Решение. Применим закон сохранения момента импульса.
Момент импульса определяется по формуле:
L = J∙ω (1).
J1∙ω1 = J2∙ω2 (2).
Где: J1 - момент инерции шарика привязанного к концу нити длиной l1 ,
ω1 - угловая скорость вращения шарика до укорачивания нити\[ {{J}_{1}}=m\cdot l_{1}^{2}(3),{{\omega }_{1}}=2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}(4),{{L}_{1}}=m\cdot l_{1}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}(5).
\]
J2 - момент инерции шарика привязанного к концу нити длиной l2,
ω2 - угловая скорость вращения шарика после укорачивания нити\[ {{J}_{2}}=m\cdot l_{2}^{2}(6),{{\omega }_{2}}=2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}}(7),{{L}_{2}}=m\cdot l_{2}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}}(8). \]
(8 ) и (5) подставим в (2) определим, с какой частотой будет при этом вращаться шарик\[ \begin{align}
& m\cdot l_{1}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}=m\cdot l_{2}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}},{{n}_{2}}=\frac{m\cdot l_{1}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}}{m\cdot l_{2}^{2}\cdot 2\cdot \pi },{{n}_{2}}=\frac{l_{1}^{2}\cdot {{n}_{1}}}{l_{2}^{2}}(9). \\
& {{n}_{2}}=\frac{{{1}^{2}}\cdot 1}{{{0,5}^{2}}}=4. \\
\end{align} \]
Определим, какую работу совершит внешняя сила, укорачивая нить\[ \begin{align}
& A=\frac{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}-\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2},A=\frac{m\cdot l_{2}^{2}\cdot {{(2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}})}^{2}}}{2}-\frac{m\cdot l_{1}^{2}\cdot {{(2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}})}^{2}}}{2}, \\
& A=\frac{m\cdot 4\cdot {{\pi }^{2}}}{2}\cdot (l_{2}^{2}\cdot n_{2}^{2}-l_{1}^{2}\cdot n_{1}^{2}),A=m\cdot 2\cdot {{\pi }^{2}}\cdot (l_{2}^{2}\cdot n_{2}^{2}-l_{1}^{2}\cdot n_{1}^{2}). \\
& A=2\cdot {{3,14}^{2}}\cdot 1\cdot ({{0,5}^{2}}\cdot {{4}^{2}}-{{1}^{2}}\cdot {{1}^{2}})=59,15. \\
\end{align}
\]
Ответ: 4 с-1, 59,15 Дж.