На цилиндр действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила трения покоя (Ftr), благодаря которой цилиндр катится без проскальзывания (рис. 1). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для точки А (точки соприкосновения цилиндра и опоры)
ε = M/J,
где M = m⋅g⋅d — момент силы тяжести относительно точки А (моменты силы трения и силы реакции опоры равны нулю), d = AB = R⋅sin α — плечо силы тяжести (рис. 2), ε = a/R — угловое ускорение, J — момент инерции цилиндра относительно точки А. По теореме Штерна момент инерции тела относительно точки, смещенной на расстоянии R от оси симметрии (точки О) равен
J = J0 + m⋅R2.
Тогда
\[ \frac{a}{R} = \frac{m \cdot g \cdot R \cdot \sin \alpha}{J_{0} + m \cdot R^{2}}, \; \; a = \frac{m \cdot g \cdot R^{2} \cdot \sin \alpha}{J_{0} + m \cdot R^{2}}.\;\;\; (1) \]
Из уравнения (1) следует, что чем больше момент инерции тела J0 (относительно оси симметрии), тем меньше ускорение тела.
Момент инерции первого (сплошного) цилиндра равен J01 = 1/2⋅m⋅R2, второго (полого) — J02 = m⋅R2. Третий цилиндр состоит из двух цилиндров: полого с моментом J02 = m⋅R2, и цилиндра из жидкости с моментом J0 = 1/2⋅m2⋅R2 (m2 — масса жидкости). Поэтому
J01 < J02 < J03
и
a1 > a2 > a3.
Ответ. А) a1 > a2 > a3.