В данной задаче наблюдается интерференция отраженных лучей от верхней и нижней поверхностей пленки. Цвет отраженных лучей будет зависеть от оптической разности хода δ этих лучей.
Если δ = k⋅λ/2, где число k — четное, то отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет (будет наблюдаться максимум освещенности). Если число k — нечетное, то отраженные лучи будут темными (будет наблюдаться минимум освещенности).
Найдем оптическую разность хода δ отраженных лучей 1 и 2 (рис. ). При отражении луча 1 от границы воздух-пленка (от среды с большим показателем преломления), волна меняет фазу колебаний на противоположную, что равносильно потере полуволны (λ/2). При отражении луча 2 от границы пленка-воздух (от среды с меньшим показателем преломления) фаза колебаний волны не меняется. Тогда оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна
δ = n2⋅r2 – (n1⋅r1 –λ/2), (1)
где n1 = 1 — показатель преломления воздуха (по умолчанию), n2 = n — показатель преломления пленки, r1 и r2 — геометрический ход (путь) лучей 1 и 2. Из рисунка видно, что
r1 = OC, r2 = OA + AB.
Так как нам нужно установить зависимость цвета отраженных лучей от толщины пленки h, то мы будем выражать r1 и r2 через h:
OA = AB = h/cos γ,
OC = OB⋅sin α, OB = 2h⋅tg γ.
Выразим cos γ и tg γ через угол α при помощи закона преломления и тригонометрии
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{n_{2}}{n_{1}} = n, \, \, \,
\sin \gamma = \frac{\sin \alpha}{n}, \]
\[ \cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^{2} \gamma} = \sqrt{1 - \left (\frac{\sin \alpha}{n} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}}{n}, \, \, \,
tg \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}}. \]
Подставим все полученные выражения в уравнение (1)
\[ \delta = n \cdot r_{2} - r_{1} + \frac{\lambda}{2} = n \cdot \frac{2h}{\cos \gamma} - 2h \cdot tg \gamma \cdot \sin \alpha + \frac{\lambda}{2} = k \cdot \frac{\lambda}{2}, \]
\[ k \cdot \frac{\lambda }{2} = 2h \cdot n \cdot \frac{n}{\sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}} - 2h \cdot \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}} \cdot \sin \alpha + \frac{\lambda}{2} = 2h \cdot \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha} + \frac{\lambda}{2}, \] (2)
\[ \left(k - 1 \right) \cdot \frac{\lambda}{2} = 2h \cdot \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}, \; \; \; h = \frac{\left(k - 1 \right) \cdot \lambda}{4 \cdot \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha}}. \]
Толщина h будет принимать наименьшие значения при наименьшем значении числа k.
Отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет, если k — четное. Тогда kmin = 2 и hmin = 0,13⋅10–6 м.
Отраженные лучи будут окрашены в темный цвет, если k — нечетное. Тогда kmin = 3 (если kmin = 1, h = 0) и hmin = 0,27⋅10–6 м.
Как видно из формулы (2) оптическая разность хода δ зависит от угла α, поэтому окраска пленки будет меняться от желтой к темной при изменении угла α.