На практике бесконечных цепей не существует, но число элементов цепи может быть столь велико, что его приближенно можно считать бесконечным. И тогда применяется такой математический прием [2]:
Если от бесконечности отнять (прибавить) единицу, то получим бесконечность.
Или
Если от бесконечной цепи отнять одну повторяющуюся секцию этой цепи, то общее сопротивление цепи не изменится.
Алгоритм решения таких задач [1]:
1) Выделим общую секцию, которая бесконечно повторяется.
Пример 1 (рис. 1).
Пример 2 (рис 2).
Возможны и другие примеры.
2) Если отделить эту секцию от цепи, то общее сопротивление R0 этой цепи не изменится. Поэтому, выделив повторяющуюся секцию в цепи и заменив сопротивление остальной цепи искомым сопротивлением R0, получим эквивалентную схему (рис. 3 для примера 1, рис. 4 для примера 2. Пунктиром выделена повторяющаяся секция, жирным — резистор, которым заменили остальную бесконечную цепь).
3) Запишем выражение для общего сопротивления цепи R0.
Для примера 1. Учтем, что два правых резистора соединены параллельно, а остальные резисторы соединены последовательно с этим параллельным участком. Поэтому
\[ R_{0} = 2R + \frac{R \cdot R_{0}}{R + R_{0}}. \]
А дальше надо решить уравнение относительно R0.
Ответ. \[ R_{0} = R \cdot \left(\sqrt{3} + 1 \right). \]
Если рассмотреть пример 2, то ответ получим такой же, но повозиться с решением придется побольше.
Примечание. Сравните рис. 3 и 4. Как видно, желательно выбирать такую повторяющуюся секцию, чтобы как можно больше упростить эквивалентную цепь.
1. Петросян В.Г., Долгополова Л.В., Лихицкая И.В. Методы расчета резисторных схем постоянного тока // 1 сентября. Физика. — 2002. — № 18.
2. Хацет А. Методы расчета эквивалентных сопротивлений. 6. Метод Иона Тихого // Квант. — 1972. — № 2. — С. 59.