Вначале определим от каких параметров зависит радиус кривизны заряженной частицы в магнитном поле.
В задаче описано два процесса. 1 процесс — частица с зарядом q разгоняется в электрическом поле. При этом Aэл = ΔWk, где Aэл = q⋅(φ1 – φ2) — работа электрического поля по разгону частицы, ΔWk = W2 – W1 — изменение кинетической энергии, W2 = m⋅υ2/2, W1 = 0 — кинетические энергии частицы массой m в конечном положение (на вылете из электрического поля) и в начальном (по умолчанию начальная скорость равна 0). Тогда
\[
q \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right) = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}.
\] (1)
2 процесс — частица движется в магнитном поле по криволинейной траектории, следовательно, ее скорость перпендикулярна вектору магнитной индукции, т.е. α = 90°. При движении заряженной частицы по окружности, можно записать m⋅aц = Fл, где Fл = q⋅B⋅υ⋅sin α — сила Лоренца, aц = υ2/R — центростремительное ускорение. Тогда
\[
\frac{m \cdot \upsilon^2}{R} = q \cdot \upsilon \cdot B,\, \, \, \,
\frac{m \cdot \upsilon}{R} = q\cdot B.
\] (2)
Решим систему уравнений (1) и (2). Например, из уравнения (1) находим скорость
\[
\upsilon = \sqrt{\frac{2q \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{m}}
\]
и подставляем ее в уравнение (2)
\[
R= \frac{m \cdot \upsilon}{q \cdot B} = \frac{m}{q \cdot B} \cdot
\sqrt{\frac{2q \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{m}} =
\frac{1}{B} \cdot \sqrt{\frac{2m \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{q}}.
\]
Полученное уравнение распишем для двух частиц: протона и электрона. Эти частицы ускорялись «одинаковой разностью потенциалов» (т.е. у них равны φ1 – φ2), они влетают в одно и то же магнитное поле (у них равные индукции B). Кроме того они имеют численно равные заряды (но противоположные по знаку). Массы протона и электрона найдем в справочнике. С учетом этого получаем
\[
\frac{R_p}{R_e} = \frac{1}{B} \cdot \sqrt{\frac{2m_p \cdot
\left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{q}} \cdot B \cdot
\sqrt{\frac{q}{2m_e \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}} =
\sqrt{\frac{m_p}{m_e}},
\]
Rp/Re ≈ 43.
Придирка к условию: если электрон и протон ускорять в одном и том же электрическом поле, то они полетят в разные стороны. Да и в магнитном поле они будут вращаться в разные стороны.