, электрон должен упасть на краю пластины конденсатора (минимальное значение напряжения, при большем значении падение будет раньше).
Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀, υ_0у = 0. Тогда в момент падения электрона на край пластины конденсатора, уравнения определяющие зависимость координат от времени, будут иметь вид:
\[ \begin{align}
  & x=l={{\upsilon }_{0}}\cdot t(1) \\
 & y=\frac{d}{2}=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
Подставим в уравнение (2) ранее полученное выражение для ускорения и время, которое выразим из уравнения (1)
\[ \begin{align}
  & d=\frac{e\cdot U\cdot {{l}^{2}}}{d\cdot {{m}_{e}}\cdot \upsilon _{0}^{2}} \\
 & U=\frac{{{d}^{2}}\cdot {{m}_{e}}\cdot \upsilon _{0}^{2}}{e\cdot {{l}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 6·10² В

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 25 August 2012, 19:59

557. Заряженный шарик массой m = 10 г, подвешенный на изолирующей нерастяжимой нити, движется с постоянной угловой скоростью ω = 10 рад/с по окружности радиуса r = 5,0 см. Под точкой подвеса А находится другой, неподвижный заряженный, шарик В, причем расстояния АО и ВО до центра окружности О одинаковы, а угол α = 45°. Заряды обоих шариков одинаковы. Найти эти заряды.
Решение.
На шарик действуют силы: сила тяжести mg, F_k -  кулоновская сила отталкивания (заряды шариков одинаковы) и сила натяжения нити Т. Cумма этих сил придает шарику центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона для данного случая и уравнения движения шарика в проекциях на оси координат
\[ \begin{align}
  & \overset{\to }{\mathop{{{F}_{k}}}}\,+\overset{\to }{\mathop{T}}\,+m\overset{\to }{\mathop{g}}\,=m\overset{\to }{\mathop{a}}\,;a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{r}={{\omega }^{2}}\cdot r \\
 & OX:T\cdot \sin \alpha -{{F}_{k}}\cdot \sin \alpha =m\cdot {{\omega }^{2}}\cdot r(1) \\
 & OY:T\cdot \cos \alpha +{{F}_{k}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0(2) \\
\end{align}
 \]
Воспользуемся законом Кулона, для определения силы взаимодействия двух зарядов. Учтем, что заряды одинаковы и расстояние между зарядами найдем из прямоугольного треугольника ВОС, зная катет r  противолежащий ему угол α
\[ {{F}_{k}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{\left( \frac{r}{\sin \alpha } \right)}^{2}}} \]
Выразим из уравнения (2) силу натяжения нити и подставим в уравнение (1)
\[ \begin{align}
  & T=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha }-{{F}_{k}};\left( \frac{m\cdot g}{\cos \alpha }-{{F}_{k}} \right)\cdot \sin \alpha -{{F}_{k}}\cdot \sin \alpha =m\cdot {{\omega }^{2}}\cdot r \\
 & \frac{g}{\cos \alpha }-\frac{2\cdot {{F}_{k}}}{m}=\frac{{{\omega }^{2}}\cdot r}{\sin \alpha };\frac{2\cdot {{F}_{k}}}{m}=\frac{g}{\cos \alpha }-\frac{{{\omega }^{2}}\cdot r}{\sin \alpha } \\
 & q=\pm \frac{r}{\sin \alpha }\cdot \sqrt{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot m\cdot \left( \frac{g}{\cos \alpha }-\frac{{{\omega }^{2}}\cdot r}{\sin \alpha } \right)} \\
\end{align}
 \]
Ответ:1.3·10^-7 Кл

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 26 August 2012, 18:18

559. Два одинаковых заряженных шарика, масса каждого из которых m = 10 г, а заряд q = 5·10^-7 Кл, соединены двумя изолирующими нитями длиной l =  10 см и 2l. Систему удерживают за середину длинной нити, а затем точку подвеса О начинают поднимать вверх с ускорением а, равным по модулю ускорению свободного падения g . Определить силу натяжения короткой нити, соединяющей шарики, во время их подъема.
Решение.
На шарик действуют силы: сила тяжести mg, сила кулоновского отталкивания F, сила натяжения короткой нити Т и сила натяжения участка длинной нити Т₁. Вся система движется вверх с ускорением а. Ось OY направим вертикально вверх, а ось ОХ – горизонтально. Спроецируем силы и запишем полученные уравнения.

OX: T₁·cosα – F +T = 0;
OY: T₁·cosβ - m·g = m·a;

Решим систему уравнений:

T = F - T₁·cosα; T₁·cosβ= m·a + m·g = m·(a + g) = 2·m·g;

\[
\begin{align}
  & {{T}_{1}}=\frac{2\cdot m\cdot g}{\cos \beta }; \\
 & T=F-\frac{2\cdot m\cdot g}{\cos \beta }\cdot \cos \alpha  \\
\end{align}
 \]
Силу F найдем из закона Кулона:
\[ F=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{l}^{2}}} \]
Угол α равен 60̊, как один из углов равностороннего треугольника.
Угол β = 180 – 90 – α = 30̊.
Тогда
\[ \begin{align}
  & T=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{l}^{2}}}-\frac{2\cdot m\cdot g}{\cos \beta }\cdot \cos \alpha  \\
 & T=\frac{{{q}^{2}}}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{l}^{2}}}-\frac{2\cdot m\cdot g}{\sqrt{3}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 0.3 Н

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 05 September 2012, 22:34

563. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью υ = 2·10⁷ м/с, направленной параллельно обкладкам конденсатора. На какое расстояние от своего первоначального направления сместится электрон за время полета внутри конденсатора, если расстояние между пластинами d = 2 см, длина конденсатора l = 5 см и разность потенциалов между обкладками U = 200 В? Отношение заряда электрона к его массе е/m_е = 1,76·10¹¹ Кл/кг.
Решение.
Совместим начало координат с точкой, в которой находился электрон в момент влета в конденсатор, ось ОХ направим горизонтально, ось OY – вертикально вниз (см. рис). В этой системе координат движение электрона можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения со скоростью^→ υ_х = ^→υ₀ в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением ^→а вдоль оси OY. Наличие ускорения вдоль оси OY объясняется тем, что на электрон в этом направлении действует электрическая сила F = e·E. (силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем по сравнению с силой F).
Проекцию ускорения на ось OY найдем по второму закону Ньютона:
\[ e\cdot E={{m}_{e}}\cdot a;a=\frac{e\cdot E}{{{m}_{e}}}=\frac{e\cdot U}{d\cdot {{m}_{e}}} \]
Здесь мы учли соотношение между напряженностью Е и напряжением U.
Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀, υ_0у = 0. Тогда в момент вылета электрона из конденсатора, уравнения определяющие зависимость координат от времени, будут иметь вид:
\[ \begin{align}
  & x=l={{\upsilon }_{0}}\cdot t(1) \\
 & y=h=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
Подставим в уравнение (2) ранее полученное выражение для ускорения и время, которое выразим из уравнения (1)
\[ h=\frac{U\cdot {{l}^{2}}}{2\cdot d\cdot \upsilon _{0}^{2}}\cdot \frac{e}{{{m}_{e}}} \]
Ответ: 6·10-3 м

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djek 09 September 2012, 21:11

566. Два одинаковых плоских конденсатора, один из которых воздушный, а другой заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, соединены, как показано на рис, и заряжены до напряжения U. Какую работу надо совершить, чтобы извлечь диэлектрическую пластинку из конденсатора? Емкость воздушного конденсатора равна С.
Решение.
Поскольку конденсаторы одинаковы, соединены параллельно, но один из них заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, то емкость С₁₁ батареи конденсаторов:

С₁₁ = С₁ + С₂ = ε·С + С = С·(ε+1).

Начальная энергия системы конденсаторов равна
\[ {{W}_{1}}=\frac{{{C}_{11}}\cdot {{U}^{2}}}{2} \]
При зарядке конденсаторов им был сообщен заряд

Q = C₁₁·U

Поскольку общий заряд на отключенной от источника батарее конденсаторов не меняется, то при извлеченном диэлектрике энергия батареи конденсаторов станет равна
\[ {{W}_{2}}=\frac{{{Q}^{2}}}{2\cdot {{C}_{22}}}=\frac{C_{11}^{2}\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{C}_{22}}} \]
Где С₂₂ = 2·С – емкость батареи конденсаторов при извлеченном диэлектрике.
Тогда работа по извлечению диэлектрика из конденсатора равна
\[ \begin{align}
  & A={{W}_{2}}-{{W}_{1}}=\frac{C_{11}^{2}\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{C}_{22}}}-\frac{{{C}_{11}}\cdot {{U}^{2}}}{2}=\frac{{{C}^{2}}\cdot {{(\varepsilon +1)}^{2}}\cdot {{U}^{2}}}{4\cdot C}-\frac{C\cdot (\varepsilon +1)\cdot {{U}^{2}}}{2} \\
 & A=C\cdot {{U}^{2}}\cdot \left( \frac{{{(\varepsilon +1)}^{2}}}{4}-\frac{\varepsilon +1}{2} \right) \\
 & A=({{\varepsilon }^{2}}-1)\cdot \frac{C\cdot {{U}^{2}}}{4} \\
\end{align}
 \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djeki 27 September 2012, 21:30

568. Стеклянная пластинка целиком заполняет зазор между обкладками плоского конденсатора, емкость которого при отсутствии пластинки равна C₀. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U. Найти механическую работу, которую необходимо совершить, чтобы извлечь пластинку из конденсатора. Какую работу совершит при этом источник? Диэлектрическая проницаемость стекла равна ε.
Решение.
Для извлечения пластины из конденсатора необходимо совершить работу против электрических сил. При этом емкость конденсатора уменьшается, следовательно, уменьшается и заряд конденсатора (т.к. U – const). Это означает, что заряд проходит через источник против направления действия сторонних сил и источник совершает работу отрицательную работу.

A_ist = Δq·U (1)

Согласно закону сохранения энергии

A_m + A_ist = ΔW (2)

Где A_m – совершенная внешними силами механическая работа против электрических сил; A_ist – работа источника; ΔW – изменение энергии конденсатора.
Из формулы для энергии конденсатора
\[ W=\frac{C\cdot {{U}^{2}}}{2}=\frac{q\cdot U}{2} \]
Следует, что при U – const
\[ \Delta W=\frac{\Delta C\cdot {{U}^{2}}}{2}=\frac{\Delta q\cdot U}{2}(3) \]
Из сравнения формул (3) и (1) следует

A_ist = 2·ΔW

Подставляя последнее в (2) получим
\[ \begin{align}
  & {{A}_{m}}=-\Delta W={{W}_{1}}-{{W}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}}{2}-\frac{{{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}}{2} \\
 & {{A}_{m}}=\frac{{{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}}{2}\cdot (\varepsilon -1) \\
 & {{A}_{ist}}=\Delta q\cdot U=({{q}_{2}}-{{q}_{1}})\cdot U=({{C}_{0}}\cdot U-\varepsilon \cdot {{C}_{0}}\cdot U)\cdot U=-{{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}\cdot (\varepsilon -1) \\
\end{align}
 \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: djeki 25 October 2012, 19:26

549. Два одноименно заряженных шарика массой m = 0,50 г каждый подвешены в вакууме на очень тонких невесомых, нерастяжимых и непроводящих нитях одинаковой длины. Каждая из нитей образует с вертикалью угол α = 30°. Затем вся система погружается в неэлектропроводящую жидкость, плотность которой равна плотности материала шариков, а диэлектрическая проницаемость ε = 2,0. Найти силу натяжения нитей после погружения в жидкость. Каков характер равновесия шариков?
Решение.
1. Система в вакууме.(рис_1)
На шарики действуют сила тяжести mg, сила натяжения нити  T₁ и сила кулоновского взаимодействия F_k1
Шарики находятся в равновесии, поэтому
\[ m\vec{g}+{{\vec{T}}_{1}}+{{\vec{F}}_{k1}}=0 \]
В проекциях на оси координат

OX: -T₁·sinα + F_k1 = 0; T₁·sinα = F_k1
OY: -m·g + T₁·cosα = 0; T₁·cosα = mg

Разделив первое уравнение на второе, получим

F_k1 = m·g·tgα (1)

С другой стороны
\[ \begin{align}
  & {{F}_{k1}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}};r=2\cdot l\cdot \sin \alpha  \\
 & {{F}_{k1}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{4\cdot {{l}^{2}}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }(2) \\
\end{align}
 \]
2. Система погружена в жидкость (рис_2, рис_3)
При погружении в жидкость с диэлектрической проницаемостью ε измениться угол расхождения нитей, так как измениться сила кулоновского взаимодействия.
На шарики действуют сила тяжести mg, сила натяжения нити  T, сила кулоновского взаимодействия F_k2  и сила Архимеда F_a
Шарики находятся в равновесии, поэтому
\[ m\vec{g}+{{\vec{T}}_{1}}+{{\vec{F}}_{k2}}+{{\vec{F}}_{a}}=0 \]

В проекциях на оси
OX: -T·sinβ + F_k2 = 0 (3)
OY: -m·g + F_a + T·cosβ = 0; (4)

Поскольку плотность шарика равна плотности жидкости, то сила Архимеда численно равна силе тяжести mg (F_a = ρ₁·g·V; m·g = ρ₂·V·g; ρ₁ = ρ₂ )
Тогда (4) перепишется

T·cosβ = 0.

Это значит, что угол β = 90 и оба шарика окажутся на одной прямой, проходящей через точку подвеса нитей.
Тогда из (3)
T = F_k2
\[ {{F}_{k2}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{4\cdot {{l}^{2}}\cdot \varepsilon }(5) \]
Решим совместно (5) и (2) с учетом (1)
\[ \begin{align}
  & {{F}_{k1}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{4\cdot {{l}^{2}}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha } \\
 & {{F}_{k2}}=\frac{4\cdot {{l}^{2}}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{4\cdot {{l}^{2}}\cdot \varepsilon }\cdot m\cdot g\cdot tg\alpha  \\
 & T={{F}_{k2}}=\frac{m\cdot g\cdot tg\alpha \cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{\varepsilon } \\
\end{align}
 \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: ostatnik 05 December 2012, 21:01

: Kivir  16 August 2012, 08:58

Примечание: полученный ответ не сходится с ответом в сборнике. В решении ошибку не нашёл

Здравствуйте. Возможно, ошибка в том, что (С1+С2), С3 и С4 соединены последовательно. Тогда С<> (C1+C2) +(1/C3 + 1/C4)^-1, но 1/C=1/(C1+C2) + 1/C3 + 1/C4, тогда получается требуемый ответ: 2Se0e(e+1)/d(e^2+6e+1).

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 05 December 2012, 22:12

: Василий  05 December 2012, 21:01

Здравствуйте. Возможно, ошибка в том, что (С1+С2), С3 и С4 соединены последовательно. Тогда С<> (C1+C2) +(1/C3 + 1/C4)^-1, но 1/C=1/(C1+C2) + 1/C3 + 1/C4, тогда получается требуемый ответ: 2Se0e(e+1)/d(e^2+6e+1).

Да, думаю ошибка в этом. Спасибо за поправку. Действительно
\[ C=\left(\frac{1}{C_{1} +C_{2} } +\frac{1}{C_{3} } +\frac{1}{C_{4} } \right)^{-1} =\left(\frac{1}{\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d\cdot 2} +\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d\cdot 2} } +\frac{d}{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot 2} +\frac{d}{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S\cdot 2} \right)^{-1} .  \]
После преобразований, получим ответ:
\[ C=\frac{2\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S\cdot \left(1+\varepsilon \right)}{d\cdot \left(\left(1+\varepsilon \right)^{2} +4\varepsilon \right)} . \]

: Re: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 10 May 2013, 15:54

548. Заряженный шарик массой m = 1,5 г, прикрепленный к невесомой изолирующей нити, покоится в однородном горизонтальном электростатическом поле; при этом нить отклонена от вертикали на угол α = 30° (рис. 1). Затем направление поля мгновенно изменяется на противоположное. Найти силу натяжения нити в момент максимального отклонения нити от вертикали после переключения поля.

Решение. При изменении направления поля (напряженности) на противоположное — поменяет направление кулоновская сила F. Положение 1 (рис. 2), которое было вначале положением равновесия становится положением с максимальным отклонением от положения равновесия. Положение равновесия окажется в точке 2. В силу симметрии (F₁ и F₂ равны по величине, противоположны по направлению, т.е. F₁ = F₂ (1)) получаем, что угол β = α и амплитудный угол φ = β + α = 2α. Тогда максимальное отклонение влево произойдет на угол γ = φ + β = 3α (2) (положения максимального отклонения слева и справа должны быть симметричны относительно положения равновесия 2).
Найдем значение силы F₁. Для этого запишем второй закон Ньютона для положения равновесия 1 (см. рис. 2):
\[\begin{array}{c} {0Y:\; \; 0=T_{1} \cdot \cos \alpha -m\cdot g,\; \; \; T_{1} =\frac{m\cdot g}{\cos \alpha } ,} \\ {0X:\; \; 0=F_{1} -T_{1} \cdot \sin \alpha ,\; \; \; F_{1} =T_{1} \cdot \sin \alpha =m\cdot g\cdot {\rm tg\; }\alpha .\; \; \; (3)} \end{array}\]

Найдем значение силы T₃. Для этого запишем второй закон Ньютона для амплитудного отклонения шарика в положении 3 (см. рис. 3). При этом необходимо учесть, что в этом положении есть тангенциальное ускорение. Поэтому, чтобы не рассчитывать это ускорение, лучше ось 0Y направить вдоль нити (перпендикулярно тангенциальному ускорению).
\[0Y:\; \; 0=T_{3} -m\cdot g\cdot \cos \gamma -F_{2} \cdot \sin \gamma .\]
С учетом уравнений (1)-(3) получаем:
\[\begin{array}{c} {T_{3} =m\cdot g\cdot \cos \gamma +F_{2} \cdot \sin \gamma =m\cdot g\cdot \left(\cos \gamma +{\rm tg}\; \alpha \cdot \sin \gamma \right)=} \\ {=m\cdot g\cdot \left(\cos 3\alpha +{\rm tg}\; \alpha \cdot \sin 3\alpha \right),} \end{array}\]
T₃ = 8,7∙10^–3 Н.

Примечание. 1) Вторая часть решения и ответ значительно упростятся, если учесть что γ = 3α = 90°.
2) Конечная формула данного решения и ответов книги различаются, но числовой ответ один и тот же.