Решение.
Покажем рисунок. Определим оптическую разность хода для интерференции отраженных лучей 1 и 2.\[ \begin{align}
& \delta ={{n}_{2}}\cdot (AO+OC)-BC,\ BC=AC\cdot \sin \alpha ,\ AC=2\cdot AD=2\cdot d\cdot tg\beta , \\
& BC=2\cdot d\cdot tg\beta \cdot \sin \alpha ,(AO+OC)=\frac{2\cdot d}{\cos \beta },\ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}},\ {{n}_{1}}=1,\ \cos \beta =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\beta }, \\
& \delta =\frac{2\cdot d\cdot {{n}_{2}}}{\cos \beta }-2\cdot d\cdot tg\beta \cdot \sin \alpha , \\
& \delta =2\cdot d\cdot \sqrt{{{n}_{2}}^{2}-si{{n}^{2}}\alpha }\ \ \ (1). \\
\end{align} \]
При вычислении разности фаз между колебаниями в лучах 1 и 2 нужно, кроме оптической разности хода δ учесть изменение фазы при отражении в т. С. Т.к. в т. С происходит отражение от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной (n2 > n1, т.к. n2 > 1, а n1 = 1), то фаза волны изменяется в т. С на π.
Оптическая разность хода для лучей 1 и 2 в точке С будет иметь вид:\[ \delta =2\cdot d\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-{{\sin }^{2}}\alpha }-\frac{\lambda }{2}\ \ \ (2). \]
Отражённый от неё свет максимально усилен вследствие интерференции. Запишем условие максимума:
δ = k∙λ (3).
Подставим (3) в (2) выразим толщину плёнки
\[ k\cdot \lambda =2\cdot d\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-{{\sin }^{2}}\alpha }-\frac{\lambda }{2}\ ,\ d=\frac{k\cdot \lambda +\frac{\lambda }{2}}{2\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-{{\sin }^{2}}\alpha }}\ \ \ \ (4). \]
Учитываем, что минимальная толщина пленки будет при условии k = 0 \[ d=\frac{\frac{\lambda }{2}}{2\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-{{\sin }^{2}}\alpha }}=\ \frac{\lambda }{4\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-{{\sin }^{2}}\alpha }}\ \ \ (5).\ d=\frac{500\cdot {{10}^{-9}}}{4\cdot \sqrt{{{1,3}^{2}}-{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}}}=114,58\cdot {{10}^{-9}}. \]
d = 114,58∙10-9 м.