На тело 1 (брусок) действуют сила тяжести (m1⋅g), сила реакции опоры (N1), сила трения (Ftr) и сила натяжения шнура (Т1). На тело 2 (гирю) действуют сила тяжести (m2⋅g) и сила натяжения шнура (Т2) (рис. 1). На блок — силы натяжения шнура (Т3 и T4) (рис. 2), сила тяжести (m3⋅g) и сила упругости крепления блока (N) (на рис. 2 не указаны).
Из второго закона Ньютона для тел 1 и 2:
\[ m_1 \cdot \vec a_1 = \vec N_1 + \vec T_1 + m_1 \cdot \vec g + \vec F_{tr}, \,\,\, m_2 \cdot \vec a_2 = m_2 \cdot \vec g + \vec T_2, \]
0Х: m1⋅a1 = Т1 – Ftr, (1)
0Y: m2∙a2 = m2∙g – Т2, (2)
где Ftr = μ⋅N1 = μ⋅m1⋅g, а1 = а2 = а, т.к. тела связаны одним шнуром. Ускорение a можно найти следующим образом:
\[ s = \frac{a \cdot t^2}{2}, \,\,\, a = \frac{2s}{t^2}.\;\;\; (3) \]
Второй закон Ньютона для блока примет вид:
ε = M/I
где ε = a/R, M = T4⋅R – T3⋅R — вращающий момент сил Т3 и Т4 относительно оси вращения (положительным моментом будем считать момент силы, вызывающий вращение по часовой стрелки), моменты силы тяжести (m3⋅g) и силы упругости крепления блока (N) равны нулю, т.е. эти силы проходят через ось вращения; I — момент инерции блока. Тогда
\[ \frac{a}{R} = \frac{\left( T_4 - T_3 \right) \cdot R}{I}.\;\;\; (4) \]
Обратите внимание, что Т1 = Т3, Т2 = Т4, НО из уравнения (3) следует, что Т3 ≠ Т4, т.к. ускорение диска а ≠ 0.
Решим систему уравнений (1) - (4). Например,
Т1 = m1⋅a + Ftr = m1⋅a + μ⋅m1⋅g,
Т2 = m2∙g – m2∙a,
T4 – T3 = T2 – T1 = m2∙g – m2∙a – m1⋅a –μ⋅m1⋅g = (m2 – μ⋅m1)∙g – (m1 + m2)⋅a,
\[ I = \frac{\left(T_{4} - T_{3} \right)\cdot R^{2}}{a} = \left(\frac{\left(m_{2} - \mu \cdot m_{1} \right)}{a} \cdot g-\left(m_{1} + m_{2} \right)\right) \cdot R^{2} = \]
\[ = \left(\frac{\left(m_{2} - \mu \cdot m_{1} \right)}{2s} \cdot g\cdot t^{2} - \left(m_{1} + m_{2} \right) \right) \cdot R^{2}, \]
I = 0,14 кг⋅м2.